劉利敏，王宣濤

（河南師范大學數學與信息科學學院，河南新鄉(xiāng)453007）

離散時間模型的指數效用無差別定價

劉利敏＊，王宣濤

（河南師范大學數學與信息科學學院，河南新鄉(xiāng)453007）

利用鞅方法證明了完全市場的指數效用函數無差別定價為無套利定價，討論了不完全市場中指數效用函數無差別定價計算的關鍵問題，得到三叉樹模型的指數效用無差別定價為特定鞅測度下未定權益期末收益的變異條件期望.

完全市場；不完全市場；指數效用函數；無差別定價

效用無差別定價是一種未定權益定價的新方法，首先由HODEGES，NEUBERGER［1］提出.近年來，關于指數效用函數無差別定價的研究獲得了很多成果.例如，劉利敏［2］，MUSIELA［3］，李玉萍［4］，BENTH［5］，BECHERER［6］，閆海峰［7－8］等探討了連續(xù)時間模型的指數效用無差別定價；MUSIELA［9］，劉利敏［10］等則研究了特殊離散時間模型未定權益的指數效用無差別定價.由于針對離散時間模型的系統(tǒng)研究比較少，因此本文擬利用鞅方法對離散時間模型的完全市場指數效用無差別定價進行討論，應用動態(tài)規(guī)劃方法研究特殊模型的不完全市場效用無差別定價.

1 完全市場的指數效用無差別定價

對于離散時間模型，存在T＋1個交易日0，1，…，T，T為未定權益的到期日.市場中的信息流F＝｛Ft｝.市場中存在兩種資產：一是無風險資產Bt，二是風險資產St＝（S1（t），S2（t），…，SN（t））.交易策略α（t）＝（α0（t），α1（t），…，αN（t））構成的集合記為Αt，財富過程記為X＝｛Xt｝.

假設市場是完全的無摩擦的金融市場，則市場中存在唯一的等價鞅測度Q.給定未定權益CT，考慮如下最優(yōu)投資組合問題：

記上述最優(yōu)投資問題的價值函數為VCT（Xt／Bt，XT－CT）.若CT＝0，則記為V0（Xt／Bt，X）.

定義1 給定未定權益CT，滿足V0（Xt／Bt，XT）＝VCT（Xt／Bt＋υt／Bt，XT－CT）的υt稱為未定權益CT在t時刻的指數效用無差別定價.

定理1 在離散的完全市場中未定權益CT在t時刻的指數效用無差別定價為υt／Bt＝EQ（（CT／BT）｜Ft）.

其中LT＝QT／PT.由一階條件得

2 不完全市場的指數效用無差別定價

由于指數效用無差別定價計算的關鍵在于求解最優(yōu)問題

其中Χ≡｛XT∈Rk：EQ（（XT／BT）｜Ft）＝Xt／Bt，Q∈Μ｝，Μ是等價鞅測度的集合，其對應的價值函數記為VCT（Xt／Bt，XT－CT）.

如果模型是不完全的，則風險中性概率測度集合包含無窮多個元素.由于Μ是一個線性子空間，因此存在著珡Μ（即Μ的閉集）中的有限個獨立變量Q（1），Q（2），…，Q（J），使得Μ中的每一個元素能表示為這J個變量的線性組合，且權重之和為1；從而對于所有的Q∈Μ，EQ（XT／BT）＝Xt／Bt成立當且僅當EQ（j）（XT／BT）＝Xt／Bt，于是Χ≡｛XT∈Rk：EQ（j）（（XT／BT）｜Ft）＝Xt／Bt，j＝1，…，J｝.由此可得最優(yōu)組合問題（5）表示為

問題（6）能通過引入拉格朗日乘子求解，同時J對應于狀態(tài)價格密度Lj≡Q（j）／P使得

但是，由于拉格朗日乘子的增多，（7）式的最優(yōu)財富過程較為復雜，故很難得到價值函數的顯式解.

3 一個例子

由于問題（5）的價值函數很難得到顯式解，因此不完全市場的無差別定價難以求出；然而，對于一些特殊的模型，可以利用動態(tài)規(guī)劃方法求出其無差別定價，三叉樹模型就是其中一種.

在一個單時期三叉樹模型中，假設無風險資產恒為1，風險資產在0時刻的價值表示為S0，期末時刻為ST.設Ω＝｛ω1，ω2，ω3｝，對任意i＝1，2，3，pi＝P｛ωi｝＞0，ST（ω1）＝，ST（ω2）＝S0，ST（ω3）＝，其中0＜ξd＜1＜.假設投資者的初始財富為X0＝x，投資者在初始時刻購買α份股票，則期末時刻投資者的財富為XT＝β＋αST＝（x－αS0）＋αST＝x＋α（ST－S0）.給定未定權益CT，記

本文以南方某區(qū)域為例進行分析，同時以全國該領域平均水平為依據進行相關原則制定。由于篇幅限定，本文不再一一列舉相關數據。針對文中的評價對象，主要依據南方地區(qū)數據為依據，一些定量數據主要通過國家統(tǒng)計局、氣象局、行業(yè)協(xié)會等獲得；針對一些定性的指標主要通過模糊評判集的方法進行量化[4]，在百分制中以20為單位進行劃分五個區(qū)間，即0～20，>20～40，>40～60，>60～80，>80～100，從而將定性指標量化在該區(qū)間中，以表示該地區(qū)的對應指標發(fā)展情況。19個電能替代領域排名如表3所示。最后依據綜合排名前十一位為大力發(fā)展電能替代技術。

且問題（8）和（9）的最優(yōu)策略分別記為α0和αCT.

未定權益在T時刻的收益為CT＝C（ST），記CT（ωi）＝ci∈R，i＝1，2，3.首先計算VCT（x）.由于

其中A＝p2／［q－qp13－q（1－q）q－1＋p2］，BT＝｛ω1，ω3｜ST｝，由Q的定義可以得到υ＝γ－1· ln ［EQ（）］.

定理2 單時期三叉樹模型的指數效用無差別定價為υ＝γ－1ln ［）］，其中Q滿足（12）式.

在多時期的三叉樹模型中，假設有T＋1個交易日.隨機過程St，t＝0，1，…，T表示被交易的風險資產在t時刻的價格，假設St＞0，ξt＋1＝St＋1／St，其中ξt＋1＝，1，，0＜＜1＜ξ.｛St：t＝0，1，…，T｝是概率空間（Ω，（Ft），P）上的一維隨機過程，且Ft＝σ（St）.設Xt表示［t－1，t］的財富過程，X0＝x，αt表示在［t－1，t］時間段進行交易的資產份額，則Xt＝Xt－1＋αt（St－St－1）.記

則t時刻的效用無差別價格υt是一個Ft適應的隨機變量，滿足

現(xiàn)在定義一個新的測度Q，滿足t＝0，1，…，T時，

Q（St＝｜Ft－1）＝qtAt，Q（St＝St－1｜Ft－1）＝1－At，Q（St＝｜Ft－1）＝（1－qt）At，（15）其中At＝（1－q］／＋p2t］，qt＝（－＋1）／（），p1t＝P（St＝｜Ft－1），p2t＝P（St＝St－1｜Ft－1），p3t＝P（St＝｜Ft－1）.令Bt＝｛ξt＝或ξt＝｝，＝σ（Bt），下面定義一個新的迭代函數.對于任意Ft適應過程Zt，滿足

定理3 假設測度Q滿足（15）式，如果pq1ttqt－qtp13t－qt（1－qt）qt＝p2t，則在t時刻未定權益CT的無差別定價為

而且υT還滿足如下迭代關系：

證明 首先證明當t＝T－1時，（17）式成立，剩下的利用數學歸納法證明.因為

VCT（XT－1，T－1；T）＝e－γXT－1supαT［－－］，與單階段類似，得VCT（XT－1，T－1；T）＝－e－γXT－1－h(huán)T－1＋，V0（XT－1，T－1；T）＝，其中qT＝［－（1－k2）＋（1＋k1）］／［（1－k2）（）］，hT－1＝－ln［·（1－qT）－1＋qT＋p2T］，λT－1（CT）＝＝γ－1ln［EQ（eγEQ（CT｜FT－1）｜FT－1］.由（14）式可得（17）式成立.

下面證明（18）式.只須證明t＝T－2，s＝T－1時（18）式成立，其余可通過數學歸納法證明.由（13）式得（XT－2，T－2；T）＝supEP（｜FT－2），將－γ－1hT－1＋υT－1作αT－1為CT－1，利用（XT－1，T－1；T）的計算方法直接得到（XT－2，T－2；T）＝，其中μ（C）＝γ－1ln［E（）｜F］.又由（14）式T－2TQT－2

可得

由于

故代入（19）式可得T－2時刻的無差別價格為υT－1＝γ－1ln［EQ（eγEQ（υT－1｜FT－2）｜FT－2］.證畢.

［1］ HODGES S，NEUBERGER A.Optimal replication of contingent claims under transaction costs［J］.Rev Futures Mark，1989，8：222－239.

［2］ 劉利敏，牛保青，閆海峰.冪效用函數的無差別定價和套期保值［J］.數學的實踐與認識，2009，39（5）：42－46.

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［4］ 李玉萍，劉利敏.非交易資產未定權益的無差別定價［J］.揚州大學學報：自然科學版，2005，8（3）：20－22.

［5］ BENTH F E，KARLSEN K H.A PDE representation of the density of the minimal entropy martingale measure in stochastic volatility markets［J］.Stochast：Int J Pro Stochast Processes，2005，77（2）：109－137.

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［7］ 閆海峰，劉利敏，楊建奇.隨機波動率模型的效用無差別定價和套期保值策略［J］.系統(tǒng)工程學報，2007，22（4）：379－385.

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［9］ MUSIELA M，ZARIPHOPOULOU T A.A valuation algorithm for indifference prices in incomplete markets［J］.Finance Stochast，2005，9（3）：399－414.

［10］ 劉利敏，王宣濤.帶交易費用的指數效用無差別定價和套期保值策略［J］.應用概率統(tǒng)計，2011，27（6）：587－596.

Abstract：It is shown that the indifference pricing is arbitrage－free pricing by the martingale approach.The key problems about the exponential utility function indifference pricing are considered in the incomplete market，and the indifference pricing is expressed as the conditional variation expectation of contingent claim under the specific martingale measure at the terminal date.

Keywords：complete market；incomplete market；the exponential utility function；indifference pricing

（責任編輯 時 光）

The indifference pricing of the exponential utility function in the discrete time model

LIU Li－min＊，WENG Xuan－tao
（Coll of Math ＆Inf Sci，Henan Norm Univ，Xinxiang 453007，China）

O 211.6；F 830.9

A

1007－824X（2012）02－0020－04

2010－11－11

河南省教育廳軟科學研究基金資助項目（2009A630026）

＊聯(lián)系人，E－mail：llim2004＠163.com