李超龍 石海泉 呂建欽

1 (華東交通大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院 南昌 330013)

2 (北京大學(xué)核物理與核技術(shù)國家重點(diǎn)實驗室 北京 100871)

在加速器的束流傳輸中，電四極透鏡是強(qiáng)聚焦元件，適用于各種低能粒子的聚焦，一般用于1MeV以下的束流聚焦。強(qiáng)流脈沖束在電四極透鏡中傳輸?shù)哪M計算是一個相當(dāng)復(fù)雜的問題，因為不同類型的粒子束分布產(chǎn)生不同的空間電荷場，而在束流運(yùn)動過程中，空間電荷場也在不斷地變化，而且粒子運(yùn)動的軌跡與空間電荷勢又是相互依賴的，最后，應(yīng)當(dāng)達(dá)到一種“自洽”的結(jié)果，在計算強(qiáng)流束的傳輸時求得自洽解是非常必要的[1]。

非強(qiáng)流脈沖束在電四極透鏡中傳輸時，束流中離子間的空間電荷力與外加聚焦力相比可以忽略，可以用TRANSPORT-EM程序進(jìn)行計算。強(qiáng)流脈沖束在電四極透鏡中傳輸時，束流中離子間的空間電荷力與外加聚焦力相比不可忽略，但TRANSPORT-EM 程序不計入空間電荷力，因此不能計算強(qiáng)流束的傳輸[2-4]。此時可以用TRACE 3-D、PARMILA、PARMTEQ等程序進(jìn)行計算，但是它們在計算強(qiáng)流束的傳輸時都不經(jīng)過迭代計算，所得結(jié)果不是自洽解[5-11]。

為了得到強(qiáng)流脈沖束在電四極透鏡中傳輸時的自洽解，采用矩陣法給出電四極透鏡中束流的傳輸矩陣，采用優(yōu)化方法實現(xiàn)給定的光學(xué)條件，采用迭代方法計求得自洽解。

1 電四極透鏡的傳輸理論

束流傳輸系統(tǒng)的設(shè)計與研究有矩陣法和軌跡方程法兩種數(shù)值計算方法。

矩陣法：根據(jù)束流傳輸理論，束流可用一個六維相空間橢球來描述，傳輸元件對束流運(yùn)動的作用可以用傳輸矩陣算子表示。矩陣法就是根據(jù)給定的初始束流相空間橢球，通過計算傳輸矩陣算子，設(shè)計束流傳輸系統(tǒng)使得傳輸后的束流相空間橢球符合要求。

軌跡方程法：采用對帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動方程直接積分的方法來設(shè)計束流傳輸系統(tǒng)。積分中，各個傳輸元件所產(chǎn)生的電磁場是預(yù)先給定的，它既可以是實驗測量值，也可以是數(shù)值計算結(jié)果。

本文采用矩陣法描述脈沖束流在電四極透鏡中的傳輸。非強(qiáng)流脈沖束在電四極透鏡中的傳輸時，不需要計入空間電荷力，電四極透鏡的傳輸矩陣為：

國家自然科學(xué)基金項目（21063007），江西省科技支撐計劃項目（2010BGB00602），江西省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項目（GJJ11677）資助

強(qiáng)流脈沖束在電四極透鏡中的傳輸時，需要計入空間電荷力，由于空間電荷場與束流粒子軌跡相互依賴，計算強(qiáng)流脈沖束傳輸?shù)淖郧⒔猓仨毎央娝臉O透鏡的場作用區(qū)均勻分成若干個區(qū)間，每個區(qū)間 [ zi-1,zi]的傳輸矩陣為：

2 程序的計算方法

在計算束流在電四極透鏡中的傳輸時，先計算非強(qiáng)流脈沖束流的傳輸，采用優(yōu)化方法自動調(diào)整元件的參數(shù)，束流粒子的軌跡通過傳輸矩陣的直接相乘計算得出；然后計算強(qiáng)流脈沖束的傳輸，采用迭代方法計算束流的空間電荷效應(yīng)。計算束流的空間電荷效應(yīng)時，首先，把電四極透鏡均分成i個區(qū)間，把束流流強(qiáng)分成j等份；其次，在第1區(qū)間，調(diào)用相應(yīng)數(shù)組中的考慮空間電荷時電四極透鏡中的傳輸矩陣(式(2))，進(jìn)行迭代計算，可以計算出第1區(qū)間的j級傳輸矩陣和j級束流包絡(luò)；再次，重復(fù)上述步驟，依次計算第 2至 i區(qū)間的j級傳輸矩陣和j級束包絡(luò)；最后，把元件第1至第i區(qū)間的j級傳輸矩陣依次連乘可以得到考慮空間電荷效應(yīng)時電四極透鏡的總矩陣，替換原先存儲在相應(yīng)數(shù)組中的不考慮空間電荷效應(yīng)時電四極透鏡的總矩陣。下面介紹優(yōu)化方法和迭代方法。

2.1 優(yōu)化方法

最優(yōu)化計算是加速器粒子動力學(xué)設(shè)計的重要手段，它不但能夠使設(shè)計方案更加合理，而且可以大大節(jié)省計算時間。本程序使用直接尋優(yōu)優(yōu)化方法，直接尋優(yōu)方法不需要計算目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，它們適合于這樣一些問題：目標(biāo)函數(shù)非常復(fù)雜，或者根本寫不出其解析式，故很難計算其導(dǎo)數(shù)。直接尋優(yōu)方法屬于共軛梯度法，共軛梯度法是介于最速下降法與牛頓法之間的一個方法，它僅需利用一階導(dǎo)數(shù)信息，但克服了最速下降法收斂慢的缺點(diǎn)，又避免了牛頓法需要存儲和計算Hesse矩陣并求逆的缺點(diǎn)，它的每一個搜索方向是互相共軛的，而這些搜索方向d僅僅是負(fù)梯度方向與上一次迭代的搜索方向的組合，不需要矩陣存儲。其優(yōu)點(diǎn)是所需存儲量小，具有較快的收斂速度和二次終止性等優(yōu)點(diǎn)，而且不需要任何外來參數(shù)。直接尋優(yōu)方法的計算步驟為：

2.2 迭代方法

由雅可比迭代公式可知，在迭代的每一步計算過程中是用 x(k)的全部分量來計算 x(k+1)的所有分量，顯然在計算第i個分量時，已經(jīng)計算出的最新分量, L ,沒有被利用。有理由認(rèn)為新計算出來的分量可能比上次迭代得到的分量有所改善。希望充分利用新計算出來的分量以提高迭代解法的效率，這就是高斯-賽德爾迭代法。

本程序采用高斯-塞德爾迭代法，相比雅可比迭代法，高斯-賽德爾迭代法的優(yōu)點(diǎn)是在電算時只需一組存儲單元，并且具有更快的收斂速度。本程序迭代方法的基本步驟為：

3 模擬計算

為了驗證理論和計算方法的科學(xué)性，保證本程序的可靠性，用本程序與TRANSPORT及TRACE 3-D進(jìn)行了模擬計算比較。圖1為用來模擬計算的束流傳輸系統(tǒng)，由離子源、漂浮空間、電四極透鏡和靶室等組成。已知離子的初始能量為35keV，質(zhì)量數(shù)和電荷數(shù)均為1。

圖1 束流傳輸系統(tǒng)Fig.1 Beam transfer system.

表 1為本程序與TRANSPORT在不同束流流強(qiáng)條件下的束流包絡(luò)曲線模擬值。當(dāng)束流流強(qiáng)為5mA時，本程序和TRANSPORT的模擬值很接近，可以說明束流流強(qiáng)較小時，本程序和TRANSPORT的模擬值吻合較好，從而證明本程序模擬的可靠性。從表 1容易發(fā)現(xiàn)：隨著束流流強(qiáng)增大，本程序的模擬值也逐漸增大。這是因為束流流強(qiáng)越大，束流的空間電荷效應(yīng)越強(qiáng)，空間電荷效應(yīng)對束流包絡(luò)曲線橫向發(fā)散作用越顯著。

圖2為本程序和TRACE 3-D模擬不同束流流強(qiáng)條件下束流包絡(luò)曲線圖。從圖2(a)~(b)可以看出，本程序和TRACE 3-D的模擬圖吻合較好，說明在束流流強(qiáng)較小時，計算空間電荷效應(yīng)時是否采用迭代方法對結(jié)果影響不大。從圖2(c)~(f)容易看出，隨著束流流強(qiáng)增大，本程序和TRACE 3-D的束流包絡(luò)曲線模擬圖的偏離逐漸增大。這是因為束流流強(qiáng)越大，空間電荷效應(yīng)對束流包絡(luò)曲線橫向發(fā)散作用越顯著，非自洽解與自洽解的偏差越大。

圖2 束流傳輸橫向包絡(luò)Fig.2 Transversal envelope of beam transfer.

4 結(jié)論

本文用矩陣法分析了強(qiáng)流脈沖束流在電四極透鏡中的傳輸矩陣，在此基礎(chǔ)上用迭代方法計算強(qiáng)流脈沖束流的傳輸。通過與其他現(xiàn)有模擬程序進(jìn)行對比分析，可以看出，本程序的模擬結(jié)果是準(zhǔn)確和可靠的。本程序在計算空間電荷效應(yīng)時用迭代法逐次逼近，直到前后兩次計算結(jié)果之差滿足所要求的精度為止(即達(dá)到前后自洽)，因此其計算結(jié)果是自洽的，相比其他程序，具有優(yōu)越性。模擬結(jié)果表明：束流流強(qiáng)越大，束流的空間電荷效應(yīng)越強(qiáng)，空間電荷效應(yīng)對束流包絡(luò)曲線橫向發(fā)散作用越顯著，非自洽解與自洽解的偏差也越大。

1 謝文楷. 帶電粒子束的理論與設(shè)計[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2009 XIE Wenkai. The theory and design of charged-particle beam[M]. Beijing: Science Press, 2009

2 茅乃豐, 肖美琴, 李增海. 用于束流輸運(yùn)計算的TRANSPORT-EM程序[J].原子能科學(xué)技術(shù), 1986, 20(6):117–119 MAO Naifeng, XIAO Meiqin, LI Zenghai. TRANSPORTEM—a program used for calculating beam line[J]. Atomic Energy Science and Technology, 1986, 20(6): 117–119

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11 Lysenko W P. TRACE 3-D code improvements[C]//Proceedings of the 1997 Computational accelerator physics. 1997: 247–252