加春燕，王建麗，劉 鵬

(1.北京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，北京 100042;2.太原科技大學(xué)華科學(xué)院，太原 030024;3.山西農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院，山西 太谷 030800)

在獲取數(shù)字圖像的過程中，由于設(shè)備或者操作者的原因，易造成運動模糊。如果在曝光瞬間，相機鏡頭和對象之間有相對運動，那么拍攝到的圖像便是運動模糊圖像。簡單的線性運動模糊模型可用一個卷積型方程表示[1]:

其中，g表示運動模糊帶噪的圖像，f是未受到運動模糊和噪聲影響的理想圖像，kL，θ代表運動模糊的點擴散函數(shù)(PSF)，n通常視為高斯白噪聲。復(fù)原運動模糊圖像的目的就是:從觀測圖像g出發(fā)，結(jié)合運動模糊的點擴散函數(shù)kL，θ和噪聲n的相關(guān)信息，得出復(fù)原圖像，復(fù)原結(jié)果與f越接近越好。

運動模糊的點擴散函數(shù) kL，θ的一般表達式為[2]:

顯然，確定kL，θ的關(guān)鍵在于兩個重要參數(shù):一是運動模糊的方向角θ，二是運動模糊的長度L.要進行圖像復(fù)原，需要準確地估計出θ和L，本文主要研究運動模糊圖像的方向角θ的估計方法。

1 運動模糊圖像的頻譜特征分析

圖1 運動模糊圖像及其Fourier頻譜圖像Fig.1 A motion blurred image and its Fourier spectrum image with L=10 pixels and θ =45°

由卷積原理，對模型方程(1)做Fourier變換，得到頻域上的方程:

其中K(u，v)為一個Sinc函數(shù)，因此，如果運動模糊圖像受噪聲污染較小，則相應(yīng)的Fourier頻譜圖像中會出現(xiàn)平行的黑線，且該組黑線與Y軸的夾角即為運動模糊方向角θ[3].圖1中左邊為運動模糊圖像，其中方向角為45°，右邊是對應(yīng)的頻譜圖像G(u，v)，從中明顯看出平行線的特征，且平行線與Y軸的夾角約為45°.顯然，頻譜圖像中的平行黑線是估計θ的重要依據(jù)，后面涉及到的方法都是從運動模糊圖像的頻譜特征出發(fā)來估計θ.

2 方向角估計方法的對比研究

2.1 Hough 變換方法

Hough變換通過檢測圖像中點的共線性來確定圖像中最為明顯的直線[4]。具體來說，假設(shè)圖像中有n個特征點，希望找出含特征點最多的直線。1962年數(shù)學(xué)家Hough提出了一種簡單方法:將平面內(nèi)過一點的所有直線轉(zhuǎn)化為參數(shù)空間中的一條正弦曲線，如果參數(shù)平面內(nèi)有K條正弦曲線相交于一點，則對應(yīng)XY平面內(nèi)K個點共線[7]。Hough變換檢測圖像中直線的數(shù)值實驗過程為:

(ⅰ) 網(wǎng)格剖分 ρ∈ [ρmin，ρmax]，θ∈ [θmin，θmax]，在 ρθ平面形成網(wǎng)格;

(ⅱ)在ρθ平面每個網(wǎng)格放置一個記數(shù)器A(ρ，θ)，并設(shè)置初值均為0;

(ⅲ)對圖像中的每個特征點(xi，yi)，依次取θ= θmin∶θmax，之后計算出ρ=xicosθ+yisinθ，于是該網(wǎng)格記數(shù)器A(ρ，θ)增加1;

(ⅳ)所有特征點都統(tǒng)計完成后，找到值最大的記數(shù)器(比如記為 A(ρ*，θ*)，則對應(yīng) XY平面中檢測出的直線方程為 ρ*=xcosθ*+ysinθ*.

在實際運用中，通常先得到模糊頻譜圖像的邊界圖像(二值圖像)，選取邊界點為特征點，再做Hough變換。圖2展示了用Hough變換檢測運動模糊圖像方向角的效果，其中(a)圖是運動模糊圖像，θ=30°，(b)圖顯示了Hough變換檢測出的直線，對應(yīng)角度為 30.809°，(c)圖中運動方向角 θ=90°，(d)圖檢測出的結(jié)果為90.001°.

2.2 Radon 變換方法

對于函數(shù) G(u，v)，其 Radon 變換為[5]:

圖2 Hough變換估計運動模糊圖像的方向角Fig.2 Estimation for angle of motion blurred images by using Hough transform

事實上，G(u，v)的Radon變換是沿著距原點(圖像中心)ρ且與Y軸夾角為θ的直線的積分，Radon變換的最大值對應(yīng)圖像中最明顯的直線，該直線的角度即為運動模糊圖像方向角的估計值。需要注意的是，Radon變換要計算函數(shù)沿各個方向直線的積分，而對于有限的圖像(一般是矩形)來說，顯然圖像對角線上的線段最長，積分結(jié)果會比較大，因此用Radon變換常常錯誤的估計出45°或者135°，為了克服這種現(xiàn)象，可以對圖像預(yù)先歸一化，即逐點除以和圖像大小相同的全1矩陣，再進行Radon變換。

圖3展示了對運動模糊頻譜圖像做Radon變換的結(jié)果，左邊是運動模糊頻譜圖像，其中θ=10°，右邊是Radon變換的結(jié)果，圖像中最亮的地方對應(yīng)角度為10.052°，估計比較準確。

圖3 Randon變換估計運動模糊圖像的方向角Fig.3 Estimation for angle of motion blurred images by using Radon transform

2.3 Cepstral變換方法

Cepstral變換方法通過計算模糊圖像的對數(shù)逆頻(Cepstrum)來尋找特征[6]。模糊圖像 g(x，y)的對數(shù)逆頻定義為:

對數(shù)逆頻的一個重要性質(zhì)是卷積可加性，假設(shè)不考慮噪聲，即在式(1)中n(x，y)=0，則:

圖4 Cepstral變換估計運動模糊圖像的方向角Fig.4 Estimation for angle of motion blurred images by using Cepstral transform

模糊核函數(shù)kL，θ的Fourier變換K(u，v) 是一個Sinc函數(shù)，且在 ±1/L 處值為0[4]，于是log|K(u，v)|在 ±1/L處為負無窮大，從而 C(kL，θ(x，y)) 在距原點L處是負無窮大，由于對數(shù)逆頻的卷積可加性，則這個性質(zhì)會保留到C(g(x，y))中，即從C(g(x，y))的圖像中看，在距原點L處應(yīng)該有兩個大的負峰。因此，要估計運動方向角，只需從第一個峰值處到原點畫一條直線，再計算該直線的傾斜角即可。

圖4展示了用Cepstral變換估計運動模糊圖像方向角的過程。左邊是運動模糊頻譜圖像G(θ=60°)，中間是對數(shù)逆頻圖像 C(g(x，y))，從中確實可以看到兩個明顯的負峰。右邊從一個峰值處檢測到的直線，該直線的傾斜角為60.213°，與θ的真實值十分接近。

3 三種方法實驗結(jié)果的綜合分析比較

為了對Hough變換、Radon變換和Cepstral變換三種方法進行綜合分析比較，利用matlab數(shù)學(xué)軟件編寫程序，進行了大量的數(shù)值實驗。測試圖像為256×256的衛(wèi)星圖像(如圖1所示)，方向角的變化范圍是0°～180°，分別設(shè)定運動距離L=10和L=40兩種情況來測試三種方法對L的敏感度，此外，定義信噪比SNR(見公式7)來衡量噪聲水平，從定義可知，SNR越小代表噪聲越大，試驗中分別取無噪聲和SNR=20兩種情況來測試三種方法對噪聲的敏感度。

表1 無噪聲時三種方法估計精度的數(shù)值結(jié)果Tab.1 Numerical results of three methods with no additive noise

圖5 無噪聲時三種方法的估計精度Fig.5 Estimation accuracy of three kinds of methods with no additive noise

表1和圖5分別展示了無噪聲時三種方法的估計精度(誤差的絕對值)結(jié)果，容易看出，L=10時，Cepstral變換的估計效果最好，其次是Hough變換和Radon變換。而當L=40時，Radon變換的效果最好，其次是 Cepstral變換，Hough變換效果最差，誤差高達12°.

表2 SNR=20時三種方法估計精度的數(shù)值結(jié)果Tab.2 Numerical results of three methods with SNR=20

圖6 SNR=20時三種方法估計角度的誤差絕對值Fig.6 Estimation accuracy of three kinds of methods with SNR=20

表2和圖6分別展示了信噪比SNR=20時三種方法的估計精度結(jié)果，有了噪聲的干擾，估計角度的難度增加，但從結(jié)果容易看出，Radon變換的估計效果仍然很好，可見噪聲對其影響不大。而Hough變換和Cepstral變換則對噪聲比較敏感，平均誤差在6.4°～29°之間，精度太低，不適宜估計角度。

根據(jù)第2節(jié)的原理分析和第3節(jié)的數(shù)值實驗結(jié)果，可以得出如下結(jié)論:

(1)Hough變換:依賴于選取的特征點，特征點選不好則估計誤差大[8]。對于小距離和無噪聲干擾的情況，相對容易找到特征點，因此估計效果較好，而當運動距離增大或者加入噪聲，則不易找到準確的特征點，從而導(dǎo)致估計結(jié)果較差。

(2)Radon變換:整體估計效果較好，噪聲干擾對其估計精度的影響不大，且L較大時估計更為準確。

(3)Cepstral方法:運動距離L的大小對其估計精度影響不大，但它對于噪聲比較敏感，噪聲水平較高時估計不準確。

綜上所述，對于給定的運動模糊圖像，如果容易找到特征點，可用Hough變換來估計運動角度，反之則失效。假如圖像受噪聲污染較小，可以選用Cepstral變換方法，反之則用Radon變換方法。在實際的運動模糊圖像處理中，由于噪聲污染幾乎不可避免，且圖像千差萬別，特征點不易選取，因此，最常用也相對實用的還是Radon變換方法。

4 結(jié)語

從運動模糊圖像出發(fā)，結(jié)合其點擴散函數(shù)，分析了圖像的頻譜特征，之后研究了目前估計方向角常用的方法:Hough變換、Radon變換和Cepstral變換，通過分析每種方法的數(shù)學(xué)原理，結(jié)合大量的數(shù)值實驗，綜合比較了三種方法的估計精度，得出了三種方法的適用范圍，有助于更為準確地估計運動模糊圖像的方向角，進而較好地復(fù)原圖像。

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