☉浙江省杭州市大成實(shí)驗(yàn)學(xué)校 陸 明

通過行程類問題s－t圖像的教學(xué)，提升學(xué)生函數(shù)綜合能力

☉浙江省杭州市大成實(shí)驗(yàn)學(xué)校 陸 明

一、問題的提出

對(duì)于一次函數(shù)圖像的應(yīng)用，命題者比較鐘愛s－t圖像題，這類考題與學(xué)生的實(shí)際生活比較貼近，遺憾的是，學(xué)生很害怕這類考題，得分率不高．

這是杭州市區(qū)2012年九年級(jí)數(shù)學(xué)第一次模擬考卷上的第6題，路程s與時(shí)間t的大致圖像如圖1所示，則速度v與時(shí)間t的大致圖像為（ ）.

圖1

命題者的意圖是給同學(xué)們“送分”的，但是出乎我們老師意料的是這個(gè)看似簡(jiǎn)單的問題，同學(xué)們的得分率很低．筆者統(tǒng)計(jì)了所在學(xué)校九年級(jí)三個(gè)班共120位考生對(duì)這一題的回答情況，有64位同學(xué)選擇正確答案A，占全體考生的53%，而其余的56位同學(xué)全都選擇B，占全體考生的47%，這道題其實(shí)并沒有達(dá)到送分的目的，成了一個(gè)無法送出的“送分”題．

事實(shí)上，大部分學(xué)生感到一次函數(shù)難學(xué)主要是看不懂函數(shù)圖像.其實(shí)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)在某種意義上來說是在學(xué)習(xí)語言，從小學(xué)的計(jì)算到初中數(shù)學(xué)的用字母表示數(shù)，以及后來的方程等，學(xué)生其實(shí)經(jīng)歷了文字語言到符號(hào)語言的過程，從函數(shù)的進(jìn)入，事實(shí)上學(xué)生進(jìn)入了另一種語言的的學(xué)習(xí)，即圖像語言．好比我們中國(guó)人學(xué)習(xí)英語，有時(shí)候看一篇英語文章，好像每個(gè)單詞都看的懂，但是整篇文章在講什么不知道．因?yàn)槲覀儾皇抢贤?，我們需要借助漢語去消化英語文章，即我們?cè)陂喿x英語文章時(shí)，我們經(jīng)歷了英語到漢語的轉(zhuǎn)譯的過程．同樣我們學(xué)習(xí)函數(shù)圖像語言，也必須把圖像語言轉(zhuǎn)譯為文字語言．

二、s－t圖像的解讀

1.s－t圖像中的“橫”，“提”，“捺”

圖2

圖3

圖4

和中學(xué)幾何中有基本圖形一樣，以上三個(gè)是在s－t圖像中常見的基本圖形，我稱它們是一次函數(shù)圖像的偏旁：“橫”，“提”，“捺”．我們?cè)谠嚲碇?，?xí)題中所看到的一次函數(shù)圖像都是由他們中的一個(gè)或幾個(gè)疊加而成的.我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生清清楚楚的會(huì)說這三個(gè)“偏旁”的實(shí)際意義，即將圖像語言轉(zhuǎn)成文字語言，可以讓學(xué)生編故事，開展合作學(xué)習(xí)．

這三個(gè)“偏旁”看似簡(jiǎn)單，實(shí)際上要讓學(xué)生說清楚不容易，特別是圖2，學(xué)生往往會(huì)說某人沒有運(yùn)動(dòng)，這樣的回答是不全面的，事實(shí)上完全有可能某人在原地打圈．

例 （2003年陜西中考）星期天晚飯后，小紅從家里出去散步，如圖5描述了她散步過程中離家的距離s（米）與散步所用的時(shí)間t（分）之間的函數(shù)關(guān)系．依據(jù)圖像，下面描述符合小紅散步情景的是（ ）.

A.從家出發(fā)到了一個(gè)公共閱讀欄，看了一會(huì)兒報(bào)就回家了

B.從家出發(fā)，到了一個(gè)公共閱讀欄，看了一會(huì)兒報(bào)后，繼續(xù)向前走了一段，然后回家了

C.從家出發(fā)，一直散步（沒有停留），然后回家

D.從家出發(fā)，散了一會(huì)兒步，就找同學(xué)去了，18分鐘后才開始返回

90%以上的考生都毫不猶豫地選擇了B，當(dāng)年命題者預(yù)設(shè)的正確答案也為B．但還是有人對(duì)這道看似簡(jiǎn)單的問題提出了異議，4～10分鐘這段時(shí)間一定是靜止的嗎？事實(shí)上這是一個(gè)中考“病題”，這道病題，與選擇題“有且只有一個(gè)選項(xiàng)正確”矛盾，其實(shí)在這個(gè)問題中有大家“看不見的圓”．要感謝當(dāng)年的命題老師，盡管他在命題時(shí)忽略考慮了這個(gè)看不見的圓，但正是因?yàn)橛辛诉@題，讓我們認(rèn)識(shí)到了“圖像語言”的深?yuàn)W，領(lǐng)會(huì)到了數(shù)學(xué)的神奇．

2.如何引導(dǎo)學(xué)生“說圖像”

圖5

圖6

（1）“說圖像”的五個(gè)要素

在這里，教師必須要讓學(xué)生明白圖像的作用，即函數(shù)圖像直觀的反映兩變量之間的關(guān)系．教師在引導(dǎo)學(xué)生說圖像時(shí)可做以下幾點(diǎn)啟發(fā)：

①兩變量之間的實(shí)際意義是什么？各用哪一個(gè)軸表示？②每個(gè)軸用的單位是什么？

③原點(diǎn)的實(shí)際意義是什么？

④圖像上各點(diǎn)的意義，標(biāo)出的端點(diǎn)，并說出他們的意義.

⑤圖像上各個(gè)分段的解析式.

根據(jù)上面筆者提到的五點(diǎn)啟發(fā)，我們可以編制如下的看圖說話練習(xí)，讓學(xué)生嘗試.

圖7

圖8

圖9

圖10

圖11

圖7表示_________________________________________

圖8表示_________________________________________

圖9表示_________________________________________

圖10表示________________________________________

圖11表示_______________________________________

上述練習(xí)中的圖7，圖8描述的是一個(gè)人的運(yùn)動(dòng)過程，事實(shí)上就是上文說提到的三個(gè)“偏旁”的組合圖形.而圖9，圖10，圖11描述的是兩個(gè)人的運(yùn)動(dòng)，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生找到每個(gè)拐點(diǎn)，搞清楚函數(shù)圖像各個(gè)分段的實(shí)際意義，對(duì)于兩個(gè)人的運(yùn)動(dòng)圖像，還要看圖像有沒有交點(diǎn)，并解釋該點(diǎn)坐標(biāo)所表示的實(shí)際意義.

（2）一道中考題的解析

（2010年咸寧中考題）在一條直線上有A、B、C三個(gè)港口，甲、乙兩船同時(shí)分別從A、B港口出發(fā)，沿直線勻速駛向C港，最終達(dá)到C港.設(shè)甲、乙兩船行駛x（h）后，與B港的距離分別為 y1、y2（km），y1、y2與 x 的函數(shù)關(guān)系如圖12所示.

（1） 填空：A、C 兩港口間的距離為 __________km，a=__________.

（2）求圖12中點(diǎn)P的坐標(biāo)，并解釋該點(diǎn)坐標(biāo)所表示的實(shí)際意義.

（3）若兩船的距離不超過10km時(shí)能夠相互望見，求甲乙兩船可以相互望見時(shí)x的取值范圍.

分析：本題的背景比較復(fù)雜，由于縱軸是兩船與B港的距離，所以首先引導(dǎo)學(xué)生畫“線段圖”，搞清楚A、B、C三個(gè)港口在直線上的具體位置，這是解讀s-t圖像的第一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).

圖12

結(jié)合“線段圖”我們來確定一次函數(shù)圖像中A、B、C三個(gè)港口在y軸上的位置，O對(duì)應(yīng)A，30對(duì)應(yīng)B，90對(duì)應(yīng)C.然后引導(dǎo)學(xué)生來“說圖像”，對(duì)于程度較差的學(xué)生可引導(dǎo)他們來填空：

甲船從（ ）出發(fā)，以（ ）的速度，經(jīng)過（ ）小時(shí)到（ ），共行駛（ ）小時(shí)到C.

乙船從（ ）出發(fā)，以（ ）的速度，經(jīng)過（ ）小時(shí)到C.

以上過程事實(shí)上是教師引導(dǎo)學(xué)生“識(shí)圖”的過程，接下來學(xué)生就是要求出各分段的s-t函數(shù)圖像的解析式，即

第三問由于要求若兩船的距離不超過10km時(shí)能夠相互望見，求甲乙兩船可以相互望見時(shí)x的取值范圍.學(xué)生往往會(huì)這樣求解：

這里事實(shí)上學(xué)生會(huì)遺漏x的其他兩種情況，這時(shí)還要引導(dǎo)學(xué)生回歸到函數(shù)圖像上，標(biāo)出的端點(diǎn)，并說出他們的意義.從端點(diǎn)的左右兩邊來找，學(xué)生才能發(fā)現(xiàn)還遺漏了兩種可能的情況.正確的解如下：

到此s-t圖像真正解讀完畢.我們?cè)诮庾x圖像時(shí)，事實(shí)上經(jīng)歷了這樣一個(gè)過程：

圖像語言?文字語言?符號(hào)語言.

上圖實(shí)際上就體現(xiàn)了學(xué)生三種語言之間的轉(zhuǎn)譯過程，學(xué)生在函數(shù)題時(shí)都經(jīng)歷了這樣的一個(gè)過程.

三、中考題的變式教學(xué)

1.改變行走的路線

如圖 13，在一條直線上有A、B兩個(gè)港口，甲、乙兩船都是從A港口出發(fā)到B港，t表示甲船離A港口的時(shí)間，s1表示甲船離A港口的距離，s2表示乙船離A港口的距離.請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)圖像描述甲船和乙船的具體運(yùn)動(dòng)情況，并回答整個(gè)過程中甲船和乙船相遇到了幾次.

分析：在解決這個(gè)問題時(shí)，因?yàn)閟1、s2分別表示甲船和乙船離A港的距離，由s1先由0增大到3千米時(shí)再減小0再增大到3千米再減小0可以分析出甲船是由A港出發(fā)在A港和B港之間往返運(yùn)動(dòng)了兩次，而乙船則是由A港出發(fā)在A港和B港之間往返運(yùn)動(dòng)了一次，當(dāng)s1=s2時(shí)兩船相遇，即圖中的交點(diǎn)處就是相遇點(diǎn)，所以共相遇了4次．

圖13

2.改變距離s表示的意義

如圖 14，在一條直線上有A、B兩個(gè)港口，甲、乙兩船同時(shí)出發(fā)，t表示甲船離A港口的時(shí)間，s1表示甲船離A港口的距離，s2表示乙船離B港口的距離，請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)圖像描述甲船和乙船的具體運(yùn)動(dòng)情況，并回答整個(gè)過程中甲船和乙船相遇到了幾次？

分析：在解決這個(gè)問題時(shí)有的同學(xué)憑直覺認(rèn)為這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中甲船和乙船只相遇了一次，即交點(diǎn)處表示兩船相遇.其實(shí)這是錯(cuò)誤的，正確理解s1、s2的意義是解決此問題的關(guān)鍵．s1表示甲船離A港口的距離，當(dāng)t=0時(shí)s1=0，說明甲船從A港出發(fā)，當(dāng)t=20時(shí)s1=3，表示甲船到達(dá)B港，而s2表示乙船離B港的距離，所以由圖像可得當(dāng)t=0時(shí)s2=0，說明乙船一開始的位置是在B港，從B港回A港，所以s1=s2只能表示在這點(diǎn)上甲船離A港的距離和乙船離B港的距離相等，他們相遇時(shí)應(yīng)滿足的條件是s1+s2=3．事實(shí)上經(jīng)過計(jì)算可知整個(gè)過程中兩船相遇了2次．

3.兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用一個(gè)圖像來表示

如圖15，在一條直線上有A、B兩個(gè)港口，甲船從A港出發(fā)去B港，同時(shí)乙船從B港出發(fā)到A港，圖中t表示甲船離A港的時(shí)間，s表示兩船之間的距離，請(qǐng)同學(xué)們解釋圖中點(diǎn)B、點(diǎn)C的實(shí)際意義．

分析：解決此問題仍是從正確理解s的意義入手.因?yàn)閟表示兩船之間的距離，當(dāng)t=0時(shí)s=3，即未出發(fā)時(shí)兩船之間的距離為3千米，說明A港與B港之間相距3千米，兩船相遇時(shí)他們之間的距離為零，則s=0，所以點(diǎn)B的實(shí)際意義是20分鐘后兩船相遇．相遇后繼續(xù)各自前行，兩船之間的距離就又開始增大，但是到C點(diǎn)后為什么直線要變成折線了呢？由BC、CD的傾斜度可知，CD段兩船之間的距離增大的趨勢(shì)放緩，結(jié)合實(shí)際背景可知C點(diǎn)處表示甲船恰好到B港，但要解釋點(diǎn)C的實(shí)際意義，還需要求出點(diǎn)C的橫、縱坐標(biāo)，那么怎么根據(jù)已知數(shù)量來分析呢？因?yàn)橐掖恢弊吡?0分鐘才到A港，而20分鐘時(shí)兩船已經(jīng)相遇了，說明在乙船走了三分之一的路程時(shí)遇到了甲船，那么20分鐘時(shí)乙船走了1千米，甲船走了2千米，由此可知甲船速度為6千米/時(shí)，走完全程需要半小時(shí)，而半小時(shí)乙船恰好走了全程的一半，所以點(diǎn)C的實(shí)際意義是30分鐘時(shí)甲船到達(dá)B港，而乙船此時(shí)離A港還有1.5千米．

4.補(bǔ)畫函數(shù)圖像問題

甲、乙兩船分別從A、B兩港同時(shí)相向而行，并以各自的速度勻速行駛，途徑配貨港C，甲船先到達(dá)C港，并在C港用1小時(shí)配貨，然后按原速度開往B港，乙船從B港直達(dá)A港，圖16是甲、乙兩港間的距離s（千米）與乙船出發(fā)t（時(shí)）的部分函數(shù)圖像.

圖14

（1）A、B兩地的距離是________千米，甲船出發(fā)________小時(shí)到達(dá)C港.

（2）求乙船出發(fā)2小時(shí)后直至到達(dá)A港的過程中，s與t的函數(shù)關(guān)系式及t的取值范圍，并在圖中補(bǔ)全函數(shù)圖像．

分析：行程問題是比較傳統(tǒng)的題型，但又十分重要，如何使題目耳目一新，的確讓命題者們大費(fèi)腦筋，補(bǔ)畫函數(shù)圖像題是近幾年各省市中考卷出現(xiàn)的新題，這類問題的出現(xiàn)，的確起到了考查學(xué)生綜合能力的作用，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力，分析能力，作圖能力的要求都比較高．當(dāng)t=0時(shí)s=300，即未出發(fā)時(shí)兩船之間的距離為300千米，說明A港與B港之間相距300千米．我們發(fā)現(xiàn)圖像中有一個(gè)拐點(diǎn)（1.5，30），經(jīng)過了這一個(gè)拐點(diǎn)我們發(fā)現(xiàn)兩船之間的距離s逐漸減小的趨勢(shì)開始放緩，這說明了甲船已經(jīng)到達(dá)了C港．第二問要求乙船出發(fā)2小時(shí)后直至到達(dá)A港的過程中，s與t的函數(shù)關(guān)系式及t的取值范圍，并在圖中補(bǔ)全函數(shù)圖像．通過計(jì)算我們得到甲的速度是120千米/小時(shí)，乙的速度是60千米/小時(shí)，接著必須搞清楚各個(gè)時(shí)間段兩船的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，這時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生畫線段圖．

①當(dāng)t=1.5時(shí)，甲船到達(dá)C港，乙船在B港和C港之間，兩船之間的距離是30千米．

②當(dāng)t=2時(shí)，甲船停在C港半個(gè)小時(shí)，乙船剛到C，兩船之間的距離是0千米．

③當(dāng)t=2.5時(shí)，甲船停在C港1個(gè)小時(shí)，乙船離開C港半個(gè)小時(shí)，兩船之間的距離是30千米．

④當(dāng)t=3.5時(shí)，甲船到達(dá)B港，乙船在A、C兩港之間，兩船之間的距離是210千米．

⑤當(dāng)t=5時(shí)，甲船停在B港，乙船到達(dá)A港，兩船之間的距離是300千米．

通過線段圖的分析，我們得到圖像分為五段，補(bǔ)全圖像如圖17．以經(jīng)典行程問題為背景，以函數(shù)為數(shù)學(xué)工具的應(yīng)用性問題，2011年在浙江省八個(gè)地區(qū)試卷中出現(xiàn).這類試題主要考查學(xué)生“結(jié)合圖像對(duì)簡(jiǎn)單實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行分析”的能力，突出了函數(shù)這一數(shù)學(xué)工具在現(xiàn)實(shí)中具有廣泛的應(yīng)用性．

圖17