楊 慧，王 崢

(鄭州鐵路職業(yè)技術學院，河南 鄭州 450052)

灰色系統(tǒng)理論中應用最廣泛的GM(1，1)模型，由于其所需樣本數(shù)據(jù)較少，運算方便，短期預測精度較高等優(yōu)點，已成功地應用于社會、經(jīng)濟等各個領域［1－9］。但對于既有總體變化趨勢又有波動性的數(shù)據(jù)序列，GM(1，1)模型預測精度不高［3－6］。為了提高GM(1，1)模型的預測精度，一些學者在這方面做了許多工作，提出了一些改進的方法［1、2、5、6］，如殘差修正模型、遺傳算法等。殘差GM(1，1)模型要求殘差尾段必須有相同的符號，對于既有總體變化趨勢又有波動性的數(shù)據(jù)序列，這個條件很難得到滿足。遺傳算法具有模仿多種函數(shù)的能力，特別適合對GM(1，1)模型進行殘差修正，但遺傳算法需要有足夠多的學習樣本來訓練這個網(wǎng)絡，當樣本數(shù)量較少時，預測的精度也不太理想。

在沒有安裝檢測器的路段，交通流量數(shù)據(jù)的獲得只能靠人工計數(shù)來完成，不可能獲得大量的數(shù)據(jù)。陳淑艷、陳家勝［2］將GM(1，1)模型與遺傳算法結合起來應用于交通量的預測，取得了比孫燕、陳森發(fā)［3］等人更好的結果，但受樣本數(shù)量較少的限制，預測的精度仍不太理想。對既有總體變化趨勢又有波動性的數(shù)據(jù)序列，筆者先用GM(1，1)模型篩選出趨勢成份，然后對實際值與擬合值的差值構成的殘差序列，作Fourier變換，提取出周期波動成份，最后將二者疊加，進行殘差修正，將該方法應用于實際，效果比較理想。

1GM(1，1)模型的建立

1.1 傳統(tǒng)的GM(1，1)模型

設 X(0)=x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n(

))為非負的原始數(shù)據(jù)序列，其1－AGO為:

X(1)的近鄰生值生成序列為

若原始數(shù)據(jù)序列X(0)滿足:

則稱X(0)為準光滑序列。

可以證明［1］，若X(0)為準光滑序列，則其一階累加生成序列X(1)具有準指數(shù)規(guī)律，可對X(1)建立GM(1，1)模型:

以x(1)(t)|t=1=x(1)(1)為初始條件的解為

對 ^X(1)累減還原求出X(0)的模擬值

1.2GM(1，1)模型的改進

文獻［7］證明了利用(7)式代替(1)式可以擺脫因背景值構造不當而產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差。

(7)式中當x(1)(t)=x(1)(t－1)時，規(guī)定 z(1)(t)=x(1)(t)。

(5)式是基于擬合曲線一定經(jīng)過第一個數(shù)據(jù)點(1，x(1)(1))而得到的，我們知道，由最小二乘法得到的擬合曲線，理論上不一定通過任何一個點(m，x(1)(m))。因此，為進一步優(yōu)化GM(1，1)模型，微分方程(3)的通解

中的任意常數(shù)c可根據(jù)X(1)與其模擬值 ^X(1)偏差平方和為最小的原則確定為［1］

累減還原得X(0)的模擬值為

2 GM(1，1)殘差尾段波動變化趨勢的修正

交通量受多種因素的影響，具有很大的隨機性，其時間序列往往含有多個周期波，這些周期波的波長和振幅又各不相同。本文采用傅立葉級數(shù)，將波動序列成份看成是各種周期波形疊加的結果。

設 X(0)=x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n())的殘差序列為

ε(t)等于 m 個波形在 t(t=1，2，…，n)時刻取值的總和:

應用最小二乘法，可得傅立葉系數(shù)［10］

在實際工作中，為簡化計算，并不要求所有的周期分量都加入預測方程，而是尋求影響最大者，即振幅最大者。振幅的計算公式為

將趨勢成份與波動成份疊加，得原始數(shù)據(jù)序列的模擬值

3 應用實例

無檢測器的路段獲得的交通量數(shù)據(jù)有限，故將該模型用于無檢測器路段的交通量預測。為便于對比，使用文獻［2］提供一組交通量數(shù)據(jù)序列

(11，10，11，13，15，16，16，15)

前6個數(shù)據(jù)用于建模，后2個數(shù)據(jù)用于模型檢驗。

經(jīng)計算得 ρ(3)≈0.524，ρ(4)≈0.406，ρ(5)≈0.3333，ρ(6)≈0.2667，可以看出在 t＞3 滿足準光滑條件。建立GM模型為

利用該式可求出趨勢模擬值，計算實測值與模擬值的差，得殘差序列(0，－1.07342，－0.86，0.299，1.3984，1.43334)，經(jīng)計算得波動成份的回歸方程為

利用該式可求出殘差修正值序列為(－0.20674，－1.2401，－1.0658，0.1328，1.19165，0.26664，－0.20673，－1.24)，將趨勢成份的模擬值與波動成份的模擬值疊加，即可得到擬合值和預測值，結果見表1。可以看出，本模型的預測精度略高于文獻［2］。

表1 預測結果對比表

4 結語

對于既有趨勢增長成份，又有波動成份的數(shù)據(jù)序列，若數(shù)據(jù)波動幅度比較小，可以應用該模型進行模擬，若波動幅度比較大，則需要先對原始數(shù)據(jù)進行變換，進行平穩(wěn)化處理。

［1］劉思峰，黨耀國，方志耕.灰色系統(tǒng)理論及其應用［M］.北京:科學出版社，2004，125 －209.

［2］陳淑燕，陳家勝.一種改進的灰色模型在交通量預測中的應用［J］.公路交通科技，2004，21(2):80 －83.

［3］孫燕等.灰色系統(tǒng)理論在無監(jiān)測器交叉口交通量預測中的應用［J］.東南大學學報，2002，32(2):256 －258.

［4］李留藏，許聞天.灰色系統(tǒng) GM(1，1)模型的討論［J］.數(shù)學的實踐與認識，1993(1):15－22.

［5］Deng Julong.A novel GM(1，1)model for non － equigap series［J］.The Journal of Grey System，1997，9(2):111 －116

［6］Kuo Ching Ying，Ching Tong Liao.Fourier modified non －equigap GM(1，1)［J］.The Journal of Grey System，2000，12(2):139－142.

［7］羅黨，劉思峰，黨耀國.灰色模型 GM(1，1)優(yōu)化［J］.中國工程科學，2003，5(8):50 －53.

［8］高曙.基于殘差變化趨勢的GM(1，1)修正模型的算法實現(xiàn)與應用［J］.武漢理工大學學報，2003，25(6):17 －19.

［9］孫才志，潘俊.修正的灰色模型在水文時間序列分析中的應用［J］.工程勘察，2000(3):25－26.

［10］李鐵映，張昕.預測決策方法［M］.沈陽:遼寧科學技術出版社，1984:407－416.