韓金池，鄒 軍

(清華大學(xué)電機(jī)工程與應(yīng)用電子技術(shù)系，北京 100084)

0 引言

對(duì)于形狀不規(guī)則導(dǎo)體電阻的求解通常有兩類方法:一類是通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法測(cè)量，即對(duì)導(dǎo)體兩端加電壓測(cè)量流過(guò)導(dǎo)體的電流，或?qū)?dǎo)體通入恒定電流測(cè)量導(dǎo)體兩端的電壓，電壓和電流之比即為導(dǎo)體的電阻;另一類方法是利用電場(chǎng)計(jì)算，通過(guò)給定導(dǎo)體中電流場(chǎng)的方程和邊界條件，求解偏微分方程得到導(dǎo)體兩端電位差求得導(dǎo)體電阻。但以上兩類方法都存在一定的局限:實(shí)驗(yàn)方法受到條件的限制，有時(shí)對(duì)于一些體積較大的導(dǎo)體電阻也不便于用實(shí)驗(yàn)的方法進(jìn)行測(cè)量;很多不規(guī)則導(dǎo)體的電阻難以利用電場(chǎng)計(jì)算的方法得到解析解，而數(shù)值解法需要使用特定的軟件。有時(shí)無(wú)法使用上述兩類方法，而又需要對(duì)形狀不規(guī)則導(dǎo)體電阻進(jìn)行估算。對(duì)于這種需求，本文討論了一種不規(guī)則形狀(L型)薄導(dǎo)體片電阻的簡(jiǎn)化估算方法，并對(duì)該方法的合理性及誤差進(jìn)行分析。

通常對(duì)于不規(guī)則導(dǎo)體電阻估算使用圖解法，將它劃分成若干長(zhǎng)方體電阻進(jìn)行估算，這樣的估算方法是基于在所劃分的長(zhǎng)方體區(qū)域內(nèi)電流場(chǎng)分布均勻的假設(shè)，但顯然該假設(shè)在劃分不足夠細(xì)的情況下未必成立，特別是在貼近轉(zhuǎn)角處由于電流線靠近導(dǎo)體邊界，在這樣的區(qū)域內(nèi)長(zhǎng)方形電阻等效的方法誤差會(huì)較大。因此，本文提出一種對(duì)轉(zhuǎn)角處電阻做圓弧電阻等效，對(duì)距離轉(zhuǎn)角較遠(yuǎn)處做長(zhǎng)方體電阻等效的方法，對(duì)L型薄導(dǎo)體片電阻進(jìn)行估算。

該估算方法的優(yōu)點(diǎn)是:①對(duì)轉(zhuǎn)角處用圓弧等效使得估算模型的電流線分布與導(dǎo)體實(shí)際情況更加接近，從而減小誤差;②通過(guò)對(duì)求解區(qū)域一定的細(xì)化進(jìn)一步提高求解精度，且細(xì)化方式對(duì)于L型薄導(dǎo)體有普適性。

1 L型導(dǎo)體片電阻的估算

1.1 圓弧導(dǎo)體片電阻

厚度為h(通常很小)，圓心角為θ，電導(dǎo)率為γ，內(nèi)外徑分別為r1和r2的圓弧導(dǎo)體片，如圖1所示。

圖1 圓弧電阻示意圖

采用圓柱坐標(biāo)系，由于h較薄，可以認(rèn)為圓弧導(dǎo)體片中電位φ的分布與厚度方向坐標(biāo)z無(wú)關(guān)。圓弧導(dǎo)體片內(nèi)電流線沿圓弧方向均勻分布，則電位φ與坐標(biāo)r也無(wú)關(guān)，只與弧角α有關(guān)。圓弧導(dǎo)體片內(nèi)電位方程為

其通解為φ=Aα+B。設(shè)定邊界條件φ|α=0=0，φ|α=θ=U0，可確定 A=U0/θ，B=0，得到電位為

解得圓弧導(dǎo)體片電阻為

1.2 梯形導(dǎo)體片電阻

對(duì)于如圖2所示的梯形導(dǎo)體，通過(guò)對(duì)梯形兩腰所形成的角∠AOD進(jìn)行等分，將導(dǎo)體劃分成m個(gè)小分塊，對(duì)于任意小分塊梯形k都可以用圓弧近似，對(duì)應(yīng)的圓弧內(nèi)外徑分別取為r1k=(OAk+ODk)/2，r2k=(OBk+OCk)/2。

那么小分塊梯形k等效成圓弧的電阻為

整個(gè)梯形導(dǎo)體的電阻可以認(rèn)為是m個(gè)小梯形電阻串聯(lián)，即

圖2 梯形導(dǎo)體劃分圖

這里對(duì)梯形導(dǎo)體做圓弧等效這樣的處理是有條件的，即對(duì)于每一個(gè)劃分出的小梯形，AkDk和BkCk為等位線。且對(duì)于整個(gè)梯形導(dǎo)體也需滿足AB和BC為等位線的條件，這樣的近似才會(huì)比較精確。

1.3 寬度相同的L型薄導(dǎo)體片電阻

(1)導(dǎo)體片的劃分

對(duì)于如圖3所示的L型導(dǎo)體，其寬度為L(zhǎng)，外轉(zhuǎn)角兩側(cè)長(zhǎng)度為2L。為便于估算其電阻，在距離內(nèi)轉(zhuǎn)角0.5L 處作直線劃分，使其分為 A，B，C1，C2四部份。我們先對(duì)這樣的L型導(dǎo)體的電阻進(jìn)行研究。

3 寬度相同的L型導(dǎo)體

由于電流線在距離內(nèi)轉(zhuǎn)角超過(guò)對(duì)應(yīng)一半寬度的位置處的分布可以近似認(rèn)為均勻，所以劃分出來(lái)的A，B兩部分導(dǎo)體可利用通常的長(zhǎng)方體電阻公式計(jì)算，剩余轉(zhuǎn)角部分C1和C2可以利用圓弧進(jìn)行等效，轉(zhuǎn)角的等效圓弧電阻可以利用公式(8)求解

式中，RC為C1，C2梯形電阻之和。

由此，我們可得到如圖所示的L型導(dǎo)體的總電阻為

對(duì)于需要切割的導(dǎo)體，由于切割出的兩端距離轉(zhuǎn)角較遠(yuǎn)，可以近似認(rèn)為電流線在這兩部分分布均勻，電阻可以直接利用長(zhǎng)方體電阻公式進(jìn)行求解;對(duì)于需要增補(bǔ)的導(dǎo)體，當(dāng)距離內(nèi)轉(zhuǎn)角一端的長(zhǎng)度小于L/2時(shí)，可以先補(bǔ)成L/2，在進(jìn)行圓弧等效時(shí)計(jì)算出實(shí)際導(dǎo)體長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)的圓心角，再利用上面的方法進(jìn)行求解。

(2)誤差分析

上述估算方法的誤差來(lái)自以下幾方面:①處理時(shí)到內(nèi)轉(zhuǎn)角距離超過(guò)一半寬度的位置處，認(rèn)為電流線分布均勻，實(shí)際上整個(gè)導(dǎo)體內(nèi)電流總是不均勻的。只是在取定位置處電流線分布不均勻程度很小，這樣的等效造成誤差不大;②對(duì)轉(zhuǎn)角近似時(shí)將梯形等效成圓弧，形狀的近似會(huì)有誤差，更重要的是圓弧導(dǎo)體電阻推導(dǎo)是假定徑向邊界為等位線條件下得到的，實(shí)際上等位線需垂直與轉(zhuǎn)角邊界，如圖4所示;③作圓弧導(dǎo)體近似假定導(dǎo)體內(nèi)電流線沿圓弧方向，而實(shí)際上電流線在靠近轉(zhuǎn)角邊界時(shí)貼近邊界分布，如圖5所示，由此也帶來(lái)一定誤差。

圖4 實(shí)際等位線

圖5 實(shí)際電流線

(3)估算方法的改進(jìn)

從誤差分析中可以發(fā)現(xiàn)，上述估算方法的誤差主要是由于貼近邊界時(shí)電流線及等位線的分布不符合圓弧等效的條件，所以這里不妨將貼近兩邊界的部分分離出來(lái)單獨(dú)考慮，形成三個(gè)緊靠的L型導(dǎo)體，如圖6所示。

分離出的兩個(gè)部分仍然可以通過(guò)截成三個(gè)區(qū)域，其中轉(zhuǎn)角區(qū)域仍以利用上面得到的公式求解，其余兩區(qū)域直接利用長(zhǎng)方體電阻公式。中間的部分由于已削弱靠近邊界的影響，在轉(zhuǎn)角區(qū)域直接用圓弧等效更加準(zhǔn)確。推導(dǎo)出各區(qū)域電阻及總電阻計(jì)算公式如下:

圖6 區(qū)域一階細(xì)化示意圖

式中，R0，R1，R2分別表示區(qū)域(A0，B0，C01和 C02)，區(qū)域(A1，B1，C11和 C12)和區(qū)域(A2，B2，C21和 C22)的電阻。

如果考慮從電流線貼近邊界到中間部分沿圓弧分布中間的過(guò)渡，可以對(duì)區(qū)域做二階的劃分，將靠近邊界的部分分離出來(lái)。推導(dǎo)出計(jì)算如下公式，其中R1與R2同式(12)和式(13)。

圖7 區(qū)域二階細(xì)化示意圖

式中，R3為區(qū)域(A3，B3，C31和 C32)電阻?？傻玫娇傠娮铻?/p>

2 寬度不相等L型薄導(dǎo)體

2.1 估算方法的推廣

對(duì)于寬度不相等的L型導(dǎo)體，也可通過(guò)截?cái)嗷蛟鲅a(bǔ)得到如圖8所示形狀的導(dǎo)體。利用對(duì)寬度相等的導(dǎo)體估算的思想，通過(guò)對(duì)轉(zhuǎn)角處做圓弧等效，對(duì)寬度不相等導(dǎo)體轉(zhuǎn)角需分成三個(gè)區(qū)域(C0、C1和C2)進(jìn)行估算。由于在寬度較窄的一端電流線分布很密，所以考慮到電流線由密到疏的過(guò)程及等位線分布，轉(zhuǎn)角窄導(dǎo)體部分、寬導(dǎo)體部分以及過(guò)渡部分分別用三種圓心和內(nèi)外徑的圓弧進(jìn)行等效，如圖8所示。

圖8 寬度不相等L型導(dǎo)體

由如圖的幾何關(guān)系可以得到電阻計(jì)算公式:

2.2 估算方法的改進(jìn)

上述推廣方法對(duì)寬度不同導(dǎo)體進(jìn)行電阻估算誤差原因與1.3(2)中分析類似，可以參照1.3(3)的方法對(duì)推廣的估算做以改進(jìn)。

進(jìn)行一階劃分，將貼近兩邊界的部分分離出來(lái)，如圖9所示。

圖9 區(qū)域一階細(xì)化示意圖

由圖得到求解公式為

進(jìn)一步劃分來(lái)削弱從電流線貼近邊界到沿圓弧過(guò)渡區(qū)域?qū)η蠼饩鹊挠绊懀玫饺鐖D10所示的示意圖。

圖10 區(qū)域二階細(xì)化示意圖

各區(qū)域電阻及總電阻中，R1、R2計(jì)算見式(23)和式(24)，R3、R4和總電阻可計(jì)算如下:

3 電阻估算精度比較

3.1 寬度相同導(dǎo)體的電阻估算

設(shè)有L=0.5m，γ =8 ×106S/m2，h=5mm 的寬度相同的L型導(dǎo)體，利用Matlab中PDEtool工具箱得到導(dǎo)體中電流線和等位線分布如圖11所示。

求得的導(dǎo)體電阻精確值為R=64.16μΩ。利用傳統(tǒng)長(zhǎng)方體等效估算方法，本文提出的估算方法以及兩種改進(jìn)估算方法得到的電阻與相對(duì)誤差比較如表1所示。

圖11 寬度相同L型導(dǎo)體PDEtool仿真

表1 寬度相同導(dǎo)體不同劃分估算結(jié)果

對(duì)于給定尺寸L型電阻，傳統(tǒng)估算法的誤差很大，而本文提出的最簡(jiǎn)單估算方法的相對(duì)誤差在5%左右，隨著劃分的細(xì)化，估算精度逐漸提高，二階劃分后相對(duì)誤差已經(jīng)降到0.5%以下，估算求解已十分精確。

3.2 寬度不同導(dǎo)體的電阻估算

設(shè)有 L1=0.5m，L2=1.0m，γ =8 ×106S/m2，h=5mm的寬度不相等導(dǎo)體，PDEtool仿真給出的電流線和等位線的分布如圖12所示。解得導(dǎo)體電阻精確值為R=64.16μΩ。采用傳統(tǒng)長(zhǎng)方形等效法的估算值與劃分方式有關(guān)(劃分AC與B兩區(qū)域?qū)?yīng)法1，劃分A與BC兩區(qū)域?qū)?yīng)法2)。利用傳統(tǒng)法，推廣估算方法以及兩種改進(jìn)估算方法得到的電阻與相對(duì)誤差比較如表2所示。

圖12 寬度不相同L型導(dǎo)體PDEtool仿真

表2 寬度不同導(dǎo)體不同劃分估算結(jié)果

對(duì)于給定尺寸L型電阻，最簡(jiǎn)單估算方法相對(duì)誤差在4.5%左右，隨著劃分細(xì)化，估算精度逐漸提高，二階劃分后相對(duì)誤差已降到0.015%左右，該估算求解十分精確。

4 結(jié)語(yǔ)

本文討論了L型導(dǎo)體電阻的估算方法，提出兩種改進(jìn)的估算方法并對(duì)估算方法進(jìn)行了誤差分析，且對(duì)不同估算方法的精度進(jìn)行了比較。

應(yīng)當(dāng)指出，在需要精確求解L型導(dǎo)體電阻的場(chǎng)合，直接測(cè)量及仿真仍是最常用的測(cè)量方法，而本文給出了在無(wú)法應(yīng)用上述方法時(shí)對(duì)L型導(dǎo)體電阻的一種較準(zhǔn)確且簡(jiǎn)便的估算方法。

我們?cè)谶x擇估算方法時(shí)應(yīng)考慮按求解精度的需求選擇合適的估算方法，改進(jìn)方法隨著區(qū)域劃分加密，求解精度逐步提高，但是工作量也大大增加。所以應(yīng)當(dāng)結(jié)合實(shí)際需求，選擇符合精度要求且最為簡(jiǎn)便的估算方法。

［1］ 馬信山，張濟(jì)世，王平編著，《電磁場(chǎng)基礎(chǔ)》，清華大學(xué)出版社，1995.5:北京