宋 偉

0 引言

隨著國(guó)內(nèi)鐵路技術(shù)的發(fā)展，列車運(yùn)行速度的提高，其動(dòng)態(tài)環(huán)境急劇惡化，空氣動(dòng)力作用和輪軌間動(dòng)力作用加劇，高速弓網(wǎng)受流問(wèn)題復(fù)雜化，對(duì)受電弓-接觸網(wǎng)的動(dòng)態(tài)特性提出越來(lái)越高的要求。因此，在鐵路高速化進(jìn)程中，除了要研制高速機(jī)車車輛和線路結(jié)構(gòu)外，還必須研究解決受電弓在接觸網(wǎng)下的高速受流問(wèn)題，研究弓網(wǎng)動(dòng)力學(xué)特性和受電弓的氣力學(xué)特性，只有這樣才能使電力機(jī)車從接觸網(wǎng)上可靠地獲取電力能源。

本文就針對(duì)該問(wèn)題，對(duì)受電弓的線性化模型的運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行推導(dǎo)，與接觸網(wǎng)的有限元模型一起建立受電弓-接觸網(wǎng)系統(tǒng)垂向動(dòng)力學(xué)模型，并利用中心差分法編寫(xiě)了數(shù)值仿真程序；研究了列車運(yùn)行速度、接觸網(wǎng)和受電弓參數(shù)對(duì)弓網(wǎng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)接觸壓力的影響。

1 受電弓網(wǎng)模型及運(yùn)動(dòng)微分方程

1.1 受電弓模型及運(yùn)動(dòng)微分方程

國(guó)內(nèi)電力機(jī)車上使用的受電弓多為單臂受電弓，在建立接觸懸掛的振動(dòng)模型時(shí)，大都考慮了受電弓的作用及其影響，在進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真時(shí)，通常都要對(duì)受電弓的單元?dú)w算質(zhì)量，因此目前研究受電弓的模型常采用歸算質(zhì)量模型，歸算質(zhì)量模型是利用動(dòng)能等效原理將原結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化成幾個(gè)具有集總質(zhì)量的模型。圖1列出一些比較常用的受電弓模型。

圖1 受電弓模型示意圖

對(duì)于受電弓線性化模型的建立，主要是對(duì)框架結(jié)構(gòu)的線性化處理。假定受電弓的基座固定不動(dòng)（即不考慮機(jī)車的振動(dòng)），把受電弓底座的轉(zhuǎn)動(dòng)換算到框架頂部的垂向運(yùn)動(dòng)。所以本文采用二元弓模型，如圖1 b所示。

根據(jù)牛頓定律得到受電弓運(yùn)動(dòng)微分方程組表達(dá)式為[1，2]

式中，M1、C1、K1、M2、C2、K2分別為受電弓模型中弓頭和框架的質(zhì)量、阻尼、剛度；y1、y2分別為受電弓弓頭和框架的位移；y(x,t)為接觸線t時(shí)刻的位移；F0為靜態(tài)抬升力。

1.2 接觸網(wǎng)模型及振動(dòng)微分方程

接觸網(wǎng)是架設(shè)在鐵路線上空，向電力機(jī)車供電的輸電線路，通過(guò)它與電力機(jī)車的受電弓直接滑行接觸，將電能傳遞給電力機(jī)車。接觸懸掛是由接觸線、承力索、吊弦及其相應(yīng)的附屬裝置組成的連續(xù)空間機(jī)械系統(tǒng)。接觸懸掛若從整體講，是柔性狀態(tài)；若就局部而言，線索自身都具有一定剛度。為研究的方便[1]，任取接觸網(wǎng)一個(gè)微分段dx，其動(dòng)態(tài)受力示意圖如圖2所示。

圖2 具有一定剛度的一個(gè)懸掛微分段受力分析圖

當(dāng)受電弓以速度V勻速通過(guò)接觸網(wǎng)時(shí)，根據(jù)參考文獻(xiàn)[1]，得到具有一定剛度的接觸懸掛的振動(dòng)微分方程

式中，EJ，T，ρ，KS，C，δ分別為接觸懸掛抗彎強(qiáng)度，接觸網(wǎng)張力，接觸網(wǎng)線密度，接觸剛度，阻尼系數(shù)，Dirac函數(shù)；Vt為t時(shí)刻受電弓的橫坐標(biāo)，y(x,t)為接觸線t時(shí)刻的位移。

對(duì)于等截面簡(jiǎn)支梁[3]

式中，qi(t)為廣義振型坐標(biāo)，是時(shí)間t的函數(shù)；φn(x)為主振型函數(shù)。將式（3）代入式（2）中，將每一項(xiàng)乘以第n個(gè)振型函數(shù)φn(x)，沿梁的全長(zhǎng)L積分，并考慮振型的正交性，第n階振型的廣義坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)方程為

對(duì)于等截面的簡(jiǎn)支梁，振型函數(shù)可以假定為三角函數(shù)，這時(shí)

將上式代入式（4）中，并注意到

積分后得到

1.3 弓網(wǎng)系統(tǒng)耦合模型及動(dòng)力學(xué)微分方程

為了模擬弓網(wǎng)之間的動(dòng)態(tài)接觸行為，將接觸網(wǎng)模型和受電弓模型進(jìn)行組合，整個(gè)弓網(wǎng)模型如圖2所示。聯(lián)立受電弓、接觸網(wǎng)的動(dòng)力學(xué)平衡方程（1）和（7），就得到了不考慮機(jī)車振動(dòng)時(shí)，受電弓-接觸網(wǎng)的動(dòng)力學(xué)平衡方程組：

式（8）是一個(gè)無(wú)窮多自由度的聯(lián)立方程組。對(duì)接觸網(wǎng)來(lái)說(shuō)，如果位移級(jí)數(shù)取N項(xiàng)，則整個(gè)接觸網(wǎng)的廣義自由度將為N個(gè)，加上受電弓的歸算質(zhì)量M1，M2的自由度y1，y2。整個(gè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的N＋1階矩陣表達(dá)式

式中，Y、F、M、C、K分別為廣義位移矩陣、廣義力矩陣、廣義質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和廣義剛度矩陣。

圖2 基于二元弓的弓-網(wǎng)耦合系統(tǒng)模型示意圖

2 仿真算法選擇

由于弓網(wǎng)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的復(fù)雜性，進(jìn)行弓網(wǎng)耦合振動(dòng)分析，已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了理論解析的范疇，必須要借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值仿真分析。目前工程中廣泛采用的數(shù)值分析方法有2種：隱式法和顯示法。隱式法目前常用的有 Newmark法、Houbolt法、Wilson-θ法、Hilber-Huhges法和Park方法等，其數(shù)值穩(wěn)定性較好。顯示法有四階Runge-Kutta法和中心差分法，經(jīng)典的線性多步法中不存在無(wú)條件穩(wěn)定的顯示法。

在分析復(fù)雜的有限元系統(tǒng)時(shí)，要求逐步積分法是無(wú)條件穩(wěn)定的，否則在積分過(guò)程中，結(jié)構(gòu)高頻分量的反應(yīng)會(huì)無(wú)限制地增長(zhǎng)，而使整個(gè)積分失去意義。因此，本文仿真算法采用中心差分法[4]。

3 弓網(wǎng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)仿真

根據(jù)前面構(gòu)建的受電弓-接觸網(wǎng)系統(tǒng)模型，得到弓網(wǎng)系統(tǒng)耦合運(yùn)動(dòng)微分方程組，利用中心差分法對(duì)弓網(wǎng)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬，得到動(dòng)態(tài)下的弓網(wǎng)接觸壓力變化曲線，其仿真流程圖如圖3所示。

圖3 弓網(wǎng)系統(tǒng)耦合動(dòng)力學(xué)計(jì)算流程圖

利用中心差分法編寫(xiě)弓網(wǎng)耦合仿真程序，并對(duì)不同車速下的弓網(wǎng)動(dòng)態(tài)接觸壓力進(jìn)行模擬仿真計(jì)算。接觸網(wǎng)采用簡(jiǎn)單鏈形懸掛，受電弓和接觸網(wǎng)基本參數(shù)根據(jù)參考文獻(xiàn)[1，5]。圖4、圖5、圖6分別為列車運(yùn)行速度80，120和160 km/h時(shí)弓網(wǎng)動(dòng)態(tài)接觸壓力隨受電弓運(yùn)動(dòng)位置的變化曲線。

通過(guò)對(duì)弓網(wǎng)接觸壓力的仿真可以看出，在正常情況下弓網(wǎng)接觸壓力是沿跨距（65 m）呈周期性變化，在每一跨中的動(dòng)態(tài)接觸壓力變化情況基本一致，即當(dāng)受電弓通過(guò)支柱時(shí)，出現(xiàn)接觸壓力的峰值。這是因?yàn)榻佑|網(wǎng)支柱處不僅有集中質(zhì)量，而且在支柱處接觸網(wǎng)彈性剛度較大，從而導(dǎo)致接觸壓力在受電弓通過(guò)此處時(shí)出現(xiàn)極值。同時(shí)由圖4—圖6可以看出，當(dāng)列車在較低速運(yùn)行時(shí)（80 km/h），接觸壓力變化較小，弓網(wǎng)保持良好接觸，受流情況良好。但隨著列車速度的不斷提高，弓網(wǎng)接觸壓力變化逐漸增大，對(duì)弓網(wǎng)受流產(chǎn)生較大影響。當(dāng)運(yùn)行速度提高到160 km/h時(shí)，接觸壓力變化劇烈，弓網(wǎng)受流質(zhì)量變差。

圖4 速度為80 km/h時(shí)接觸壓力變化曲線圖

圖5 速度為120 km/h時(shí)接觸壓力變化曲線圖

圖6 速度為160 km/h時(shí)接觸壓力變化曲線圖

4 結(jié)論

本文通過(guò)歐拉-拉格朗日方程推導(dǎo)出弓網(wǎng)系統(tǒng)振動(dòng)微分方程組；利用中心差分法推出弓網(wǎng)數(shù)值仿真程序，并對(duì)不同工況下的弓網(wǎng)接觸壓力進(jìn)行仿真及對(duì)比分析，得出結(jié)論如下：

（1）在低速行車條件下（80 km/h），弓網(wǎng)動(dòng)態(tài)接觸壓力受車軌耦合振動(dòng)影響較弱，可以忽略。

（2）隨著列車運(yùn)行速度的提高（≥120 km/h），機(jī)車與軌道耦合振動(dòng)增強(qiáng)，對(duì)弓網(wǎng)動(dòng)態(tài)接觸壓力的影響也迅速加大。

由此可見(jiàn)，建立受電弓模型考慮弓網(wǎng)間相互作用高頻區(qū)段的影響，既可進(jìn)一步完善弓網(wǎng)系統(tǒng)相關(guān)的數(shù)值分析技術(shù)，還可為新型高速受電弓的設(shè)計(jì)和弓網(wǎng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的認(rèn)知提供技術(shù)支撐。

[1]于萬(wàn)聚.高速電氣化鐵路接觸網(wǎng)[M].成都：西南交通大學(xué)出版社，2003.

[2]于萬(wàn)聚.接觸網(wǎng)設(shè)計(jì)及檢測(cè)原理[M].北京：中國(guó)鐵道出版社，1993.

[3]雷曉燕.軌道力學(xué)與工程新方法[M].北京：中國(guó)鐵道出版社，2002.

[4]蔡成標(biāo)，翟婉明.高速鐵路受電弓-接觸網(wǎng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能仿真研究[J].鐵道學(xué)報(bào)，1997，19（5）：38-43.

[5]Poetsch G, et.al.Pantograph/catenary dynamics and control.Vehicle System Dynamics, 1997, 30: 59-195.