☉上海市新黃浦實(shí)驗(yàn)學(xué)校 許 敏

平面幾何中的證明題很多可以用數(shù)值代入的方法去證明，其基本思想是這樣的：首先將幾何證明中的點(diǎn)的坐標(biāo)用符號(hào)來表示，然后將幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)求解問題，最后對(duì)給定的符號(hào)用具體的數(shù)值來代替，從而達(dá)到證明的目的.

1.將幾何證明問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題

例1 證明正方形的對(duì)角線互相垂直平分.

分析：首先設(shè)定正方形的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，假設(shè)已知正方形ABCD以AD為x軸，以AB為y軸，邊長(zhǎng)為a，則A、B、C、D坐標(biāo)分別為A（0，0），B（0，a），C（a，a），D（a，0）.則直線AC的解析式為y=x，直線BD的解析式為y=a-x.證明對(duì)角線互相垂直平分，則需要證明|AE|=|EC|，|BE|=|ED|，而且AC⊥BD.因此，該幾何證明題可轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題為：

1.證明直線AC與直線BD垂直：直線AC和BD的斜率都可表示為關(guān)于a的表達(dá)式，接著證明兩斜率的乘積為-1.

2.|AE|=|EC|，|BE|=|ED|：線段AE、EC、BE、ED的長(zhǎng)度都可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的表達(dá)式，然后來證明其對(duì)應(yīng)的關(guān)于a的代數(shù)表達(dá)式的等號(hào)左右兩邊相等.

以上用這個(gè)例子來說明如何將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，并且闡述如何用代數(shù)的方法來解幾何問題.對(duì)于簡(jiǎn)單的幾何問題，它所涉及的符號(hào)比較少，如例1，我們只需要設(shè)一個(gè)符號(hào)就可以把其余的點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來.但是，對(duì)于很多幾何問題，它所涉及的符號(hào)太多，在推理以及計(jì)算過程中非常復(fù)雜，如果用例1的方法來處理將十分困難，接下來我們討論如何用具體數(shù)值代入的方法來證明幾何題.

2.具體數(shù)值代入法

具體數(shù)值代入法是將代數(shù)問題中出現(xiàn)的符號(hào)直接用隨機(jī)取的數(shù)值代入進(jìn)行計(jì)算和證明.我們用下面的例子來描述該方法.

例2 證明三角形三條中線交于一點(diǎn).

例3 平行四邊形對(duì)角線互相平分.