李力利

(上海交通大學(xué)電子工程系，上海200240)

0 引言

在“數(shù)字信號(hào)處理”課程的教學(xué)中會(huì)涉及到系統(tǒng)的幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)之間的關(guān)系問(wèn)題。對(duì)于具有有理系統(tǒng)函數(shù)的離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，也即由差分方程描述的系統(tǒng)，其幅度和相位之間有某種約束關(guān)系。在零點(diǎn)和極點(diǎn)個(gè)數(shù)已知的情況下，幅度已知?jiǎng)t相位的選擇有限，反之，相位已知?jiǎng)t除了一個(gè)加權(quán)因子外也僅有有限種幅度可供選擇。如果零點(diǎn)和極點(diǎn)個(gè)數(shù)不加限定，則選擇有無(wú)窮多種［1]。

文獻(xiàn)［1] 只給出了由幅度確定系統(tǒng)函數(shù)的方法，沒(méi)有給出理論依據(jù)，很多教師和學(xué)生對(duì)此都心存疑問(wèn)，認(rèn)為結(jié)果并不全面。本文針對(duì)各種情況進(jìn)行詳細(xì)分析，討論了由相位確定系統(tǒng)函數(shù)的方法。

1 根據(jù)幅度確定相位

我們給定系統(tǒng)的幅度平方特性為H(ejω)，并且已知系統(tǒng)函數(shù)H(z)是z的有理函數(shù)。我們?cè)谙旅嬗懻摳鶕?jù)|H(ejω)|2確定系統(tǒng)函數(shù)H(z)和其頻率響應(yīng)H(ejω)的方法［1，2]。

1)有理系統(tǒng)函數(shù)對(duì)應(yīng)的幅度平方函數(shù)

因?yàn)镠(z)是z的有理函數(shù)，所以可以表示成

其中，ck和dk是H(z)的零點(diǎn)和極點(diǎn)。我們已經(jīng)知道頻率響應(yīng)是系統(tǒng)函數(shù)在單位圓上的取值，所以有

則幅度平方函數(shù)具有如下形式:

2)由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù)

C1(z)的零點(diǎn)是ck和，它們互為共軛反演，極點(diǎn)是dk和，也互為共軛反演。如果H(z)的系數(shù)都是實(shí)數(shù)，則零點(diǎn)四個(gè)一組和1/ck互為共軛和反演關(guān)系［1，3]，位于單位圓上或?qū)嵼S上的零點(diǎn)則兩個(gè)一組甚至單獨(dú)存在。極點(diǎn)的特點(diǎn)也是如此。這些零點(diǎn)和極點(diǎn)分別來(lái)自于H(z)和H*(1/z*)。

下面我們討論一下除了上述方法確定的系統(tǒng)函數(shù)，還有沒(méi)有其他的可能?？紤]到|H(ejω)|中的ejω也可能是H(z)中的轉(zhuǎn)換得到的，所以也可以將式(3)的ejω)用1/z*替換以還原系統(tǒng)函數(shù)，即有

該表達(dá)式僅僅是式(4)的共軛，所以C2(z)的零點(diǎn)極點(diǎn)和C1(z)具有相同的特點(diǎn)。將C2(z)的因式分成兩部分，其中一部分構(gòu)成H(z)就得到系統(tǒng)函數(shù)的另外一些可能的表達(dá)式。比較式(4)和式(5)發(fā)現(xiàn)，兩種方法得到的H(z)的表達(dá)式互為共軛關(guān)系。所以兩種方法其實(shí)就是同一種方法，也就是說(shuō)，將采用式(4)確定的H(z)取共軛，得到的系統(tǒng)函數(shù)也滿足給定的幅度響應(yīng)。

另外，我們還可以令式(3)中的某些ejω=z，另一些ejω=1/z*，得到z的其它有理函數(shù)表達(dá)式。比如:

或

C3和C4的零點(diǎn)和極點(diǎn)全是二階的。如果H(z)的系數(shù)都是實(shí)數(shù)，則具有互為共軛的二階零點(diǎn)對(duì)和互為共軛的二階極點(diǎn)對(duì)。

式(3)中各因式對(duì)在用ejω=z和ejω=1/z*分別進(jìn)行替換時(shí)還可以有不同的組合方式，得到的所有的表達(dá)式其實(shí)都包括在式(4)得到的結(jié)果中。所以，采用式(4)確定的系統(tǒng)函數(shù)就涵蓋了所有的情況，最多再擴(kuò)充同等數(shù)量的取共軛的系統(tǒng)函數(shù)。文獻(xiàn)［1] 只給出了這種方法。

如果H(z)的零點(diǎn)和極點(diǎn)個(gè)數(shù)沒(méi)有規(guī)定，根據(jù)以上方法確定的系統(tǒng)H(z)級(jí)聯(lián)任意全通系統(tǒng)Hap(z)，得到的新系統(tǒng)［H(z)Hap(z)] 也具有規(guī)定的幅度響應(yīng)，所以H(z)有無(wú)窮多種可能選擇。

3)由幅度平方函數(shù)確定頻率響應(yīng)

按照前面的方法確定了H(z)，也就是可以確定H(ejω)。下面再討論根據(jù)直接確定H(ejω)的問(wèn)題，對(duì)這個(gè)問(wèn)題的分析要簡(jiǎn)單得多。從式(3)看出是ejω的有理函數(shù)，并且分子必然是互為共軛的兩個(gè)因式成對(duì)出現(xiàn)，分母亦然。在這些因式對(duì)中任取其一進(jìn)行組合則得到H(ejω)的若干種不同的表達(dá)式。如前所述，如果H(z)的系數(shù)全是實(shí)數(shù)，則式(3)可能存在如下形式:

分組時(shí)前兩項(xiàng)必須一起，后兩項(xiàng)必須一起。

同理，這個(gè)級(jí)聯(lián)任意全通系統(tǒng)后的頻率響應(yīng)［H(ejω)Hap(ejω)] 也可以是此所求，所以結(jié)果可能無(wú)窮多。

2 根據(jù)相位確定幅度

給定系統(tǒng)的相位響應(yīng)arg［H(ejω)] ，并且已知系統(tǒng)函數(shù)H(z)是z的有理函數(shù)。我們下面討論根據(jù)arg［H(ejω)] 確定H(ejω)或H(z)的方法。

我們采用簡(jiǎn)寫(xiě)符號(hào)a(ejω)=tan{arg［H(ejω)] }。因?yàn)?/p>

所以，H(z)是z的有理函數(shù)的情況下，a(ejω)是ejω的有理函數(shù)。由式(8)可以求得

如果H(ejω)具有式(2)的形式，則

可見(jiàn)C(ejω)也是ejω的有理函數(shù)，其分子和分母必然是互為共軛的兩個(gè)因式成對(duì)出現(xiàn)。如果任取其中的一個(gè)因式則得到H(ejω)的表達(dá)式，比如說(shuō)取或，結(jié)果也是不唯一的。如果H(z)的系數(shù)全是實(shí)數(shù)，則式(10)可能存在形如的因式組，則選取時(shí)分子中的兩個(gè)因式必須同時(shí)取舍，分母中的兩個(gè)因式也必須同時(shí)取舍。

我們也可以將式(10)的ejω替換成z，得到

與前面類(lèi)似地，將C(z)的因式分成兩組，得到H(z)的若干種表達(dá)式。

另外，根據(jù)上述方法求出H(ejω))或H(z)后，級(jí)聯(lián)一個(gè)相位為零的系統(tǒng)，得到的新的系統(tǒng)也滿足給定的相位。

綜上所述，相位給定的情況下，幅度的選擇也不是唯一的，在零點(diǎn)極點(diǎn)個(gè)數(shù)確定的情況下，幅度響應(yīng)只有有限種可能。

3 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)具有有理系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)，首先分析了由給定的幅度響應(yīng)確定系統(tǒng)函數(shù)的方法，全面考慮了各種情況以驗(yàn)證教材上給出方法的正確性，然后討論了由幅度響應(yīng)直接確定頻率響應(yīng)的方法，接下來(lái)又討論了由相位響應(yīng)確定系統(tǒng)函數(shù)和頻率響應(yīng)的方法，從而全面驗(yàn)證了幅度和相位之間存在著某種約束關(guān)系。

［1] Alan V.Oppenheim.Discrete-Time Signal Processing(second edition).Prentice Hall，1999

［2] 倪養(yǎng)華，王重瑋.數(shù)字信號(hào)處理-原理與實(shí)現(xiàn).上海:上海交通大學(xué)出版社，1998

［3] 劉興釗，李力利.數(shù)字信號(hào)處理.北京:電子工業(yè)出版社，2010