楊 斌，劉惠康，代文蕤

YANG Bin1, LIU Hui-kang2, DAI Wen-rui3

(1.成都理工大學(xué) 工程技術(shù)學(xué)院，樂(lè)山 614007；2.武漢科技大學(xué)，武漢 430080；3.武鋼冷軋硅鋼片廠 吊車車間，武漢 430080)

0 引言

橋式起重機(jī)作為一種現(xiàn)代搬運(yùn)機(jī)械，是現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)和起重運(yùn)輸中實(shí)現(xiàn)生產(chǎn)過(guò)程機(jī)械化、自動(dòng)化的重要設(shè)備。它廣泛地應(yīng)用于室內(nèi)外工礦企業(yè)、鋼鐵化工、鐵路交通、港口碼頭以及物流周轉(zhuǎn)等部門和場(chǎng)所從事空中吊運(yùn)和裝卸任務(wù)。由于起重機(jī)在運(yùn)行過(guò)程中，吊物因慣性或受到外部干擾（如：大、小車的加減速、起動(dòng)和停車、風(fēng)力）等影響，會(huì)使得吊物離開原有的平衡位置產(chǎn)生很大的擺動(dòng)。這種擺動(dòng)不僅使得吊物的裝卸難以定位，降低了生產(chǎn)效率，而且還對(duì)周圍的吊裝人員和設(shè)備帶來(lái)嚴(yán)重的安全隱患。因此在生產(chǎn)實(shí)際中橋式起重機(jī)往往是由經(jīng)驗(yàn)豐富的專職司機(jī)人工操作。本文分析了橋式起重機(jī)在三維空間中的數(shù)學(xué)模型的仿真結(jié)果后，提出采用線性二次型最優(yōu)輸出調(diào)節(jié)器技術(shù)構(gòu)造一跟蹤控制器，以實(shí)現(xiàn)吊物的精確定位和消除游擺。

1 起重機(jī)三維動(dòng)力學(xué)模型

一般地，要獲得橋式起重機(jī)在三維空間中的數(shù)學(xué)模型是比較困難的。大、小車的位移，吊物的擺角以及吊物的起升高度都是隨時(shí)間和場(chǎng)地情況而變化的。因此在很多參考文獻(xiàn)中都只考慮了小車這一個(gè)運(yùn)動(dòng)平面，且鋼絲繩的長(zhǎng)度為某一定值時(shí)的這一簡(jiǎn)化情況。然而在生產(chǎn)實(shí)際中，為提高生產(chǎn)效率，通常大、小車的運(yùn)動(dòng)是同時(shí)進(jìn)行的，因此有必要研究橋式起重機(jī)在三維空間中的動(dòng)力學(xué)模型。

圖1 橋式起重機(jī)工作示意圖

圖1中已經(jīng)對(duì)橋式起重機(jī)在三維坐標(biāo)下，某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行了受力分析。其中fy和fx分別是大、小車所受的牽引力；mg為吊物的重力；l為鋼絲繩的長(zhǎng)度；β和α分別為大、小車運(yùn)動(dòng)過(guò)程中吊物在x-o-z和y-o-z投影面上的投影產(chǎn)生的偏角；(x1,y1,z1)是吊物在三維坐標(biāo)系中的位置。

設(shè)起重機(jī)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中某一時(shí)刻小車在空間中的坐標(biāo)為(x,y,0)，于是有：

由分析可知，本系統(tǒng)總的動(dòng)能T為大、小車動(dòng)能和吊物動(dòng)能的三者之和，所以T可以表示為：

其中Fj為系統(tǒng)在廣義坐標(biāo)qj下的廣義力。在忽略摩擦阻力，并充分考慮小擺角(不超過(guò)10°)時(shí)，可對(duì)角度進(jìn)行如下近似處理：sinα≈α，sinβ≈β，cosα≈1，cosβ≈1，sinαsinβ≈0，將(1)式和(2)式代入方程(3)，整理后可得如下方程組：

由方程組(5)和(6)，大、小車運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下所示。

現(xiàn)有QD型10噸雙梁橋式起重機(jī)的具體參數(shù)如表1所示。

將表1中的參數(shù)代入方程(7)和(8)，并考慮輸出方程可得如下狀態(tài)空間表達(dá)式：

表1 QD-10雙梁橋式起重機(jī)主要參數(shù)

2 系統(tǒng)開環(huán)仿真分析

由于大、小車運(yùn)動(dòng)方程式實(shí)際上在y軸和x軸上已完全解耦，所以可以單獨(dú)對(duì)大、小車的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特性分別進(jìn)行分析。以小車情況為例，分析結(jié)果如下：

根據(jù)李雅普諾夫第一法，方程(9)中系統(tǒng)矩陣的4個(gè)特征值0、0、±j2.2091全部位于虛軸上，小車系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處是非漸近穩(wěn)定的。對(duì)小車開環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行仿真，其仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 小車開環(huán)控制時(shí)的動(dòng)態(tài)過(guò)程

仿真結(jié)果表明，在開環(huán)狀態(tài)下，小車的位移不斷增大，而重物的擺角呈無(wú)阻尼振蕩。這樣一種動(dòng)態(tài)過(guò)程顯然是不能滿足實(shí)際控制要求的。類似的仿真結(jié)果在大車開環(huán)控制系統(tǒng)上也能夠獲得，這里不再一一贅述。

3 防擺控制器的設(shè)計(jì)

橋式起重機(jī)防擺控制問(wèn)題實(shí)際上是一個(gè)跟蹤控制問(wèn)題，其控制目標(biāo)是保證系統(tǒng)的輸出量無(wú)靜差地跟蹤外部給定的輸出量 。因此該問(wèn)題很容易地能夠轉(zhuǎn)化為線性二次型最優(yōu)輸出跟蹤控制問(wèn)題，即設(shè)計(jì)一個(gè)最優(yōu)輸出跟蹤器。

對(duì)于橋式起重機(jī)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(9)和(10)，考慮性能指標(biāo)函數(shù)：

其中，e(t)= (t)-yr(t)為實(shí)際輸出量y(t)對(duì)給定輸出量yr(t)的跟蹤誤差。于是系統(tǒng)的輸出跟蹤器的最優(yōu)控制規(guī)律為：

其中u1(t)為狀態(tài)反饋控制；u2(t)為yr(t)驅(qū)動(dòng)的控制作用；P矩陣滿足如下代數(shù)黎卡提方程：

而待定向量ξ為：

針對(duì)小車運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的狀態(tài)方程式(9)，分別取R=1，Q=5×107；應(yīng)用MATLAB可以方便地求解上述黎卡提方程，并計(jì)算出狀態(tài)反饋矩陣K和輸入控制矩陣Ky。

此時(shí)的閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為：－0.2962±2.1765i，－0.5625±0.7397i。應(yīng)用Simulink對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程進(jìn)行仿真，并設(shè)置仿真初值為：

當(dāng)給定輸入信號(hào)為u=10時(shí)，小車運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 小車系統(tǒng)最優(yōu)輸出跟蹤器的動(dòng)態(tài)過(guò)程

以上的仿真結(jié)果表明，按照線性二次型最優(yōu)輸出跟蹤控制設(shè)計(jì)的橋式起重機(jī)防擺控制器完全能夠滿足任務(wù)要求，即小車運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)在吊物的初始擺角α=0.1rad時(shí)，從初始值1m的地方運(yùn)動(dòng)到終止值10m的地方，小車能夠在17秒鐘內(nèi)運(yùn)動(dòng)到終值，并且位移和擺角所產(chǎn)生超調(diào)完全在控制范圍以內(nèi)。這充分說(shuō)明了最優(yōu)輸出跟蹤器能夠使得小車精確地停車并有效地消除吊鉤的游擺。類似的仿真結(jié)果在大車運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)上同樣能夠獲得。

4 結(jié)論

本文詳細(xì)地闡述了橋式起重機(jī)在三維空間下的建模方法、開環(huán)狀態(tài)下的動(dòng)態(tài)特性以及最優(yōu)輸出跟蹤器的設(shè)計(jì)原理和它的動(dòng)態(tài)過(guò)程仿真及分析。由于橋式起重機(jī)被廣泛地應(yīng)用于冶金工業(yè)的各個(gè)領(lǐng)域，因此其鉤頭或吊物的精確定位和消除停車后鉤頭或吊物的游擺對(duì)提高生產(chǎn)效率、解放勞動(dòng)力有著深遠(yuǎn)的意義。本文中所論述的最優(yōu)輸出跟蹤器的防擺控制解決方案，其仿真結(jié)果表明該方案可以獲得滿意的控制效果，能夠安全、快速地實(shí)現(xiàn)了橋式起重機(jī)的定位和消除吊物的游擺，且算法簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)橋式起重機(jī)的無(wú)人化遠(yuǎn)程控制。

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