馬曉峰 湯永浩 盛衛(wèi)星

（南京理工大學(xué)電子工程與光電技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京 210094）

引 言

為有效提高雷達(dá)系統(tǒng)的威力和抗干擾能力，要求其天線具有窄波束、高增益、低旁瓣?，F(xiàn)有的有源相控陣?yán)走_(dá)、數(shù)字陣列雷達(dá)，通常采用幅度加權(quán)的方式來抑制旁瓣電平，該方法的缺點(diǎn)是每個(gè)陣元的功率無法充分利用，加窗還會(huì)造成波瓣展寬、能量泄露等問題。有文獻(xiàn)討論采用子陣優(yōu)化布陣的方法來降低旁瓣和抑制柵瓣［1-2］，但依然需要采用加窗處理的方法；也有文獻(xiàn)討論相控陣唯相位的發(fā)射波束形成方法，但是由于自由度的限制，低旁瓣優(yōu)化程度有限［3-4］，無法滿足實(shí)際需要。

多輸入多輸出（MIMO）雷達(dá)是近期雷達(dá)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。其中，集中式 MIMO雷達(dá)［5-6］由于波形多樣性帶來了額外的自由度，為設(shè)計(jì)更低旁瓣的發(fā)射波束方向圖帶來了可能。適當(dāng)?shù)卦O(shè)計(jì)陣元間發(fā)射波形的相關(guān)性，可以使得天線輻射能量集中于空間感興趣的區(qū)域，或者匹配于一個(gè)給定的方向圖，同時(shí)能夠確保感興趣的多目標(biāo)之間的回波相關(guān)性最小，從而有效提高接收端自適應(yīng)陣列信號(hào)處理算法的性能［7-12］。本文針對集中式 MIMO雷達(dá)（以下簡稱MIMO雷達(dá)）的低旁瓣發(fā)射波束形成的需求展開陣元發(fā)射波形的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

基于MIMO雷達(dá)的發(fā)射波形設(shè)計(jì)，發(fā)射信號(hào)之間的互相關(guān)特性都是可以任意選擇的。為了能夠充分利用波形多樣性帶來的自由度，文獻(xiàn)［7］-［12］都采用通過優(yōu)化信號(hào)之間的相關(guān)矩陣R的方法來設(shè)計(jì)波形，以匹配期望的方向圖。這一類設(shè)計(jì)思想著重于波束形狀的匹配，而對旁瓣的約束不是很嚴(yán)格，設(shè)計(jì)出的方向圖旁瓣一般比較高。在實(shí)際工程應(yīng)用中，我們更加傾向于能夠獲得具有較低旁瓣的方向圖設(shè)計(jì)方法。文獻(xiàn)［12］在確定的主瓣指向條件下，約束主瓣寬度，而對旁瓣區(qū)域則使得其最大值與主瓣峰值的差值最小，這是一個(gè)負(fù)值，因此是一個(gè)凸優(yōu)化問題。這種方法優(yōu)化出來的方向圖在滿足一定區(qū)域的主瓣寬度要求外，也擁有很低的旁瓣電平。然而，這種方向圖的旁瓣區(qū)域仍有一個(gè)“突起”——第一旁瓣電平比其他旁瓣高很多，這就意味著旁瓣仍有可以抑制的空間。為了消去這個(gè)“突起”，文獻(xiàn)［12］給出的解決辦法是在保證發(fā)射總功率恒定不變的情況下，允許每個(gè)陣元的發(fā)射功率有一個(gè)20%的上下浮動(dòng)值，這樣能消除“突起”使得方向圖具有更低的旁瓣電平。然而，這種方法的實(shí)質(zhì)與幅度加權(quán)的方法是類似的。

如果可以優(yōu)化發(fā)射波束的旁瓣區(qū)域，使該區(qū)域旁瓣電平保持平坦，則可以獲得理論最低的最高旁瓣電平。以此為出發(fā)點(diǎn)，提出了一種極小極大準(zhǔn)則下的旁瓣電平優(yōu)化算法，能夠在保證陣元等功率的情況下很好地解決旁瓣區(qū)域電平變化劇烈這一問題，從而獲得更低的第一旁瓣電平；接著，為了采用迭代算法優(yōu)化求解，我們將上述有約束優(yōu)化問題簡化為無約束優(yōu)化問題，并采用擬牛頓迭代法求解；最后，采用循環(huán)（CA）算法獲得易于數(shù)字陣列系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的相位編碼信號(hào)。

1 模型建立

考慮一個(gè)由M個(gè)陣元組成的均勻直線陣，陣元發(fā)射的信號(hào)為窄帶信號(hào)，陣元間距為半波長。假設(shè)第m個(gè)陣元在第n個(gè)采樣快拍發(fā)射的基帶信號(hào)為xm（n），則在空間角度θk處合成的基帶信號(hào)為

記陣列發(fā)射信號(hào)向量x（n）=［x1（n），x2（n），…，xM（n）］T，陣列在θk方向的導(dǎo)向性矢量為

則式（1）可以寫成向量形式為

式中（·）H為共軛轉(zhuǎn)置。因此，在空間θk處合成的能量大小為

式中:E（·）為期望操作；R為發(fā)射信號(hào)x（n）的相關(guān)矩陣，即

實(shí)際應(yīng)用中，相關(guān)矩陣R可以通過N次快拍估計(jì)得到，有

公式（3）給出了發(fā)射方向圖的表達(dá)式，通過對R矩陣的優(yōu)化，在保證陣元等功率的條件下，可以使得方向圖P（θk）具有所期望的低旁瓣特性。

因?yàn)镽是信號(hào)波形的相關(guān)矩陣，因此，必然是一個(gè)半正定Hermit矩陣。此外，為了充分利用每個(gè)陣元的功率，提高雷達(dá)作用距離，要求每個(gè)陣元的發(fā)射功率放大器均工作在飽和狀態(tài)，也就是矩陣R的對角元素應(yīng)該都相等［9］。矩陣R的約束條件可以表述為

式中c表示發(fā)射總功率。

給出R矩陣的優(yōu)化準(zhǔn)則和優(yōu)化算法，并僅考慮R為實(shí)矩陣的情況，此時(shí)得到的方向圖以法線方向?qū)ΨQ。若要獲得非對稱方向圖，可以使用公式（6）對實(shí)矩陣R進(jìn)行處理，得到等效的復(fù)相關(guān)矩陣。即

式中:φ為方向圖平移角度，對于波束形成的應(yīng)用，該角度即為波束指向角度；～R為復(fù)相關(guān)矩陣；⊙表示元素的Hadamrd積。

2.相關(guān)矩陣優(yōu)化

針對陣元等功率條件下，低旁瓣發(fā)射波束形成的要求，提出一種極小極大旁瓣電平的優(yōu)化方法，在保證陣元功率充分利用的條件下，使得最大旁瓣電平盡量的小，使所有旁瓣峰值大小大致相同，從而達(dá)到低旁瓣的目的。這種有約束優(yōu)化問題可以描述如下:

式中:θ0為主瓣指向角度；θ1和θ2分別為左右-3 dB功率點(diǎn)，所以θ2-θ1為主瓣寬度；Ф為旁瓣區(qū)域。該問題的約束條件保證了在每個(gè)陣元功率充分利用，且在滿足一定主瓣寬度的條件下，得到旁瓣電平最小化的優(yōu)化結(jié)果。這個(gè)問題可以使用凸優(yōu)化工具箱（CVX）求解［13］。

上述優(yōu)化問題是一個(gè)約束優(yōu)化問題，如果能去除式（7）的約束條件，就可以轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題，從而便于使用多種經(jīng)典迭代算法求解，提高該問題求解的通用性；另外，無約束優(yōu)化問題經(jīng)過進(jìn)一步推導(dǎo)還可以得到閉式解［9］?；谏鲜隹紤]，可借鑒多維球坐標(biāo)的定義來消去式（7）的約束條件，并修改目標(biāo)函數(shù)將這一問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題［9］，然后采用經(jīng)典的DFP擬牛頓法來解決這一最優(yōu)化問題。具體的步驟如下:

第一步，相關(guān)矩陣R的去約束化。參考文獻(xiàn)［9］，引入一個(gè)R的均方根因子來保證R的半正定性，即

式中，Q是一個(gè)上三角矩陣，且滿足R一定是半正定的。

為了保證R中對角元素是相等的，要求Q矩陣每一列的范數(shù)都相等。采用多維球坐標(biāo)的方法，定義上三角矩陣Q 如式（9）所示，其中，φ = ［φ21，φ31，φ32…，φM，M-1］T.這就將受約束的矩陣R的優(yōu)化轉(zhuǎn)化為無約束向量φ的優(yōu)化。因?yàn)镽為φ的函數(shù)，可以將其記為R（φ）.

第二步，主瓣寬度的去約束化。由約束條件可以知道，主瓣寬度是由兩個(gè)-3dB功率點(diǎn)來約束的?？梢詫⑦@一約束條件加入優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，即定義

根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法并考慮該問題對稱性質(zhì)，可對式（7）的目標(biāo)函數(shù)作如下修改

由于發(fā)射波束方向圖是對稱的，故可以保證式（11）取最優(yōu)值時(shí)，P0、P1、P2必然滿足如下條件

經(jīng)過以上兩步的變換，可以將式（7）的約束優(yōu)化問題變?yōu)闊o約束優(yōu)化問題，從而可以采用簡單的無約束優(yōu)化方法來求解。

需要指出的是，牛頓法雖然是一種經(jīng)典的無約束優(yōu)化算法，但是在解決該問題時(shí)卻無法全局收斂。這是因?yàn)?牛頓法的基本思想是將目標(biāo)函數(shù)f（φ）泰勒公式展開，用二次函數(shù)近似f（φ），并用迭代點(diǎn)指向近似二次函數(shù)的極小點(diǎn)的方向來構(gòu)造搜索方向，從而具有二階收斂速度，但是當(dāng)Hesse矩陣不正定時(shí)，并不能保證所產(chǎn)生的方向是目標(biāo)函數(shù)的下降方向，若Hesse矩陣奇異時(shí)，會(huì)造成算法無法進(jìn)行下去。此外，牛頓法每一步迭代都需要計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，即Hesse矩陣，對于大規(guī)模問題計(jì)算量驚人。然而擬牛頓法可以克服這些缺點(diǎn)［14］，因此采用擬牛頓法來計(jì)算該最優(yōu)化問題。

DFP擬牛頓法是第一個(gè)擬牛頓校正，它是求解無約束優(yōu)化問題最有效的算法之一。它的好處是最優(yōu)步長的選取避免了Hesse矩陣及其逆矩陣的計(jì)算。在式（11）最優(yōu)化問題的每一步迭代過程中，Hesse的奇異性是不可避免的，而采用DFP校正法可以很好地避免這一問題，從而能夠用經(jīng)典的方法來解決這一優(yōu)化問題，得到近似的結(jié)果。

3 相位編碼信號(hào)優(yōu)化

在優(yōu)化得到滿足需求的相關(guān)矩陣R的基礎(chǔ)上，接下來需要解決的是如何從R得到數(shù)字陣列雷達(dá)能夠發(fā)射的信號(hào)波形X，使得信號(hào)波形X的相關(guān)矩陣等于或者近似于矩陣R.

若假設(shè)發(fā)射信號(hào)X∈CL×M，其中L為信號(hào)波形快拍數(shù)或者碼元長度。由式（4）可以得到X與其相關(guān)矩陣R之間的關(guān)系滿足

式中U是一個(gè)L×M維半正交矩陣（UHU=I）。當(dāng)然，發(fā)射信號(hào)X仍然受到恒模條件的約束（記為C）。為了得到滿足約束條件C的X，或者至少是一個(gè)近似的解，可以將其歸為一種數(shù)學(xué)規(guī)劃函數(shù)問題，即

文獻(xiàn)［11］提出一種循環(huán)（CA）算法，來優(yōu)化式（14），文獻(xiàn)［15］根據(jù)二進(jìn)制相移鍵控（BPSK）或者四進(jìn)制相移鍵控（QPSK）信號(hào)的相關(guān)矩陣Rg與滿足優(yōu)化準(zhǔn)則的R之間的非線性關(guān)系，直接用式（13）推導(dǎo)出X與R之間的關(guān)系式。

為了說明第二節(jié)低旁瓣MIMO雷達(dá)的相關(guān)矩陣優(yōu)化在工程上的可實(shí)現(xiàn)性，采用文獻(xiàn)［11］的CA算法，以第二節(jié)得到的相關(guān)矩陣R為基礎(chǔ)，優(yōu)化得到具有恒模特性的相位編碼發(fā)射波形X.CA算法的主要思想是:先確定U（或者X），優(yōu)化X（或者U）滿足式（13），然后在求得的X（或者U）基礎(chǔ)上，優(yōu)化U（或者X），如此反復(fù)，直到式（13）小于給定誤差為止。具體算法推導(dǎo)可以參考文獻(xiàn)［11］、［16］。

4 計(jì)算機(jī)仿真

在下面所有的仿真例子中，假設(shè)MIMO雷達(dá)系統(tǒng)發(fā)射陣列為均勻線陣，發(fā)射陣元數(shù)為M，陣元間距為半波長，歸一化發(fā)射總功率為c=1，并且每個(gè)陣元發(fā)射功率相等。

4.1 基于相關(guān)矩陣R的發(fā)射方向圖設(shè)計(jì)

假設(shè)主瓣指向0°，主瓣寬度為20°，此時(shí)主瓣的兩個(gè)3dB功率點(diǎn)分別為θ1=-10°，θ2=10°.旁瓣區(qū)域?yàn)椐?∈［-90°，-20°］∪［90°，20°］.M=10的情況下，圖1分別畫出了極小極大旁瓣法和文獻(xiàn)［12］最小旁瓣法準(zhǔn)則下的發(fā)射方向圖優(yōu)化結(jié)果?？梢钥吹剑墨I(xiàn)［12］中的旁瓣區(qū)域有個(gè)“突起”，第一旁瓣峰值電平約為-16.5dB，而在極小極大準(zhǔn)則下，通過減少旁瓣區(qū)域電平的起伏，可以將第一旁瓣峰值電平拉低至-17.5dB以下。

實(shí)際工程應(yīng)用中，方向圖主瓣并不總是指向0°，旁瓣電平也需要低于-20dB.針對這一需求，給出下面的仿真設(shè)置:陣元M=30，主瓣寬度為8°，主瓣指向10°.采用極大極小準(zhǔn)則優(yōu)化得到指向0°的低旁瓣方向圖，再采用式（6）將主瓣平移至10°，優(yōu)化設(shè)計(jì)得到的低旁瓣方向圖如圖2所示，可以看到主旁瓣比優(yōu)于-22dB，旁瓣區(qū)域非常平坦，通過式（6）平移后波束的旁瓣電平提高并不明顯。

4.2 相位編碼信號(hào)設(shè)計(jì)

本節(jié)使用圖1極小極大旁瓣電平優(yōu)化準(zhǔn)則得出的相關(guān)矩陣R，設(shè)計(jì)各個(gè)陣元的發(fā)射相位編碼波形，相位編碼碼長L=64，此時(shí)X是一個(gè)64×10維的矩陣。

圖3為采用CA算法優(yōu)化得到的10個(gè)陣元相位編碼信號(hào)波形，該波形可以方便地在實(shí)際數(shù)字陣列系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)。

圖3 M＝10個(gè)陣元發(fā)射信號(hào)的相位編碼

圖4使用優(yōu)化得到的發(fā)射信號(hào)X，計(jì)算相關(guān)矩陣，并畫出方向圖。該方向圖與理論方向圖基本重合，說明CA算法優(yōu)化得到的發(fā)射信號(hào)X的相關(guān)矩陣很好地逼近期望相關(guān)矩陣R.

圖4 使用優(yōu)化得到的發(fā)射波形所對應(yīng)的發(fā)射方向圖與給定相關(guān)矩陣R的方向圖比較

5 結(jié) 論

與傳統(tǒng)的相控陣相比，MIMO雷達(dá)陣元波形選擇具有更大的靈活性，為發(fā)射方向圖設(shè)計(jì)提供了更多的自由度。通過優(yōu)化發(fā)射信號(hào)的相關(guān)矩陣，不需要借助陣元間幅度加權(quán)，即可在保證陣元等功率條件下獲得滿足實(shí)際系統(tǒng)要求的低旁瓣高增益發(fā)射波束。

本文所提優(yōu)化方法獲得的方向圖主瓣寬度，必須適當(dāng)寬于相同陣元數(shù)量的等幅度分布均勻陣的主瓣寬度，如何優(yōu)化選擇集中式MIMO雷達(dá)發(fā)射波束主瓣寬度，得到更低的副瓣電平，這仍然是一個(gè)值得繼續(xù)研究的課題。

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