☉湖北省當(dāng)陽市河溶高中 陳 軍

不等式問題中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，在教學(xué)的過程中，若能恰當(dāng)?shù)剡\用這些思想方法，則可使很多復(fù)雜問題化難為易，化繁為簡，從而達(dá)到優(yōu)化解題過程、培養(yǎng)思維能力的目的.經(jīng)常使用的思想方法有函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等.下面筆者根據(jù)自己多年的教學(xué)實踐，談?wù)勛约旱目捶?

一、轉(zhuǎn)化與化歸思想

不等式的證明和求解，實質(zhì)上就是利用不等式的性質(zhì)對不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.二次不等式恒成立可以轉(zhuǎn)化為判別式Δ和開口方向應(yīng)滿足的不等式組，也可以利用函數(shù)最值進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.二次函數(shù)的最值又可以轉(zhuǎn)化為直線在y軸上的截距.總之轉(zhuǎn)化和化歸思想在不等式的學(xué)習(xí)中處處可見.

解析：本題乍一看，會認(rèn)為這種不等式不屬于常見的一元二次不等式，感覺無從下手，但仔細(xì)觀察分母，可知它是恒大于0的，從而轉(zhuǎn)化為分子與分母的大小比較問題.

二、分類討論思想

當(dāng)我們解含有字母系數(shù)的不等式時，往往要對其中所含的字母進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆诸愑懻?分類討論的原因大致有以下三種：（1）對不等式作等價變換時，正確運用不等式的性質(zhì)而引起的討論；（2）對不等式（組）作等價變換時，由相應(yīng)方程的根的大小比較而引起的討論；（3）對不等式作等價變換時，由相應(yīng)函數(shù)單調(diào)性的可能變化而引起的討論.

例2 設(shè)不等式x2－2ax+a+2≤0的解集為M，如果M?［1，3］，求實數(shù)a的取值范圍.

解析：求解本題須從M?［1，3］入手，其包含兩種情況：

①M=?，此時Δ<0；②M≠?，此時Δ≥0，需分三種情況計算a的取值范圍.

設(shè)f（x）=x2－2ax+a+2，Δ=（－2a）2－4（a+2）=4（a2－a－2）.

M?［1，3］包含兩種情況：①M=?，此時Δ<0；②M≠?，此時Δ≥0，需分三種情況計算a的取值范圍.

（1）當(dāng)Δ<0時，－1

（2）當(dāng)Δ=0時，a=－1或2.當(dāng)a=－1時，M={－1}，不合題意；當(dāng)a=2時，M={2}?［1，3］，符合題意；

（3）當(dāng)Δ>0時，a<－1或a>2.設(shè)方程x2－2ax+a+2=0的兩根分別為x1、x2，且x1

例2實質(zhì)上是二次函數(shù)的區(qū)間根問題，弄清二次方程、一元二次不等式、二次函數(shù)三者之間的內(nèi)在聯(lián)系是解題的關(guān)鍵.另外，不要忽略M=?是符合題設(shè)條件的情況之一.所以分類討論的關(guān)鍵是要根據(jù)實際問題找到分類標(biāo)準(zhǔn)，標(biāo)準(zhǔn)的確定須使任兩類交集為空集且并集為全集，這樣才能在解題過程中，做到合理、不重復(fù)、不遺漏.

三、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想，即根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法.數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化.如果不等式的結(jié)構(gòu)可以通過某種方式與圖形建立聯(lián)系，則可設(shè)法構(gòu)造圖形，將不等式所表達(dá)的抽象數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形加以解決.這種數(shù)形結(jié)合法可以避免解不等式時求交集的運算，解法簡練、清楚，是一種生動活潑的思維方式.用數(shù)形結(jié)合法解（或證）不等式問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確畫出所構(gòu)造的兩個函數(shù)的圖像，自變量的取值范圍要準(zhǔn)確定位.在探究線性規(guī)劃問題時，數(shù)行結(jié)合思想有著廣泛的應(yīng)用.

例3 當(dāng)方程x2+ax+2=0至少有一個實數(shù)根小于－1時，求實數(shù)a的取值范圍.

解析：“至少有一個實數(shù)根小于－1”包括只有一個實數(shù)根小于－1或兩個實數(shù)根都小于－1兩種情況.可以借助作圖輔助求解.

設(shè)f（x）=x2+ax+2，其圖像是拋物線.

圖1圖2

（1）當(dāng)原方程有一個實數(shù)根小于-1，另一個實數(shù)根大于-1時，如圖1所示，必須且只需即

（2）當(dāng)原方程的兩個實數(shù)根都小于-1時，如圖2所示.（3）當(dāng)方程有一個實數(shù)根為-1，另一個實數(shù)根為-2時，a=3.綜上所述，原方程至少有一個實數(shù)根小于-1時，a的取值范圍是

數(shù)形結(jié)合的思想，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，也就是對題目中的條件和結(jié)論既分析其代數(shù)含義又挖掘其幾何背景，在代數(shù)與幾何的結(jié)合中找出解題思路.

總之，在教學(xué)過程中，要注重對思想方法的滲透，讓數(shù)學(xué)思想引領(lǐng)我們的教學(xué)，使學(xué)生能夠感悟領(lǐng)會，達(dá)到舉一反三的效果，這樣對數(shù)學(xué)成績的提高是大有裨益的.

1.張曉萍.數(shù)學(xué)思想方法在不等式中的應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)大世界，2010年第08期.

2.楊再軍.例說數(shù)學(xué)思想在不等式中的應(yīng)用［J］.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2006年第03期.