劉 恒 ，孟瑞麗

(1.南京信息工程大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，南京 210044；2.江蘇省氣象探測(cè)與信息處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210044)

微機(jī)械諧振式傳感器主要通過(guò)諧振頻率的改變來(lái)敏感角加速度、線加速度、力、電場(chǎng)等信號(hào)，如微機(jī)械振動(dòng)陀螺、諧振式加速度傳感器、諧振式壓力傳感器等。這類傳感器具有體積小、功耗低，同時(shí)，輸出為數(shù)字頻率信號(hào)，傳輸過(guò)程中信息衰減少，抗干擾性強(qiáng)，容易與數(shù)字設(shè)備接口，目前廣泛應(yīng)用于氣象、航空航天、汽車等領(lǐng)域。微機(jī)械諧振器作為諧振式傳感器的核心部件受到了越來(lái)越多的關(guān)注，在傳感器系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，一般總將諧振器等效為彈簧－阻尼－質(zhì)量組成的二階線性系統(tǒng)，通過(guò)靜電激勵(lì)來(lái)獲得結(jié)構(gòu)振動(dòng)的輸出信息。但有限元建模理論分析和實(shí)驗(yàn)測(cè)試均表明諧振器在靜電力作用下會(huì)造成振梁剛度的“硬化”或“軟化”，表現(xiàn)為一個(gè)典型的Duffing諧振器［1－8］，即振梁剛度系數(shù)中存在與振幅立方項(xiàng)有關(guān)的系數(shù)，它的存在使結(jié)構(gòu)的幅度穩(wěn)定性變差，同時(shí)諧振頻率也將發(fā)生變化，這使得傳感器系統(tǒng)表芯不再是二階線性的，而是高階非線性的?；趥鹘y(tǒng)控制理論的分析方法很難獲得高階系統(tǒng)的穩(wěn)定條件和平衡點(diǎn)，電路的調(diào)試也就缺少理論的指導(dǎo)。本文首先分析了靜電驅(qū)動(dòng)下微機(jī)械諧振器的非線性動(dòng)力學(xué)原理，并根據(jù)非線性諧振條件下的激勵(lì)力與振動(dòng)位移的相位關(guān)系，確定了基于鎖相技術(shù)的驅(qū)動(dòng)控制方法。鑒于系統(tǒng)的高階非線性，利用平均周期法分析了振子系統(tǒng)行為，得到了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定條件和穩(wěn)態(tài)平衡點(diǎn)。根據(jù)實(shí)驗(yàn)室研制的某諧振式微加速度計(jì)的實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果和設(shè)計(jì)參數(shù)，進(jìn)行了數(shù)值仿真，仿真結(jié)果驗(yàn)證了理論分析的正確性，為后續(xù)控制電路的設(shè)計(jì)提供了理論支持。

1 微機(jī)械諧振器的非線性分析

典型靜電驅(qū)動(dòng)的微機(jī)械諧振器一般包括振梁、驅(qū)動(dòng)極板、檢測(cè)極板，其中振梁主要有懸臂梁、雙端固支梁等幾種，目前應(yīng)用比較多的為雙端固支梁。加載靜電力的驅(qū)動(dòng)極板和電容檢測(cè)極板有梳齒結(jié)構(gòu)和平行板兩種，一般為了減小靜電驅(qū)動(dòng)力的非線性，驅(qū)動(dòng)極板多采用梳齒結(jié)構(gòu)，而檢測(cè)極板一般采用平板，與振梁一起構(gòu)成平板電容器，相同條件下，平板結(jié)構(gòu)能提供更大檢測(cè)電容。圖1為典型靜電驅(qū)動(dòng)的微機(jī)械諧振器的原理示意圖，諧振器為單邊驅(qū)動(dòng)和單邊檢測(cè)，檢測(cè)平板電容的初始間距為d，在靜電驅(qū)動(dòng)力作用下極板位移為Z，諧振梁接直流電壓源Vd，驅(qū)動(dòng)梳齒接交流電壓源Vaccos(ωt)，檢測(cè)極板接地。

圖1 典型的靜電驅(qū)動(dòng)微機(jī)械諧振器原理圖

靜電驅(qū)動(dòng)力Fd可以表示為:

式(1)中，C0為檢測(cè)電容的初始值，Cd為驅(qū)動(dòng)電容，可以表示為:

式(2)中，N為梳齒對(duì)數(shù)，ε為介電常數(shù)，h為結(jié)構(gòu)的厚度，l0為梳齒的有效交疊長(zhǎng)度，d0為梳齒的間距。忽略式(1)中的高階項(xiàng)，將式(2)代入式(1)，當(dāng)加載的直流驅(qū)動(dòng)電壓Vd遠(yuǎn)大于交流電壓幅值Vac時(shí)，可以通過(guò)結(jié)構(gòu)參數(shù)的合理配置，滿足:

式(1)簡(jiǎn)化為:

對(duì)于微機(jī)械諧振器本身，可以等效表示為:

式(5)中，meff為振梁及附加梳齒的質(zhì)量，b為阻尼系數(shù)，km和k3為梁線性剛度系數(shù)和三次方剛度系數(shù)。將式(4)代入式(5)并歸一化，有:

式(6)中，對(duì)應(yīng)各系數(shù)關(guān)系為:

式(6)表示為一典型的非線性Duffing諧振器，進(jìn)一步推導(dǎo)，得到位移x的幅值a與各參數(shù)的關(guān)系滿足［1，5］:

式(7)表明，在相同頻率和靜電驅(qū)動(dòng)力下可能存在幾個(gè)不同的振動(dòng)幅值［5］。圖2為不同頻率比和靜電驅(qū)動(dòng)力下的幅頻和相頻曲線［5］，很顯然，在剛度“硬化”和“軟化”條件下均出現(xiàn)同一頻率下最多存在三個(gè)振幅。在此條件下，對(duì)應(yīng)的諧振式微機(jī)械傳感器在應(yīng)用中會(huì)出現(xiàn)振動(dòng)幅度的不穩(wěn)定，特別是在品質(zhì)因數(shù)比較大時(shí)，不穩(wěn)定現(xiàn)象會(huì)更明顯。由于諧振頻率在大振幅下與振動(dòng)幅度有關(guān)，幅度的不穩(wěn)定將導(dǎo)致結(jié)構(gòu)諧振頻率的漂移，使驅(qū)動(dòng)電路的設(shè)計(jì)變得困難。根據(jù)圖2，在非線區(qū)域，很難通過(guò)振幅來(lái)判斷結(jié)構(gòu)是否在某一頻率下達(dá)到諧振狀態(tài)。但振幅最大對(duì)應(yīng)的頻率下相差始終為－90°，可以通過(guò)相位控制來(lái)實(shí)現(xiàn)非線性諧振器的諧振。

圖2 歸一化后的非線性諧振器的幅相特性曲線

2 基于鎖相技術(shù)的頻率跟蹤控制

對(duì)于非線性微機(jī)械諧振器的頻率跟蹤控制研究，目前國(guó)內(nèi)外研究幾乎空白。文獻(xiàn)［5］雖然給出了控制方法，但理論推導(dǎo)結(jié)果值得商榷。靜電驅(qū)動(dòng)力大小與交直驅(qū)動(dòng)電壓幅度有關(guān)，文中結(jié)論卻表明系統(tǒng)穩(wěn)定性與直流驅(qū)動(dòng)電壓大小無(wú)關(guān)?；阪i相技術(shù)的非線性微機(jī)械諧振器頻率跟蹤控制系統(tǒng)包括電荷放大器、模擬乘法器、低通濾波器、積分控制器、壓控振蕩器，加法電路等。直流電壓固定，交流電壓由壓控振蕩器提供，初始頻率可以根據(jù)實(shí)際情況設(shè)定。當(dāng)檢測(cè)的位移相位與驅(qū)動(dòng)交流電壓相位不為90°，積分控制器將對(duì)相位誤差信息進(jìn)行累加來(lái)調(diào)整壓控振蕩器的輸入電壓。當(dāng)達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，壓控振蕩器輸出的頻率與結(jié)構(gòu)的振動(dòng)固有頻率相一致，分析模型見圖3。ζ為一階低通濾波器的時(shí)間常數(shù)，kI為積分系數(shù)，也就是設(shè)計(jì)控制器需要關(guān)注的參數(shù)。Y是壓控振蕩器的控制電壓，y為積分器輸入電壓，kvco為壓控振蕩器的轉(zhuǎn)換系數(shù)，Vac和ω0分別為壓控振蕩器的輸出電壓幅值和初始振蕩頻率。

圖3 基于鎖相技術(shù)的非線性微機(jī)械諧振器頻率跟蹤控制

當(dāng)封裝后品質(zhì)因數(shù)比較大，加載的直流驅(qū)動(dòng)電壓Vd遠(yuǎn)大于交流電壓幅值Vac時(shí)，靜電力可以表示為:

式(8)中，k2為電壓－靜電力轉(zhuǎn)換系數(shù)，大小與驅(qū)動(dòng)梳齒結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，驅(qū)動(dòng)電壓幅度固定時(shí)，參數(shù)A是確定的。對(duì)于壓控振蕩器來(lái)說(shuō)，有:

式(10)中，相位角度φ可以表示為:

對(duì)于相位角度差的積分控制器來(lái)說(shuō)，有:

也可以表示為:

對(duì)于模擬乘法器的鑒相器，假定輸出為單位的正余弦函數(shù)，有:

根據(jù)上述各模塊的建模，得到系統(tǒng)的方程為:

假定結(jié)構(gòu)振動(dòng)位移為x(τ):

a(τ)和φ(τ)為振動(dòng)位移的幅度和相位，在系統(tǒng)穩(wěn)定條件下，可以認(rèn)為是兩個(gè)緩變參數(shù)［9］。此時(shí)振動(dòng)速度為:

由于幅度變化和相位變化為緩慢變化參數(shù)，有:

那么振動(dòng)加速度為:

將(τ)、(τ)、x(τ)代入上述方程(14)，結(jié)合式(17)，利用平均周期法化簡(jiǎn)后有:

對(duì)于平衡點(diǎn)的求取，即令各參數(shù)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)為0［10］，有:

系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的特征方程為:

式(24)中，λ 為特征值。n0，n1，n2，n3，n4為對(duì)應(yīng)的各次項(xiàng)的系數(shù)，分別表示為:

根據(jù)勞思判據(jù)，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，需滿足:

求解式(25)可以得到:

要求系統(tǒng)能夠穩(wěn)定在平衡點(diǎn)，控制器中的積分常數(shù)必須滿足式(26)。通過(guò)分析式(26)發(fā)現(xiàn)，增大驅(qū)動(dòng)電壓幅值，A增大，對(duì)應(yīng)積分控制器系數(shù)kI臨界值減??；同樣變化適于kvco和k1。當(dāng)β大于0時(shí)，即剛度“硬化”條件下，諧振頻率增大，對(duì)應(yīng)臨界積分系數(shù)增大。相同條件下，β增大，系統(tǒng)穩(wěn)定性不發(fā)生變化。對(duì)特征值的求解發(fā)現(xiàn)，積分常數(shù)越小，對(duì)應(yīng)特征值絕對(duì)值越小，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)較慢，即系統(tǒng)頻率跟蹤穩(wěn)定需要的時(shí)間就越長(zhǎng)。當(dāng)μ為0，式(26)也適于線性諧振器。

3 數(shù)值仿真

為了對(duì)上述理論進(jìn)行仿真驗(yàn)證，利用設(shè)計(jì)的基于靜電剛度諧振式微加速度計(jì)進(jìn)行了事例仿真，加速度計(jì)不同于一般微機(jī)械諧振器的是諧振頻率會(huì)隨加載加速度而變化，等價(jià)于一個(gè)諧振頻率可變的諧振器。加速度計(jì)采用體硅DRIE工藝與微鍵合技術(shù)制造，制造的結(jié)構(gòu)見圖4，其中結(jié)構(gòu)材料為濃硼擴(kuò)散的單晶硅，襯底材料為7740玻璃，文獻(xiàn)［11－12］給出了加速度計(jì)敏感原理和制造過(guò)程。

圖4 基于體硅溶片技術(shù)制造的諧振式微加速度計(jì)(SEM)

為了獲得表芯的幅頻曲線，對(duì)表芯進(jìn)行了頻率掃描測(cè)試，圖5～圖7為在加速度為0，相同交流驅(qū)動(dòng)電壓與不同直流驅(qū)動(dòng)電壓對(duì)應(yīng)的開環(huán)幅頻曲線，頻率掃描范圍為34 kHz～40 kHz。在直流驅(qū)動(dòng)電壓為2V，交流驅(qū)動(dòng)電壓為2V時(shí)，諧振頻率為35.476 kHz，真空封裝下品質(zhì)因數(shù)為1 400左右，見圖7。同時(shí)，直流驅(qū)動(dòng)電壓越大，靜電驅(qū)動(dòng)力越大，對(duì)應(yīng)的諧振頻率增大，振動(dòng)的幅度也增大，見圖5～圖7。

圖5 微機(jī)械諧振加速度計(jì)幅頻響應(yīng)曲線(DC=15.8 V，AC=2 V)

圖6 微機(jī)械諧振加速度計(jì)幅頻響應(yīng)曲線(DC=5 V，AC=2 V)

圖7 微機(jī)械諧振加速度計(jì)幅頻響應(yīng)曲線(DC=2 V，AC=2 V)

圖5對(duì)應(yīng)的幅頻曲線明顯諧振點(diǎn)右邊變化接近階躍跳變，不具有對(duì)稱性與平緩過(guò)渡。上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論分析的剛度“硬化”相一致。當(dāng)采用各自諧振頻率對(duì)應(yīng)的恒幅交流信號(hào)源與直流偏置電壓激勵(lì)結(jié)構(gòu)時(shí)，直流電壓越大，檢測(cè)的振動(dòng)信號(hào)穩(wěn)定時(shí)間越短，很快從大振幅變?yōu)樾≌穹?，這也表明非線性剛度越大，結(jié)構(gòu)振動(dòng)的頻率不穩(wěn)定區(qū)域越大，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性隨之變差。在結(jié)構(gòu)流片封裝后，與尺寸相關(guān)的參數(shù)已經(jīng)確定，為了提高檢測(cè)端的信噪比，一般都會(huì)加大驅(qū)動(dòng)電壓，增大振動(dòng)幅度，表芯結(jié)構(gòu)的振動(dòng)頻率和幅度就會(huì)由于剛度非線性的增大而發(fā)生變化，從而影響頻率跟蹤器的設(shè)計(jì)及性能。

仿真中，雙端固支的音叉諧振器可以等效為兩個(gè)完全對(duì)稱的單梁微機(jī)械諧振器，它采用靜電梳齒驅(qū)動(dòng)，平板電容器單邊檢測(cè)。設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和仿真電學(xué)參數(shù)見表1，參數(shù)意義見文獻(xiàn)［11－12］。

表1 加速度計(jì)結(jié)構(gòu)參數(shù)及電學(xué)參數(shù)

基于SIMULINK的系統(tǒng)仿真模型見圖8，仿真時(shí)間為4 s，加速度在2.2 s從0階躍跳變到49 m/s2，直流驅(qū)動(dòng)電壓Vc設(shè)定為10 V，根據(jù)表1參數(shù)和式(26)，計(jì)算得到在β為0時(shí)，kI臨界值為85，本文中主要考慮β＞0的情況，對(duì)于β小于0，可以按照第2節(jié)方法推導(dǎo)臨界值表達(dá)式。根據(jù)上一節(jié)知，在β變化時(shí)，kI只要小于85系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。

圖8 基于SIMULINK的微機(jī)械諧振器閉環(huán)驅(qū)動(dòng)控制仿真模型

圖9～圖12分別為不同kI和k3條件下的頻率跟蹤和振動(dòng)位移曲線。在kI為10小于臨界值，k3為0.1時(shí)，頻率跟蹤達(dá)到穩(wěn)定時(shí)間長(zhǎng)，但未出現(xiàn)頻率抖動(dòng)，見圖9(a)；k3為20時(shí)，諧振頻率增大，頻率跟蹤達(dá)到穩(wěn)定時(shí)間略微增長(zhǎng)，依然未出現(xiàn)頻率抖動(dòng)，見圖10(a)；圖9(b)和圖10(b)分別為對(duì)應(yīng)條件下的位移放大曲線，在加速度未跳變前，根據(jù)穩(wěn)態(tài)平衡點(diǎn)k1·表達(dá)式計(jì)算振幅放大為0.296，理論計(jì)算結(jié)果與仿真一致，由于k3·相對(duì)于km小很多，兩種情況下諧振頻率變化小，使得圖9(b)和圖10(b)的穩(wěn)態(tài)放大振動(dòng)幅度差別很小。在kI為100大于臨界值時(shí)，不管k3如何變化，頻率跟蹤達(dá)到穩(wěn)定時(shí)間均變短，且都出現(xiàn)抖動(dòng)，見圖 11(a)和圖 12(a)。圖 11(b)和圖12(b)為對(duì)應(yīng)振動(dòng)位移曲線，k3變大條件下，振動(dòng)幅度減小，不再為嚴(yán)格的正弦波，k3增大對(duì)后續(xù)信號(hào)拾取將帶來(lái)困難。

圖9 k3=0.1，kI=10頻率跟蹤和振動(dòng)位移曲線

圖10 k3=20，kI=10頻率跟蹤和振動(dòng)位移曲線

圖11 k3=0.1，kI=100頻率跟蹤和振動(dòng)位移曲線

圖12 k3=20，kI=100頻率跟蹤和振動(dòng)位移曲線

4 結(jié)論

本文分析了非線性微機(jī)械諧振器的動(dòng)力學(xué)原理，建立了諧振器基于鎖相技術(shù)的頻率跟蹤分析模型，鑒于系統(tǒng)模型的高階非線性，采用了平均周期法近似獲得了系統(tǒng)的平衡條件和穩(wěn)態(tài)振幅值。理論分析和仿真結(jié)果表明:對(duì)于原本穩(wěn)定的系統(tǒng)，振梁剛度的高次項(xiàng)系數(shù)的增大，不影響系統(tǒng)頻率跟蹤的穩(wěn)定性；當(dāng)積分控制器系數(shù)小于臨界值時(shí)，頻率跟蹤穩(wěn)定時(shí)間長(zhǎng)，不出現(xiàn)頻率抖動(dòng)；在積分控制器系數(shù)大于臨界值時(shí)，頻率跟蹤穩(wěn)定時(shí)間短，但出現(xiàn)跟蹤頻率的抖動(dòng)。頻率跟蹤控制的理論與仿真結(jié)果可以作為下一步驅(qū)動(dòng)電路的設(shè)計(jì)依據(jù)，上述結(jié)論同樣適用于線性微機(jī)械諧振器為基礎(chǔ)的傳感器驅(qū)動(dòng)電路設(shè)計(jì)。

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