張 平 張小華

（三峽大學(xué)理學(xué)院，湖北宜昌 443002）

Mathematica在Fourier級(jí)數(shù)分析中的應(yīng)用

張 平 張小華

（三峽大學(xué)理學(xué)院，湖北宜昌 443002）

文章用Mathematica實(shí)現(xiàn)了函數(shù)展開(kāi)成Fourier級(jí)數(shù)及其圖形演示,將抽象的教學(xué)概念和復(fù)雜的過(guò)程用軟件來(lái)實(shí)現(xiàn)，從而降低教學(xué)問(wèn)題的難度，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣和積極性．

Mathemtica；Fourier級(jí)數(shù)；圖形演示

1 引 言

Fourier級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，同時(shí)也是其它后續(xù)課程的重要工具之一．如果在教學(xué)過(guò)程中只是簡(jiǎn)單介紹函數(shù)展開(kāi)成Fourier級(jí)數(shù)，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生很難理解一個(gè)周期函數(shù)為什么可以用一系列三角函數(shù)來(lái)逼近它？從而無(wú)法理解函數(shù)展開(kāi)成Fourier級(jí)數(shù)的意義．同時(shí)盡管函數(shù)展開(kāi)成Fourier級(jí)數(shù)的公式形式簡(jiǎn)單，含義明確，但即使對(duì)一些簡(jiǎn)單的周期函數(shù)，學(xué)生應(yīng)用公式求其Fourier級(jí)數(shù)時(shí)常常面臨較大的計(jì)算量，往往需要花費(fèi)很多的時(shí)間．Mathematica是當(dāng)今世界上優(yōu)秀的數(shù)學(xué)軟件之一，具有強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算、符號(hào)計(jì)算和函數(shù)繪圖等功能，[1]且其界面友好，容易操作，學(xué)生可以在很短時(shí)間內(nèi)掌握其使用方法．本文利用Mathemtica的符號(hào)計(jì)算功能，實(shí)現(xiàn)了周期函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)，將學(xué)生從繁重的手工計(jì)算中解脫出來(lái)，同時(shí)通過(guò)繪圖，將抽象的理論與具體的圖像演示結(jié)合，使學(xué)生能更深刻的理解函數(shù)展開(kāi)成Fourier級(jí)數(shù)的基本概念和基本方法．

2 基于Mathematica的Fourier級(jí)數(shù)分析和應(yīng)用舉例

對(duì)一個(gè)周期為2π的周期函數(shù)f(x)，只要該函數(shù)滿(mǎn)足狄利克雷（Dirichlet）條件，便可展開(kāi)成一個(gè)收斂的Fourier級(jí)數(shù)，即：[2]

其中

在早期的Mathematica版本中，沒(méi)有提供直接計(jì)算傅里葉級(jí)數(shù)的函數(shù)，只能借助函數(shù)NItegrate利用上述的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)公式編寫(xiě)相應(yīng)的計(jì)算函數(shù)，[3]但程序編制比較復(fù)雜，且無(wú)法直接給出Fourier級(jí)數(shù)的展開(kāi)形式．從Mathematica7.0開(kāi)始，Mathemtica全面覆蓋數(shù)值和符號(hào)Fourier分析，對(duì)于函數(shù)展開(kāi)成Fourier級(jí)數(shù)而言，Mathematica主要提供了如下的一些函數(shù)：

FourierSeries——給出復(fù)數(shù)形式的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)式；

FourierTrigSeries——給出Fourier三角級(jí)數(shù)展開(kāi)式；

FourierSinSeries——給出Fourier正弦級(jí)數(shù)展開(kāi)式；

FourierCosSeries——給出Fourier余弦級(jí)數(shù)展開(kāi)式．

利用這些函數(shù)可以直接得到函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)式．考慮到在教學(xué)過(guò)程中，對(duì)一個(gè)周期函數(shù)，一般得到是非復(fù)數(shù)形式的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)式，所以下面舉例中就不考慮FourierSeries在Fourier級(jí)數(shù)分析中的應(yīng)用．

例1 設(shè)f(x)是周期為2π的周期函數(shù)，它在[-π,π]上的表達(dá)式為

將f(x)展開(kāi)成Fourier級(jí)數(shù)．

Mathematica程序代碼如下：

此程序的第1句給出了函數(shù)f(x)的定義；第2句畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖形；第3句輸入需要將函數(shù)f(x)展開(kāi)至Fourier級(jí)數(shù)的第i階；第4句將函數(shù)f(x)展開(kāi)至Fourier級(jí)數(shù)的前i階；第5句畫(huà)函數(shù)f(x)的Fourier級(jí)數(shù)的前i階對(duì)應(yīng)的圖形；最后一句把以上各圖形顯示在一起．運(yùn)行上述程序可以得到一系列Fourier級(jí)數(shù)的部分及其圖形．由函數(shù)展開(kāi)成Fourier級(jí)數(shù)的計(jì)算公式知，當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí)，其Fourier級(jí)數(shù)只會(huì)含有正弦項(xiàng)．如當(dāng)輸入5時(shí)，得到的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)式的前5階部分和表達(dá)式為

由此可知，利用Mathematica計(jì)算的結(jié)果與手工計(jì)算結(jié)果完全一致，且得到的結(jié)果是精確的符號(hào)表達(dá)式結(jié)果．圖1給出了函數(shù)的圖形及其Fourier級(jí)數(shù)的前5階、20階和40階對(duì)應(yīng)的圖形．從圖中可以看出，隨著Fourier級(jí)數(shù)階數(shù)的增加，其振幅越來(lái)越小，角頻率越來(lái)越大，它越來(lái)越接近要表示的周期函數(shù)．這表明，一個(gè)比較復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)可以看成是許多不同頻率和振幅的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加．從數(shù)學(xué)上講，即為一個(gè)周期函數(shù)可以用一系列三角函數(shù)來(lái)逼近它．

圖1 例1的Fourier級(jí)數(shù)對(duì)函數(shù)的逼近效果

例2 設(shè)f(x)是周期為2π的周期函數(shù)，它在[-π,π]上的表達(dá)式為

將f(x)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)．

運(yùn)行上述程序，當(dāng)輸入4時(shí)，得到該函數(shù)Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)式的前4階部分和表達(dá)式為

由于本例中的函數(shù)在定義域中為非奇非偶函數(shù)，所以其展開(kāi)成Fourier級(jí)數(shù)時(shí)會(huì)同時(shí)含有正弦項(xiàng)和余弦項(xiàng)，且上述程序運(yùn)行結(jié)果與文獻(xiàn)[2]理論計(jì)算結(jié)果一致，從而說(shuō)明利用Mathematica軟件來(lái)計(jì)算函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)非常方便．圖2給出了函數(shù)的圖形及其Fourier級(jí)數(shù)的前4階、10階和20階對(duì)應(yīng)的圖形．由圖可見(jiàn)，函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)隨著階數(shù)的增加，圖像愈來(lái)愈逼近函數(shù)的圖像，從而再次說(shuō)明一個(gè)周期函數(shù)可以通過(guò)一系列三角函數(shù)來(lái)表示它．

圖2 例2的Fourier級(jí)數(shù)對(duì)函數(shù)的逼近效果

例3 設(shè)f(x)是周期為2π的周期函數(shù)，它在[0,π）上的表達(dá)式為f(x)=x，將f(x)分別展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)．

由Fourier級(jí)數(shù)分析的相關(guān)理論知，當(dāng)周期函數(shù)為奇函數(shù)時(shí)，它的Fourier級(jí)數(shù)只含有正弦項(xiàng)，即正弦級(jí)數(shù)；當(dāng)周期函數(shù)為偶函數(shù)時(shí)，它的Fourier級(jí)數(shù)只含有余弦項(xiàng)，即余弦級(jí)數(shù)．所以在本例中，我們首先要將函數(shù)進(jìn)行奇延拓和偶延拓．函數(shù)展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)的Mathematica程序代碼如下：

運(yùn)行上述程序，當(dāng)輸入7時(shí)，得到該函數(shù)Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)式的前7階部分和表達(dá)式為：

圖3給出了函數(shù)的圖形及其Fourier級(jí)數(shù)的前3階、7階和50階對(duì)應(yīng)的圖形．

圖3 函數(shù)展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)對(duì)函數(shù)的逼近效果

函數(shù)展開(kāi)成余弦級(jí)數(shù)的Mathematica程序代碼如下：

運(yùn)行上述程序，當(dāng)輸入7時(shí)，得到該函數(shù)Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)式的前7階部分和表達(dá)式為：

圖4給出了函數(shù)的圖形及其Fourier級(jí)數(shù)的前3階、5階和9階對(duì)應(yīng)的圖形．由圖3和圖4可見(jiàn)，隨著三角多項(xiàng)式的階數(shù)增加，三角多項(xiàng)式的曲線越來(lái)越接近函數(shù)的圖形．通過(guò)這些實(shí)例表明，利用Mathematica可直觀地展示Fourier級(jí)數(shù)去逼近周期函數(shù)，將抽象的問(wèn)題形象化，從而化解了學(xué)生對(duì)Fourier級(jí)數(shù)表示周期函數(shù)理解上的困惑．

圖4 函數(shù)展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)對(duì)函數(shù)的逼近效果

3 結(jié)束語(yǔ)

在Fourier級(jí)數(shù)教學(xué)中引入數(shù)學(xué)軟件Mathemtica，從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)形式、教學(xué)方法和手段上講，都是對(duì)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)的一種發(fā)展和補(bǔ)充．在教學(xué)過(guò)程中，老師擺脫了繁瑣的數(shù)學(xué)計(jì)算，使得問(wèn)題簡(jiǎn)單化、可視化；學(xué)生也從圖形的變化、軟件的計(jì)算等多方面對(duì)函數(shù)展開(kāi)成Fourier級(jí)數(shù)進(jìn)行學(xué)習(xí)，體驗(yàn)Fourier級(jí)數(shù)分析有關(guān)理論的基本思想，加深對(duì)抽象概念的感性認(rèn)識(shí)，且增加學(xué)生實(shí)際動(dòng)手操作能力的培養(yǎng)．?dāng)?shù)學(xué)軟件Mathematica就像一座橋梁，將知識(shí)與應(yīng)用，理論與實(shí)際連接起來(lái)，讓學(xué)生加深感性認(rèn)識(shí)，使教學(xué)變得輕松易懂，同時(shí)也逐步鍛煉學(xué)生用數(shù)學(xué)理論、計(jì)算機(jī)知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，從而提高了學(xué)生自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和參與數(shù)學(xué)教學(xué)的目的．

[1]李建平，健民，劉雄偉，等.高等數(shù)學(xué)課程實(shí)驗(yàn)[M].北京：科學(xué)出版社，2011.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：第六版[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]李文新.函數(shù)展開(kāi)成Fourier級(jí)數(shù)的幾何解釋[J].江西教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2005（3）:5-7.

（責(zé)任編輯：張新玲）

Abstract:In order to make students have direct perception and sophisticated understanding of Fourier series, the article presents the means to convert abstract math ideas and complicated process into software so that mathematics can be understood easier and the students’ interest and enthusiasm for advanced mathematics enhanced.

Keywords:Mathemtica software; Fourier series; Graphical presentation

On the Application of Mathematica in Fourier series Analysis

ZHANG Ping ZHANG Xiao-hua
( College of Science, Three Georges University, Yichang, Hubei, 443002 China )

TP391.1；O122.7

A

1009-8135（2012）03-0136-04

2012-01-25

張 平（1978-），女，湖北利川人，三峽大學(xué)理學(xué)院，講師，碩士.

張小華（1980-），男，湖北枝江人，三峽大學(xué)理學(xué)院，講師，博士.

本文系三峽大學(xué)教學(xué)研究項(xiàng)目(No.J2011086)研究成果之一