喻明秋，祝 兵，張斗龍

（1．攀枝花市規(guī)劃和建設(shè)局，四川攀枝花 617000；2．西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院，四川成都 610031；3．檀慕信息技術(shù)（上海）有限公司成都分公司，四川成都 610031）

基于Newmark－β顯式直接積分法的三塔斜拉橋非線性地震響應(yīng)分析①

喻明秋1，祝 兵2，張斗龍3

（1．攀枝花市規(guī)劃和建設(shè)局，四川攀枝花 617000；2．西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院，四川成都 610031；3．檀慕信息技術(shù)（上海）有限公司成都分公司，四川成都 610031）

三塔單索面斜拉橋在空間動(dòng)力行為方面有其獨(dú)特之處。以濟(jì)南建邦黃河公路大橋?yàn)槔?，運(yùn)用有限元方法建立橋梁的空間動(dòng)力數(shù)值分析模型，構(gòu)建結(jié)構(gòu)特征方程，在頻率范圍1 600～0cps，頻移為1cps基礎(chǔ)上運(yùn)用lanczos法解此方程獲得結(jié)構(gòu)空間動(dòng)力特性；進(jìn)而利用擬相對(duì)速度反應(yīng)譜SV和擬絕對(duì)加速度反應(yīng)譜SA之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，在大量地震記錄中選擇與場(chǎng)地特征周期基本一致的波譜，對(duì)其峰值加速度和持續(xù)時(shí)間進(jìn)行調(diào)整后直接輸入動(dòng)力數(shù)值模型；采用質(zhì)量和剛度因子法計(jì)算結(jié)構(gòu)各振型阻尼比，以恒載作用下結(jié)構(gòu)受力狀態(tài)作為初始狀態(tài)，運(yùn)用Newmark－β顯式直接積分法迭代求解結(jié)構(gòu)動(dòng)力微分方程組，并取γ≥0．5且β≥γ／2以滿足其無(wú)條件穩(wěn)定；考慮恒載作用在地震發(fā)生過(guò)程中對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的二階效應(yīng)，獲得非線性地震響應(yīng)數(shù)值解，并由此總結(jié)出該類橋型的地震響應(yīng)一般規(guī)律。結(jié)果可為該類橋型的抗震設(shè)計(jì)提供參考。

三塔單索面斜拉橋；動(dòng)力特性；無(wú)條件穩(wěn)定；二階效應(yīng)；Newmark－β顯式直接積分法

Abstract：Cable－stayed bridge with three towers and single cable plane has uniqueness on dynamic behavior in space．In this paper，the Jianbang Yellow River Highway Bridge in Jinan is taken，as example，using finite element method to build spatial dynamic numerical analysis model of the bridge，and to form a structural characteristic equation，the space dynamic characteristics of the structure is obtained with frequency range of 1 600～0cps and frequency shift 1cps by using lanczos methods for the solution of the equation．The mathematical relationship between pseudo relative velocity response spectrum SVand pseudo absolute acceleration response spectrum SAis used to select the spectra with basically same characteristic site period in a large number of seismic records，whose peak acceleration and duration are adjusted to directly be input to the dynamic numerical analysis model．Using mass and stiffness factor method in calculation on damping ratio of every vibration type，taking stressed state of the structure under dead load as the initial state，Newmark－βexplicit scheme direct integration method withγ≥0．5andβ≥γ／2which make the method being no－conditional stable is used to the solution of the structure dynamic differential equations．Considering the second order effect from dead load in the structure during an earthquake，the numerical solution of nonlinear seismic response is obtained．Furthermore，general laws on seismic response of such bridge type is concluded to provide a feasible basis for seismic design of such bridge type．

Key words：Cable－stayed bridge with three towers and single cable plane；Dynamic characteristics；No－conditional stable；Second order effect；Newmark－βexplicit scheme direct integration method

0 引言

大跨度橋梁結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確的地震響應(yīng)計(jì)算是其抗震設(shè)計(jì)的前提和基礎(chǔ)，而地震響應(yīng)計(jì)算結(jié)果的可信度與計(jì)算方法息息相關(guān)。1899年至今結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)計(jì)算方法經(jīng)歷了靜力法—反應(yīng)譜法—時(shí)程法和隨機(jī)振動(dòng)法的發(fā)展歷程［1－2］。靜力法由于忽略了結(jié)構(gòu)自身的動(dòng)力特性，只有當(dāng)結(jié)構(gòu)基本周期比場(chǎng)地特征周期小很多時(shí)才能成立，因此存在很大的局限性［1］；反應(yīng)譜法盡管在一定程度上考慮了結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性，但設(shè)計(jì)反應(yīng)譜源于強(qiáng)震記錄的統(tǒng)計(jì)分析，而過(guò)去大多使用的模擬式強(qiáng)震儀在長(zhǎng)周期部分嚴(yán)重失真［1］，因此對(duì)于基本周期較長(zhǎng)的大跨度斜拉橋反應(yīng)譜法的計(jì)算結(jié)果難以令人信服。上世紀(jì)60年代后，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展時(shí)程分析法被引入到大跨度橋梁的分析當(dāng)中。動(dòng)態(tài)時(shí)程分析法從選定合適的地震動(dòng)輸入出發(fā)，采用多節(jié)點(diǎn)多自由度的結(jié)構(gòu)有限元?jiǎng)恿τ?jì)算模型建立地震振動(dòng)方程，然后采用逐步積分法對(duì)方程進(jìn)行求解，計(jì)算地震過(guò)程中每一瞬時(shí)結(jié)構(gòu)的位移、速度和加速度反應(yīng)，從而分析出結(jié)構(gòu)在地震作用下彈性和非彈性階段的內(nèi)力變化以及構(gòu)件逐步開裂、損壞直至倒塌的全過(guò)程［2］。本文在簡(jiǎn)要介紹Newmark－β顯式非線性直接積分法算法思想的基礎(chǔ)上，選擇濟(jì)南建邦黃河公路大橋?yàn)檠芯繉?duì)象，通過(guò)在大量原始地震記錄中篩選特征周期和場(chǎng)地特征周期基本一致的地震記錄，然后將經(jīng)過(guò)強(qiáng)度和持續(xù)時(shí)間調(diào)整后的地震波直接輸入模型，構(gòu)建結(jié)構(gòu)動(dòng)力微分方程組，采用質(zhì)量和剛度因子法計(jì)算結(jié)構(gòu)各振型阻尼比，運(yùn)用Newmark－β直接積分法求解動(dòng)力微分方程組，并從結(jié)構(gòu)體系的特點(diǎn)出發(fā)，分析結(jié)果的合理性。

1 Newmark－β顯式直接積分法概述

當(dāng)滿足γ≥0．5，β≥γ／2時(shí)，Newmark－β顯式法具有無(wú)條件穩(wěn)定的優(yōu)點(diǎn)［3］。采用Newmark－β法求解結(jié)構(gòu)動(dòng)力微分方程組的具體過(guò)程如下［1，3－4］。

單自由度質(zhì)量系統(tǒng)動(dòng)力方程的增量形式寫為

Newmark－β法中設(shè)

從式（2）、（3）可求出

將（4）、（5）兩式代入式（1）得

式中

通過(guò)式（6）計(jì)算出位移增量Δy（t）后就可以由式（5）求出速度增量Δ˙y（t），由此可以得出下一段的起始值：

如此一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)計(jì)算完畢。重復(fù)以上步驟可以一步一步地計(jì)算下去，查到所需時(shí)程范圍為止。Newmark－β方法中關(guān)鍵是先取β，γ值。其中γ控制人工阻尼，當(dāng)γ＝0．5時(shí)，無(wú)人工阻尼；當(dāng)滿足γ≥0．5，β≥0．5γ，Newmark－β法是無(wú)條件穩(wěn)定。通常取γ＝0．5，通過(guò)調(diào)整β值以期達(dá)到對(duì)加速度的各種修正。

2 橋梁工程概況

濟(jì)南建邦黃河公路大橋?yàn)槿嗡髅嫘崩瓨?，跨度布置?3．5m＋56．5m＋2×300m＋56．5m＋53．5m（圖1）。主梁橫斷面采用單箱四室斜腹板截面，梁高3．5m，頂板寬30．5m，底板寬9m，兩側(cè)懸臂長(zhǎng)4m。中塔采用塔、梁、墩固結(jié)，與塔、墩相交處各設(shè)1道橫梁，厚7m。中塔下塔柱分為兩部分：一是高6．2m、直徑16m的圓柱體，二是分開兩邊高16．25m、半徑8m的半園斜柱體，橫向?qū)挾葹? m，兩部分均為實(shí)體結(jié)構(gòu)。中塔上塔柱均采用空心矩形斷面，橫向?qū)挾染鶠?m，縱向塔頂寬為8m，豎向經(jīng)半徑為260m的圓弧過(guò)渡至主梁頂外側(cè)至外側(cè)寬20m，并在距梁頂22．54m高度處分離為兩個(gè)寬為4．9～6m的斜腿；上塔柱高86．64m，索錨區(qū)基本壁厚為橫橋向0．7m，順橋向1．4m，在分開成斜腿上部一定范圍內(nèi)橫向壁厚逐漸加厚，斜腿部分基本壁厚為橫橋向1．2m，順橋向1．4m。邊塔下塔柱高18．1m，橫橋向等寬9m、順橋向等寬7 m，采用單箱四室截面，基本壁厚橫橋向1．0m，中間隔板2．0m，順橋向1．0m，中間隔板0．8m；上塔柱橫向?qū)挾染鶠?m，縱向塔頂寬為7m，上塔柱高67．4m，索錨區(qū)基本壁厚為橫橋向0．7m，順橋向1．4m。

圖1 濟(jì)南建邦黃河公路大橋立面圖（單位：m）Fig．1 Elevation of Jianbang Yellow River Highway Bridge in Jinan（unit：m）．

3 動(dòng)力數(shù)值模型與輸入地震波

運(yùn)用有限元方法建立橋梁的動(dòng)力數(shù)值模型過(guò)程中做如下考慮：

（1）數(shù)值模型中恒載包括結(jié)構(gòu)自重、預(yù)應(yīng)力和斜拉索成橋索力，以結(jié)構(gòu)在恒載作用下的受力狀態(tài)作為初始狀態(tài)，動(dòng)力微分方程組的求解過(guò)程即是以此初始狀態(tài)為時(shí)間零點(diǎn)的迭代過(guò)程。由于在迭代過(guò)程中引入了結(jié)構(gòu)的恒載，因此計(jì)算結(jié)果中包含了恒載各分量耦合產(chǎn)生的二階效應(yīng)。

（2）在實(shí)際地震作用前將恒載效應(yīng)以單元初始內(nèi)力的形式輸入模型，真實(shí)地震續(xù)接恒載作用，可以真實(shí)反映震前結(jié)構(gòu)內(nèi)力和應(yīng)力狀態(tài)。

（3）模型中橋面部分采用脊梁模式，將原主梁的軸向剛度、彎曲剛度、扭轉(zhuǎn)剛度和剪切剛度均集中到主梁上，可以采用一致剛度和一致質(zhì)量矩陣來(lái)描述。

（4）主梁、塔柱采用空間梁?jiǎn)卧M(jìn)行模擬，單元?jiǎng)澐只九c施工節(jié)段一致；斜拉索采用桁架單元模擬，用Ernst公式修正彈性模量以考慮垂度效應(yīng)，一個(gè)單元即為一根拉索。

（5）斜拉索錨固點(diǎn)與主梁、主塔的相對(duì)位置準(zhǔn)確設(shè)定，確保斜拉索傾斜角度精確，采用剛性連接的辦法連接拉索錨固點(diǎn)與主梁和主塔。

（6）主梁和中塔采用共節(jié)點(diǎn)和剛性連接的方式模擬塔梁固結(jié)，主梁與邊塔連接按照實(shí)際的約束關(guān)系采用彈簧單元模擬。

（7）橫隔板重量、二期恒載和邊跨壓重是結(jié)構(gòu)重力的組成成分，計(jì)算中轉(zhuǎn)換為節(jié)點(diǎn)質(zhì)量考慮。

因缺乏橋址處地震危險(xiǎn)性分析資料，本文場(chǎng)地特征周期按Ⅲ類場(chǎng)地取用。根據(jù)建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范［5］的規(guī)定，地震分組為第二組，場(chǎng)地特征周期為0．55s。利用擬相對(duì)速度反應(yīng)譜SV和擬絕對(duì)加速度反應(yīng)譜SA之間存在的近似數(shù)學(xué)關(guān)系計(jì)算出地震波的圓頻率ω，從而獲得地震波特征周期，在大量地震記錄中選擇與在建場(chǎng)地特征周期基本一致的James rd地震波做強(qiáng)度和持續(xù)時(shí)間調(diào)整。通過(guò)建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范［5］可知，濟(jì)南市抗震設(shè)防烈度為Ⅵ度，鑒于該橋的重要性，本文提高一度進(jìn)行考慮，峰值加速度調(diào)整為0．12g，地震持續(xù)時(shí)間取40s，其中最后2s加速度取為0，以觀察地震激勵(lì)停止后結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)。調(diào)整后的James rd地震波如圖2所示。

圖2 調(diào)整后的James rd地震波Fig．2 Adjusted James rd seismic wave．

4 地震響應(yīng)結(jié)果與分析

將調(diào)整后的地震波分別沿橋梁縱向、橫向、豎向和三向耦合輸入，分別計(jì)算結(jié)構(gòu)在地震激勵(lì)下的內(nèi)力和位移響應(yīng)，并對(duì)結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)規(guī)律作出分析總結(jié)。限于篇幅，僅列出縱向輸入和三向耦合輸入計(jì)算結(jié)果。

4．1 恒載作用

將恒載作用下結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形作為后續(xù)實(shí)際地震作用的初始狀態(tài)，可以幫助我們把握實(shí)際地震激勵(lì)作用于結(jié)構(gòu)上時(shí)地震荷載本身對(duì)結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形的貢獻(xiàn)，同時(shí)，恒載作用參與動(dòng)力微分方程組的迭代過(guò)程，可以很好的考慮其二階效應(yīng)的影響。恒載作用下典型部位內(nèi)力值如表1所示。

4．2 縱向地震波單獨(dú)作用

縱向地震波單獨(dú)作用下結(jié)構(gòu)典型部位動(dòng)力響應(yīng)結(jié)果如表2所示，東邊塔與中塔縱向移峰值包絡(luò)圖、中塔塔頂縱向位移時(shí)程曲線與中塔塔根彎矩時(shí)程曲線分別如圖3（a）、（b）、（c）、（d）所示。

表1 恒載作用下典型部位內(nèi)力響應(yīng)值

表2 James rd地震波縱向作用下典型部位內(nèi)力響應(yīng)值

在縱向地震作用下結(jié)構(gòu)主要表現(xiàn)為縱向響應(yīng)。內(nèi)力方面主要體現(xiàn)在主梁軸力和中塔塔根縱向彎矩與縱向剪力。其中中塔塔根部位縱向彎矩值和縱向剪力值均非常大，其中彎矩為162 263．50kN·m，剪力為6 566．12kN。筆者認(rèn)為地震荷載造成結(jié)構(gòu)這一受力特點(diǎn)的原因在于橋梁的兩邊塔對(duì)主梁縱向沒(méi)有約束而中塔與主梁固結(jié)，主梁在縱向地震激勵(lì)下的強(qiáng)大慣性力大部分通過(guò)中塔傳遞給基礎(chǔ)，使得中塔承受了很大的縱向力，這一縱向力在塔根部位形成了巨大的彎曲和剪切作用。設(shè)計(jì)中必須考慮抗震鋼筋的配置并進(jìn)行承載力驗(yàn)算。位移方面，兩邊塔縱向最大位移較中塔更大，其中西邊塔與東邊塔縱向最大位移均為32mm，而中塔縱向最大位移小于兩邊塔位移，為30mm。筆者認(rèn)為造成這一變形特點(diǎn)的原因有兩點(diǎn)：①中塔側(cè)面采用倒“Y”和“Y”形相結(jié)合的結(jié)構(gòu)形式，其縱向剛度遠(yuǎn)大于邊塔；②中塔與主梁固結(jié)，而邊塔與主梁之間沒(méi)有縱向約束，因此中塔的懸臂長(zhǎng)度應(yīng)從主梁處算起為168．8m，而邊塔的懸臂長(zhǎng)度應(yīng)從塔根部算起為170．2m，說(shuō)明盡管中塔高度大于邊塔，但中塔的懸臂長(zhǎng)度卻比邊塔更小，因此中塔縱向位移較邊塔更小。從圖3（c）、（d）可以看出，地震波輸入初期，中塔塔頂縱向位移時(shí)程曲線和中塔塔根縱向彎矩時(shí)程曲線的走勢(shì)與地震波波譜具有一定的相似性，但時(shí)程曲線波峰與波谷出現(xiàn)的時(shí)間與地震波存在差異且衰減速度更慢，當(dāng)縱向地震激勵(lì)趨近于零時(shí)，對(duì)應(yīng)時(shí)間的中塔塔頂縱向位移和中塔塔根縱向彎矩卻并不為零，說(shuō)明縱向地震停止后結(jié)構(gòu)仍然有一段時(shí)間處于縱向振動(dòng)狀態(tài)。

4．3 三向地震波耦合作用

三向地震波耦合作用下結(jié)構(gòu)典型部位內(nèi)力響應(yīng)見(jiàn)表3所示，兩橋塔縱向位移峰值包絡(luò)圖、主梁東西兩側(cè)中跨跨中豎向位移時(shí)程分別如圖4（a）、（b）、（c）、（d）所示。

圖3 James rd地震波縱向作用下結(jié)構(gòu)典型部位響應(yīng)Fig．3 Response diagrams of the typical site on the bridge under longitudinal effect of James rd seismic wave（Peak envelope of displacement and time－h(huán)istory curve）．

表3 James rd地震波三向耦合作用下典型部位內(nèi)力響應(yīng)值

三向地震波耦合作用下結(jié)構(gòu)三個(gè)方向均發(fā)生明顯振動(dòng)。從表3可知，盡管結(jié)構(gòu)幾何對(duì)稱，主梁西側(cè)中跨跨中縱向彎矩較東側(cè)大10%，中塔西側(cè)主梁縱向彎矩較中塔東側(cè)主梁大19．7%，東邊塔根部縱向彎矩較西邊塔大20．4%。筆者也曾將地震波反向輸入模型，發(fā)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果與上述結(jié)果基本相反，說(shuō)明即使結(jié)構(gòu)對(duì)稱，其地震響應(yīng)并不一定是對(duì)稱的，還與地震波的輸入角度有關(guān)。設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)考慮地震輸入角度的影響，選擇最不利狀態(tài)考慮。此外，對(duì)比表3和表2可以看出，地震波三向耦合作用下主梁東側(cè)中跨跨中軸力、西邊塔根部縱向彎矩均小于地震波縱向作用下結(jié)構(gòu)的響應(yīng)值，表明三向地震波耦合作用下結(jié)構(gòu)響應(yīng)值不一定為最大。因此三向地震波耦合作用結(jié)果未必就一定是結(jié)構(gòu)的最不利受力狀態(tài)，單維地震響應(yīng)計(jì)算同樣具有現(xiàn)實(shí)意義。

5 結(jié)論

利用有限元方法完成了橋梁在地震激勵(lì)作用下振動(dòng)狀態(tài)的模擬，獲得以下結(jié)論：

（1）橋梁基本周期為3．03s，第一振型為主梁反對(duì)稱豎向彎曲，結(jié)構(gòu)反對(duì)稱效應(yīng)較為明顯，設(shè)計(jì)中應(yīng)考慮豎向地震的影響；兩邊塔上主梁縱向漂浮使得縱向地震對(duì)中塔根部縱向彎矩和剪力影響均較大，設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)配置足夠的抗震主筋和箍筋。

（2）結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)具有明顯的方向性，與地震波的輸入方向基本一致；但結(jié)構(gòu)振動(dòng)的衰減速度低于地震激勵(lì)的衰減速度，地震激勵(lì)基本停止后結(jié)構(gòu)仍有一段時(shí)間保持著振動(dòng)狀態(tài)。

（3）考慮恒載作用初始狀態(tài)對(duì)于判斷地震作用是否控制結(jié)構(gòu)構(gòu)件的設(shè)計(jì)具有重要的意義。

（4）結(jié)構(gòu)諸多對(duì)稱部位的縱向彎矩相差較大，說(shuō)明即使結(jié)構(gòu)對(duì)稱其地震響應(yīng)結(jié)果也并不一定對(duì)稱。

（5）三向地震波耦合作用下結(jié)構(gòu)某些部位的響應(yīng)小于地震波單獨(dú)作用時(shí)的響應(yīng)，因此三向地震波耦合作用未必就一定是結(jié)構(gòu)的最不利受力狀態(tài)，單維地震動(dòng)響應(yīng)分析同樣具有非?，F(xiàn)實(shí)的意義。

圖4 James rd地震波耦合作用下結(jié)構(gòu)典型部位響應(yīng)圖形Fig．4 Response diagrams of the typical site on the bridge under coupling effect of James rd seismic wave．

（6）地震作用初期結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)時(shí)程曲線的走勢(shì)與地震波譜走勢(shì)具有一定的相似性，地震響應(yīng)時(shí)程與地震波譜在統(tǒng)計(jì)意義上是否存在一種定量的數(shù)值關(guān)系，且這一關(guān)系是否僅與結(jié)構(gòu)的類型相關(guān)，是一個(gè)值得進(jìn)一步研究的問(wèn)題。

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Nonlinear Earthquake Response Analysis on Three－tower Cable－stayed Bridge Based on Newmark－βExplicit Scheme Direct Integration Method

YU Ming－qiu1，HU Bing2，ZHANG Dou－long3

（1．Bureau of Planning and Construction Administration of Panzhihua city，Sichuan Panzhihua 617000，China；2．School of Civil Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China；3．Chengdu Branch of Tanmu Information Technology（Shanghai）Co．，Ltd，Chengdu 610031，China）

U448．27

A

1000－0844（2012）03－0245－05

10．3969／j．issn．1000－0844．2012．03．0245

2010－03－08

中鐵大橋勘測(cè)設(shè)計(jì)院橫向課題

喻明秋（1983－），男，碩士研究生，四川遂寧人，主要從事橋梁抗震理論與應(yīng)用研究．