張菊弟

（蘇州市吳中區(qū)東山莫厘中學(xué) 江蘇 蘇州 215107）

平面幾何是運(yùn)用邏輯推理的方法來研究平面圖形性質(zhì)的一門學(xué)科。 因此，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的能力是平面幾何教學(xué)的主要目標(biāo)之一。 是學(xué)生學(xué)幾何的關(guān)鍵，也是學(xué)生學(xué)幾何的難點(diǎn)。 雖然學(xué)生在小學(xué)里接觸過一些幾何圖形，但是現(xiàn)在他們對于邏輯推理的思維方法和過程還是完全陌生的。 盡管初中七年級上冊還沒有要求進(jìn)行邏輯推理形式的書寫，可是到了八年級下冊就要求用邏輯推理的形式來解決有關(guān)的“證明”了，如果現(xiàn)在不打好基礎(chǔ)，那么以后做幾何證明題時(shí)可能就會(huì)感到困難重重！ 因此，必須要在七年級做好幾何教學(xué)的推理論證工作，為今后的幾何學(xué)習(xí)打好扎實(shí)的基礎(chǔ)。 下面談?wù)劚救说囊恍?shí)踐與體會(huì)。

1 不該忽視的一類證明，初步感受幾何推理論證

圖1

圖2

平面幾何入門學(xué)習(xí)中，我感覺大多數(shù)教師在這一階段教學(xué)中對于利用“等式性質(zhì)”推導(dǎo)線段和角相等的證明不夠重視，而事實(shí)上，課本上更有相關(guān)的習(xí)題要求學(xué)生掌握證明，蘇科版七年級 （上） 課本第115 頁習(xí)題6.13 如圖1 如果AC=BD，那么線段AD 與線段BC 之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？說說你的理由。 另一個(gè)方面是，在教學(xué)中我作為一個(gè)典型例題重點(diǎn)講解，而且在黑板上寫出嚴(yán)格的推理過程和填上每一步的理由依據(jù)，證明：∵AC=BD（已知）

∴AC+CD=BD+CD（等式性質(zhì)）

即AD=BC

證完結(jié)束后，我小結(jié)如下：實(shí)際上，這道題目是方程中等式性質(zhì)在幾何方面的運(yùn)用，接著就做一個(gè)變式練習(xí)：如上圖如果AD=BC， 那么線段AC 與線段BD 之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 說說你的理由。 讓學(xué)生模仿黑板上的證明過程自己試著寫出來，初步感受一下推理論證。 同樣在學(xué)習(xí)到角的有關(guān)知識點(diǎn)時(shí)，盡管書本沒有配套的習(xí)題，我自編一題幾何說理題：已知，如圖2，∠AOB=∠COD，請判斷∠AOC 與∠BOD 有怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？在教學(xué)中通過分析，讓學(xué)生回答證明過程，教師板書如下。

證明：∵∠AOB=∠COD（已知）

∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC（等式性質(zhì)）

即∠AOC=∠BOD

接著做變式練習(xí)：已知，如上圖，∠AOC=∠BOD，請判斷∠AOB 與∠COD 有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 為什么？ 通過講和練可以讓學(xué)生自我進(jìn)行歸納證法：相同線段（或角）±公共部分線段（或角）=新的相同線段（或角），這是為以后的幾何學(xué)習(xí)做好了鋪墊工作。 事實(shí)上，在蘇科版七年級（下）學(xué)習(xí)全等三角形時(shí)， 經(jīng)常會(huì)利用等式性質(zhì)去證明線段或角相等的條件，因此，我在這一階段教學(xué)時(shí)一直加以重視。

2 重視幾何概念教學(xué)，逐步感悟幾何推理論證

嚴(yán)格的幾何推理過程的書寫，是從線段的中點(diǎn)概念開始的，因此，在講解“線段中點(diǎn)定義”時(shí)，尤其要重視幾何概念的教學(xué)，以及幾何圖形，幾何語言的規(guī)范書寫，這是非常重要的，是學(xué)好幾何最基本的準(zhǔn)備，在教學(xué)中我將“線段中點(diǎn)定義”的概念用表格形式列出來，讓學(xué)生看的更清楚，理解的更深刻。

表1

3 強(qiáng)化幾何規(guī)范語言的書寫，自我實(shí)踐幾何推理論證

在教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)有些教師對幾何語言規(guī)范要求的書寫不夠重視，理由依據(jù)也不要求學(xué)生寫，我認(rèn)為這種做法對學(xué)生學(xué)習(xí)幾何“有百害而無一利”，因?yàn)閹缀我?guī)范語言的書寫本身是一個(gè)難點(diǎn)，如果教師自己不加以重視，那么學(xué)生對幾何知識的掌握情況就可想而知了。 我認(rèn)為：我們一開始就要求學(xué)生規(guī)范的書寫幾何推理過程，并且每一步都要求寫出理論依據(jù)，教師示范，學(xué)生模仿，扎扎實(shí)實(shí)地進(jìn)行嚴(yán)格的訓(xùn)練，打好基礎(chǔ)，當(dāng)然開始講解例題時(shí)節(jié)奏可以慢一些，好讓學(xué)生聽懂，真正理解。 如果我們讓學(xué)生自己直接寫出幾何的證明過程，很多學(xué)生會(huì)感到困難重重，甚至無從下手，這時(shí)我們可以出示有填空形式的證明題，例如學(xué)填依據(jù)訓(xùn)練，教學(xué)中要善于引導(dǎo)學(xué)生“言必有據(jù)”，要讓學(xué)生理解推理論證的每一步之間都有嚴(yán)密的邏輯順序關(guān)系。

例如1：課本七（下）第9 頁練一練2

如圖3：（1）如果∠1=∠2，根據(jù)______，可得AB∥CE；

（2）如果∠2=∠E，根據(jù)______，可得AD∥BE；

（3）如果∠1+∠B=180°，根據(jù)______，可得AD∥BE。

圖3

圖4

我們還可以讓學(xué)生進(jìn)行推理過程的訓(xùn)練，使學(xué)生熟悉推理論證的每一步過程，并能明白證明格式的規(guī)范要求，作為推理論證的書寫樣板，由易到難，一步一步地培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力。 例如七（上）課本第117 頁上的一道習(xí)題：已知，如圖4，∠AOC 和∠BOC 互為鄰補(bǔ)角，OD，OE 分別是∠AOC，∠BOC 的平分線。 求證：OD⊥OE，我設(shè)計(jì)成如下的推理填空形式：

證明：∵∠AOC 和∠BOC 互為鄰補(bǔ)角（______）

∴∠AOC+∠BOC=（______）

∵OD 是∠AOC 的平分線，OE∠BOC 的平分線（______）

∴∠1+∠2=______+______

即∠______=90°

∴OD⊥OE（______）

4 深化推理論證的基本方法，尋求推理論證的途徑

對于七年級學(xué)生來說，對幾何證明題不知從哪里下手證明的一個(gè)主要原因，就是沒有掌握推理論證的思考方法。 因此，我們在教學(xué)中要深化推理論證的基本方法——分析法和綜合法的教學(xué)，使學(xué)生明白分析法：是從所要求證的結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過研究分析這一結(jié)論成立需要具備什么條件，如此逐步向上逆推，一直推到題目的已知條件，可以和學(xué)生歸納為：“擇果索因”，也就是“拿著結(jié)果去尋找原因”。 而綜合法是從已知條件出發(fā)，通過一步步推導(dǎo)，最后推得所要證明的結(jié)果，可以簡單的概括為：“由因?qū)Ч保?也就是 “由原因去推導(dǎo)結(jié)果”，通過方法的引導(dǎo)，使學(xué)生具有一定的解題思路。 而在具體解題遇到困難時(shí)，還可以將分析法和綜合法相結(jié)合，我們把它稱為“兩頭湊”的解題方法，事實(shí)上在具體解題時(shí)非常有用。

例如：已知，如圖5，把兩個(gè)含有45°角的直角三角板如圖放置，點(diǎn)D 在BC 上，連結(jié)BE、AD，AD 的延長線交BE 于點(diǎn)F.說明：AF⊥BE.

圖5

在教學(xué)時(shí)，我采用分析—綜合相結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生尋求正確的解題途徑，具體如下：

分析法：要證：AF⊥BE，即證：∠AFB=90°，

要證：∠AFB=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即證：∠FBD+∠FDB=90°

我們發(fā)現(xiàn)：∠FDB=∠ADC（對頂角相等），因此是否能證：∠FBD=∠CAD

因?yàn)樵赗t△ACD 中，∠CAD+∠ADC=90°而要使∠FBD=∠CAD，必須要證△ACD≌△BCE，引導(dǎo)學(xué)生能否找到證全等的3 個(gè)條件，由于兩個(gè)都是等腰直角三角形，可得：AC=BC，CD=EC，∠ACD=∠BCE=90°，從而找到三個(gè)條件可證全等.

綜合法：∵△ACB 和△DCE 都是等腰直角三角形（已知）

∴AC=BC，CD=EC，∠ACD=∠BCE=90°.

在△ACD 和△BCE 中

△ACD≌△BCE（SAS）

∴∠FBD=∠CAD（全等三角形的對應(yīng)角相等）

在Rt△ACD 中，∠CAD+∠ADC=90°

∵∠FDB=∠ADC（對頂角相等）

∴∠FBD+∠FDB=90°

在△BFD 中，∠AFB=180°-（∠FBD+∠FDB）

=180°-90°

=90°

∴AF⊥BE（垂直定義）

5 注重解題思路的引導(dǎo)，切實(shí)培養(yǎng)好邏輯推理能力

在學(xué)習(xí)全等三角形這一章時(shí)，有些常規(guī)的證明思路方法在教學(xué)中要及時(shí)跟學(xué)生歸納總結(jié)，學(xué)生在掌握的基礎(chǔ)上將更容易的去解決問題，例如：（1）證不在同一個(gè)三角形中的兩條線段相等時(shí)，通常證這兩條線段所在的三角形全等；（2）證不在同一個(gè)三角形中的兩個(gè)角相等時(shí)，通常證這兩個(gè)角所在的三角形全等；（3）當(dāng)不能直接用全等證線段或角相等時(shí)，可以轉(zhuǎn)化成證與第三條線段相等或證與第三個(gè)角相等的方法來證明；（4）利用全等證某些角相等，從而證明兩條直線互相平行；（5）證兩條直線互相垂直時(shí)，可以和學(xué)生歸納為“由已知直角去證未知直角”的方法，中間需要利用全等將某些角進(jìn)行轉(zhuǎn)化。 學(xué)生有了這些常規(guī)解題的思考方法后，做題時(shí)將更得心應(yīng)手，解決問題的能力也將更強(qiáng)。

同時(shí)，我在講解典型例題后經(jīng)常要和學(xué)生一起反思一下解題的思考方法：

（1）這道題目你是怎么想出來的？

（2）這道題目你怎么想不出來？

（3）這道題目的突破點(diǎn)在哪里？ 哪個(gè)已知條件使你受到了啟發(fā);

（4）這種證明思路是否可以推廣作為一般方法？ 有沒有其它方法證明這道題目？

（5）做出這道題目后，你對這個(gè)知識點(diǎn)的運(yùn)用是否有更深的理解？ 等等。

例如：我把課本七（下）第123 頁第18 題改編成以下的習(xí)題，已知，如圖6，在△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為D，E，F(xiàn)，求證：DE=DF

圖6

這道題目并不太難，大多數(shù)同學(xué)都能做出來，證完后我對學(xué)生說：“你們自己的證明是怎么想出來的？ 可以和同桌互相交流一下想法?？纯词欠襁€有其它方法？”在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效的反思后，總結(jié)以下幾種證法：

證法1：先證△ABD≌△ACD，得出∠BAD=∠CAD，再證△ADE≌△ADF，證出DE=DF；

證法2： 先證△ABD≌△ACD， 得出∠B=∠C， 再證△CDE≌△BDF，證出DE=DF；

證法3：先證△ABD≌△ACD，得出∠BAD=∠CAD，說明AD 平分∠BAC，由于DE⊥AB，DF⊥AC，根據(jù)角平分線性質(zhì)定理，可證DE=DF。

我通過一學(xué)年蘇科版七年級幾何教學(xué)的實(shí)踐，較好的培養(yǎng)了學(xué)生的幾何推理能力，為今后幾何學(xué)習(xí)打下了扎實(shí)的論證基礎(chǔ)，采用上述方法培養(yǎng)學(xué)生幾何推理能力的做法是切實(shí)可行的，能全面提高學(xué)生的幾何邏輯推理能力。

［1］蘇科版七年級數(shù)學(xué)教材.