肖玉兵,曾凡永,劉 毅,郭騰龍

(1.江蘇省水文水資源勘測局南通分局,江蘇南通226006;2.河海大學(xué)地球科學(xué)與工程學(xué)院,江蘇南京210098)

0 引 言

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中經(jīng)常使用最小二乘法求解轉(zhuǎn)換參數(shù),但是傳統(tǒng)的最小二乘法適用于正態(tài)分布的樣本,在數(shù)據(jù)含有較多量值不大的隨機(jī)性誤差情況下較為理想,但對偏離主體分布的粗差不夠敏感[1]。因此,坐標(biāo)轉(zhuǎn)換前首先要對公共點(diǎn)進(jìn)行篩選,剔除含有粗差的坐標(biāo)值。一般的做法是首先對含有粗差的樣本點(diǎn)進(jìn)行最小二乘平差,以最小二乘的殘差估值作為初值進(jìn)行抗差估計(jì),利用迭代終止時(shí)的等價(jià)權(quán)值判斷粗差的位置。但這樣做的問題是,含有粗差的最小二乘估值與真值存在較大的偏差,以此作為初值進(jìn)行抗差估計(jì),必然會(huì)對粗差的定位產(chǎn)生影響。

本文以具有穩(wěn)健性的L1范數(shù)最小法為基礎(chǔ),驗(yàn)證基于穩(wěn)健初值的抗差估計(jì)理論在公共點(diǎn)粗差定位方面的可靠性和準(zhǔn)確性。

1 抗差估計(jì)

抗差估計(jì)法屬于粗差探測理論中的“方差擴(kuò)大”模型的方法,即將粗差歸入隨機(jī)模型,含粗差的觀測值可以看作與其他同類觀測值具有相同的期望,但粗差觀測值的方差將異常的大。抗差估計(jì)常用的方法是選權(quán)迭代法,與傳統(tǒng)最小二乘法不同的是,選權(quán)迭代法的權(quán)是以改正數(shù)v為自變量的等價(jià)權(quán)函數(shù)[2-3]。選權(quán)迭代法的函數(shù)模型為:

式中:P(v)應(yīng)滿足一定的條件,使正常觀測值在迭代結(jié)束時(shí)的權(quán)不變,而含有粗差的觀測值的權(quán)趨近于零,以降低含有粗差的觀測值對平差結(jié)果的影響,并達(dá)到定位粗差的目的。根據(jù)權(quán)函數(shù)的不同,有不同的抗差估計(jì)方法,部分列舉如下:

1.1 Huber法

Huber法的極值準(zhǔn)則是假設(shè)觀測值在不利分布情況下求最優(yōu)估計(jì),其計(jì)算公式為:

式中:Pk+1為第k+1次迭代的權(quán)函數(shù),σ為單位權(quán)中誤差,vi為觀測值殘差,c為常數(shù),通常c取值在0.7至2.0。

1.2 帶權(quán)數(shù)據(jù)探測法

帶權(quán)數(shù)據(jù)探測法由EL-HAKIM提出,其計(jì)算公式為:

1.3 驗(yàn)后方差估計(jì)選權(quán)迭代法

驗(yàn)后方差估計(jì)選權(quán)迭代法思想是[4-5]:根據(jù)經(jīng)典的最小二乘平差,求出觀測值的驗(yàn)后方差,再利用方差檢驗(yàn)找出方差異常大(即粗差)的觀測值,然后給予它一個(gè)相應(yīng)小的權(quán)進(jìn)行下一次迭代平差,逐步實(shí)現(xiàn)粗差的定位。對于一組等精度觀測值,構(gòu)造式如(4)的統(tǒng)計(jì)量和式(5)的相應(yīng)的權(quán)函數(shù):

式中:σ0為單位權(quán)中誤差;ri為相應(yīng)的多余觀測數(shù);Fα(1,ri)為F分布的上α分位點(diǎn)。

2 具有穩(wěn)健初值的抗差估計(jì)

選權(quán)迭代法的關(guān)鍵是權(quán)函數(shù)殘差初值的確定,常用的做法是根據(jù)傳統(tǒng)的最小二乘平差來確定。但是由于最小二乘估計(jì)對粗差具有均衡作用和不敏感性,有粗差的觀測值的殘差并非最大,致使選權(quán)迭代時(shí)發(fā)生錯(cuò)誤的判斷,當(dāng)數(shù)據(jù)中的粗差較多時(shí)尤為明顯[6-7]。因此應(yīng)該采用一種穩(wěn)健的估值方法,計(jì)算觀測值的殘差,提高粗差定位的穩(wěn)定性。L1范數(shù)最小法的求解實(shí)際是如式(6)的線性規(guī)劃問題:

式中:X表示誤差方程式的待定參數(shù),V表示觀測值的改正數(shù)。由于線性規(guī)劃具有較好的穩(wěn)健性,因此可利用線性規(guī)理的單純形法求解式(6)的最佳可行解。根據(jù)最佳可行解計(jì)算坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型的殘差V,作為抗差估計(jì)的初值,利用選權(quán)迭代法定位含有粗差的公共點(diǎn)位置。

3 計(jì)算實(shí)例

試驗(yàn)以某地區(qū)工程控制網(wǎng)為例,該區(qū)域中共有控制點(diǎn)12個(gè),已知其54和80高斯平面直角坐標(biāo),為了驗(yàn)證本文所提方法的可靠性與準(zhǔn)確性,選取其中五個(gè)控制點(diǎn)進(jìn)行分析,將其編號(hào)為1,2…,5,點(diǎn)位分布如圖1所示。坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型為式(7)所示的相似變換模型,并選取全部公共點(diǎn)參與計(jì)算。

圖1 公共點(diǎn)點(diǎn)位分布

式中,(x54,y54)、(x80,y80)分別為公共點(diǎn)的54和80高斯平面直角坐標(biāo)。為驗(yàn)證“具有穩(wěn)定初值的選權(quán)迭代法”對公共點(diǎn)中粗差值定位的可靠性,設(shè)計(jì)了如下五種方案進(jìn)行粗差定位的實(shí)驗(yàn):

方案1:在5號(hào)點(diǎn)的Y坐標(biāo)中加入-2 cm粗差;

方案2:在2號(hào)點(diǎn)的X坐標(biāo)中加入-2 cm粗差;

方案3:在3號(hào)點(diǎn)的X坐標(biāo)加入-25 cm,在4號(hào)點(diǎn)的Y坐標(biāo)加入+20 cm的粗差;

方案4:在1號(hào)點(diǎn)的X坐標(biāo)加入+20 cm,在5號(hào)點(diǎn)X坐標(biāo)加入-60 cm的粗差;

方案5:在2號(hào)點(diǎn)的Y坐標(biāo)加入+5 cm,在4號(hào)點(diǎn)的X坐標(biāo)加入+10 cm的粗差。

以抗差估計(jì)中的帶權(quán)數(shù)據(jù)探測法為例,分別以基于最小二乘初值和基于穩(wěn)健初值的抗差估計(jì)法,對上述方案中的粗差進(jìn)行定位。

以含有粗差的公共點(diǎn)坐標(biāo)為觀測值,以式(7)為數(shù)學(xué)模型,依次對上述方案采用經(jīng)典最小二乘法進(jìn)行平差,得到如表1所示的殘差,并以該殘差作為權(quán)函數(shù)的初值,采用帶權(quán)數(shù)據(jù)探測法迭代求解,得到的等價(jià)權(quán)的最終形式如表2所示。其中表2的最后一列表示粗差定位的結(jié)果(“T”表示粗差定位成功,“S”表示只定位出一部分粗差,“F”表示粗差定位失敗)。表2的最后一行列出了相應(yīng)觀測值的多余觀測分量。

表1 L1范數(shù)最小法的轉(zhuǎn)換殘差(mm)

表2 基于穩(wěn)健初值抗差法的等價(jià)權(quán)最終形式

分析表1可知,觀測值的粗差集中反映在平差后的相應(yīng)殘差上,無粗差的觀測值改正數(shù)則相對較小。如方案4,含有粗差的觀測值為1號(hào)點(diǎn)的X坐標(biāo)和5號(hào)點(diǎn)的X坐標(biāo),其改正數(shù)分別為201 mm和-600 mm,基本反映了其自身粗差值的大小,而無粗差的觀測值的改正數(shù)最大只有13 mm,受粗差影響較小。

以上分析說明L1范數(shù)具有良好的穩(wěn)健性,因此以L1范數(shù)的改正作為權(quán)函數(shù)的初值,進(jìn)行迭代求解,如表2所示,具有粗差的觀測值的權(quán)接近于0或是與其他觀測值的權(quán)相差較大,取得了良好的定位效果。

4 結(jié) 語

抗差估計(jì)法定位能力的強(qiáng)弱與權(quán)函數(shù)的初值有很大的聯(lián)系,如果權(quán)函數(shù)的殘差初值能較準(zhǔn)確地反映粗差的狀況,選權(quán)迭代法的粗差定位能力將會(huì)有很大的提高。具有穩(wěn)健初值的抗差估計(jì)在增加權(quán)函數(shù)初值穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上,提高了系統(tǒng)的粗差定位能力。通過以上分析與比較,說明了在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中L1范數(shù)具有較高的穩(wěn)健性,驗(yàn)證了基于穩(wěn)健初值的抗差估計(jì)法在粗差探測方面的可靠性與準(zhǔn)確性,因此,在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換前利用該方法對公共點(diǎn)進(jìn)行篩選具有較高的實(shí)用價(jià)值。

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