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深化、變化、串化、優(yōu)化——新課程背景下高三例題教學(xué)有效性的探討

2012-08-15 00:51:52廣東省信宜市信宜中學(xué)吳程北
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2012年7期
關(guān)鍵詞:切點(diǎn)例題習(xí)題

☉廣東省信宜市信宜中學(xué) 吳程北

例題作為教學(xué)內(nèi)容的重要組成部分,成為了數(shù)學(xué)核心概念、教學(xué)重點(diǎn)等知識(shí)和能力培養(yǎng)的主要載體,其作用不言而喻:有助于學(xué)生鞏固、深化新學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí),領(lǐng)悟和掌握隱含于其中的重要數(shù)學(xué)思想方法,訓(xùn)練良好的思維品質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生的能力,發(fā)展學(xué)生的智力.但很多教師對(duì)例題處理往往過(guò)于簡(jiǎn)單,有時(shí)甚至一筆帶過(guò),特別是在原教學(xué)方法慣性思維的牽引下,存在著機(jī)械傳授、例題解決表面化、教師講授與學(xué)生脫節(jié)等問(wèn)題,聽(tīng)到的經(jīng)常是“我這類例題講了n遍,學(xué)生還是不會(huì)”.所以在高三這個(gè)關(guān)鍵時(shí)刻,教師如何從茫?!邦}?!敝芯x并提煉出具有思維價(jià)值的典型問(wèn)題,是擺在每一位高三教師面前迫切需要解決的課題.本人根據(jù)自己的教學(xué)實(shí)踐總結(jié)出“四化”,即將例題深化、變化、串化、優(yōu)化.

一、將教材的例題和習(xí)題“深化”,鞏固“雙基”

教材是學(xué)生學(xué)習(xí)最重要的文本資源,是高考試題最重要的素材來(lái)源,歷年高考題很多直接由教材的例題、習(xí)題改編而成.無(wú)論任何資料都不可能覆蓋所有考點(diǎn),只有教材才能覆蓋所有考點(diǎn).同時(shí)課本中的例題和習(xí)題具有示范性、典型性和導(dǎo)向性,是課本的精髓.如果我們?cè)趶?fù)習(xí)中能恰當(dāng)對(duì)教材中的一些例題和練習(xí)題加以利用,發(fā)掘其潛在價(jià)值并進(jìn)行拓展,往往能起到意想不到的效果.但面對(duì)琳瑯滿目的訓(xùn)練題和各種各樣的測(cè)試題目,教師往往忽略了課本中的例題和習(xí)題,嚴(yán)重出現(xiàn)了“本末倒置”的現(xiàn)象,導(dǎo)致考試時(shí)很多試題雖然是來(lái)自于課本,但還是讓很多考生倍感困惑,成為解題中的障礙和失分點(diǎn).針對(duì)這些情況,本人提出在例題教學(xué)中要將教材的例題和習(xí)題“深化”.

案例1 (人教A版教材必修1習(xí)題1.3A組第6題)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x(1+x),畫出函數(shù)f(x)的圖像,并求出函數(shù)的解析式.

A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-1,2)

C.(-∞,-2)∪(1,+∞)D.(-2,1)

分析:本題往往采取分段函數(shù)分段處理的方法,或者畫出函數(shù)的圖像,利用函數(shù)的單調(diào)性處理,前者需要比較多的運(yùn)算,后者需要時(shí)間去作圖分析.如果能從整體上看這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式,你就會(huì)發(fā)現(xiàn)不正是上述的奇函,數(shù)嗎?并且在區(qū)間[0,+∞]上單調(diào)遞增,因而函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增.所以由f(2-a2)>f(a)及函數(shù)的單調(diào)性的定義,得2-a2>a,解得-2

A.f(x1)+f(x2)<0B.f(x1)+f(x2)>0

C.f(x1)-f(x2)<0D.f(x1)-f(x2)>0

分析:先觀察函數(shù)的解析式,不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)是偶函數(shù),在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,并且與y軸交于點(diǎn)(0,-1),由函數(shù)為偶函數(shù),得(函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增),則f(x1)

由以上案例可見(jiàn),教師應(yīng)這樣“加工”課本的例習(xí)題:①可以引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)的回歸課本,重溫課本中的基本概念、基本題型和基本方法;②可以有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生用熟悉的方法解決新(陌生)的問(wèn)題,即化歸的思想方法;③培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力和發(fā)散思維;④進(jìn)行相關(guān)的類題訓(xùn)練可以減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān),提高復(fù)習(xí)效率,起到溫故而知新的目的.

二、將例題“變化”,培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性

將例題“變化”,即變式,就是不斷變換問(wèn)題呈現(xiàn)的方式,使事物的非本質(zhì)特征時(shí)隱時(shí)現(xiàn),而事物的本質(zhì)特征保持不變.通過(guò)開(kāi)展變式教學(xué),有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì),從“不變”的本質(zhì)中探索“變”的規(guī)律.所以要發(fā)揮例題教學(xué)以點(diǎn)帶面的功能,就要對(duì)例題進(jìn)行“變化”,挖掘問(wèn)題的內(nèi)涵和外延,提高思維的深度和廣闊性,培養(yǎng)學(xué)生隨問(wèn)題變化而變化的應(yīng)變能力,達(dá)到“講一題,學(xué)一法,會(huì)一類,通一片”.

案例2已知函數(shù)f(x)=x2-2x+2,求其在區(qū)間[0,2]上的最值.

在教學(xué)中我對(duì)案例2進(jìn)行了下面的一些題組變化.

變式1(把對(duì)稱軸放在區(qū)間外)求函數(shù)f(x)=x2-2x+2在區(qū)間[0,2]上的最值;

變式2(將定區(qū)間變?yōu)閯?dòng)區(qū)間)求函數(shù)f(x)=x2-2x+2在區(qū)間[t,t+2]上的最值;

變式3(將定對(duì)稱軸變?yōu)閯?dòng)對(duì)稱軸)求函數(shù)f(x)=x2-2mx+2在區(qū)間[0,2]上的最值;

深化(一般情況)求函數(shù)f(x)=ax2+bx+c在區(qū)間[m,n]上的最值.

三、將例題“串化”,培養(yǎng)學(xué)生的化歸能力

將例題“串化”,也就是在教學(xué)過(guò)程式中,教師要有意識(shí)地將“形異質(zhì)同”、“形同質(zhì)異”的題目,將其串珠成線在一起,根據(jù)學(xué)生的不同認(rèn)知水平,通過(guò)“形異質(zhì)同”、“形同質(zhì)異”的例題和習(xí)題訓(xùn)練,讓學(xué)生從“異”中發(fā)現(xiàn)“同”的現(xiàn)象,從“同”中發(fā)現(xiàn)“異”的本質(zhì),這樣既為訓(xùn)練思維、深化認(rèn)識(shí)、優(yōu)化認(rèn)知提供契機(jī),又培養(yǎng)學(xué)生解題能力和抽象概括能力,使他們對(duì)有關(guān)的概念、知識(shí)、思想方法及其內(nèi)在聯(lián)系有了更深刻的理解.

1.“形異質(zhì)同”型.

串2:直線y=kx+2與雙曲線x2-3y2=3恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B且∠AOB為直角(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

把串2中的“∠AOB為直角”改為“∠AOB為銳角”或“∠AOB為鈍角”,其他條件不變都可以.

不難發(fā)現(xiàn)題目從表面上看是不同的問(wèn)題,但本質(zhì)不變,都是聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程,再用韋達(dá)定理求解.課堂上教師經(jīng)常進(jìn)行這種“形異質(zhì)同”習(xí)題的訓(xùn)練,呈現(xiàn)其通性通法,可以避免搞題海戰(zhàn)術(shù),有效減輕學(xué)生的復(fù)習(xí)負(fù)擔(dān),讓學(xué)生在復(fù)習(xí)中既可見(jiàn)“樹(shù)木”又見(jiàn)“森林”.

2.“形同質(zhì)異”型.

案例4(1)設(shè)函數(shù)f(x)=lg(ax2-x+a)的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)設(shè)函數(shù)f(x)=lg(ax2-x+a)的值域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

這些問(wèn)題看似相同,實(shí)則不同,容易混淆.因此教師在復(fù)習(xí)時(shí)要善于引導(dǎo)學(xué)生將習(xí)題歸類,善于對(duì)比思考,推敲它們之間的區(qū)別和聯(lián)系,集中精力解決同類問(wèn)題中的本質(zhì)問(wèn)題,總結(jié)出解這一類問(wèn)題的方法和規(guī)律.

四、將例題解法“優(yōu)化”,培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性

對(duì)于一道數(shù)學(xué)題,由于審視的角度不同,而得到不同的解題方法.在例題教學(xué)中,教師若能抓住一切有利時(shí)機(jī),經(jīng)常有意識(shí)地啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生在所學(xué)的知識(shí)范圍內(nèi),盡可能地提出不同的新構(gòu)想,追求更好、更簡(jiǎn)、更美、更優(yōu)的解法,這不僅僅有利于基礎(chǔ)知識(shí)的縱橫聯(lián)系和溝通,而且也有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力和創(chuàng)新能力,有利于培養(yǎng)學(xué)生的信息收集和整理能力、發(fā)展問(wèn)題和思考問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力.因此例題教學(xué)應(yīng)逐層遞進(jìn),層層優(yōu)化,引導(dǎo)學(xué)生在探索和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的過(guò)程中去繁就簡(jiǎn),優(yōu)化思路,為學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建知識(shí)體系、實(shí)現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的整體優(yōu)化建立橋梁.

案例5 從圓(x-1)2+y2=1外一點(diǎn)P(2,3)向該圓引切線PA、PB,切點(diǎn)為A、B,求直線AB的方程.

教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生容易從直觀入手分析,即由切線求切點(diǎn).由圓心(1,0)到切線的距離等于半徑,求得切線方程為x=2和4x-3y+1=0,從而得到切點(diǎn)即得直線AB的方程為x+3y-2=0.此法符合學(xué)生的思維特點(diǎn),易被學(xué)生掌握,但運(yùn)算量較大,如何優(yōu)化使求切線方程更簡(jiǎn)潔呢?

優(yōu)化1:由兩圓相交求切點(diǎn).

設(shè)已知圓的圓心為C,根據(jù)平面幾何性質(zhì):切點(diǎn)是以PC為直徑的圓與圓C的交點(diǎn),以PC為直徑的圓的方程為(x-2)(x-1)+y(y-3)=0,與圓C的方程(x-1)2+y2=1聯(lián)立,得切點(diǎn)B(2,0),從而得直線AB的方程x+3y-2=0.運(yùn)用平面幾何性質(zhì),減少運(yùn)算量,簡(jiǎn)化了解題過(guò)程.值得思考的是:要求過(guò)切點(diǎn)的直線方程,是否一定要求出切點(diǎn)的坐標(biāo)?解題理念的突破,為學(xué)生優(yōu)化解題提供了動(dòng)機(jī).

優(yōu)化2:巧用設(shè)而不求法.

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),在優(yōu)化1中,將兩圓的方程相減,得x+3y-2=0(*).由于兩個(gè)切點(diǎn)坐標(biāo)滿足這兩個(gè)圓的方程,所以也滿足(*),而方程(*)是關(guān)于x、y的一次方程,這說(shuō)明方程(*)即為過(guò)切點(diǎn)A、B的直線方程.這種簡(jiǎn)明的推理過(guò)程,無(wú)疑會(huì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)樂(lè)趣,促進(jìn)他們挖掘新的思維通道.

優(yōu)化3:逆向思維.

變換視角,將點(diǎn)P看做兩切線的交點(diǎn).設(shè)切點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2),則切線PA的方程為(x-1)(x1-1)+yy1=1.PA過(guò)點(diǎn)P(2,3),將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入,化簡(jiǎn)得x1+3y1-2=0.同理可得x2+3y2-2=0.由這兩個(gè)方程知切點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2)的坐標(biāo)都滿足方程x+3y-2=0.故此方程即為過(guò)點(diǎn)A、B的直線方程.

這三種解法分別從不同角度出發(fā),溝通了知識(shí)的縱向、橫向聯(lián)系,通過(guò)分析、聯(lián)想,使學(xué)生思維產(chǎn)生質(zhì)的飛躍,獲得嶄新而巧妙的最優(yōu)解法,這樣訓(xùn)練有利于學(xué)生的解題,優(yōu)化了思維品質(zhì).在整個(gè)過(guò)程中把握數(shù)學(xué)的靈魂——思想方法和知識(shí)的精髓,通過(guò)學(xué)生探索知識(shí)的形成過(guò)程,讓學(xué)生參與到發(fā)現(xiàn)或解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的情境中,探索解決問(wèn)題的最佳思路,可以很好地吸引學(xué)生從多角度觀察、思考、聯(lián)想、概括并獲得多種解題路徑,從而不斷掀起學(xué)生的思維浪花,使他們既開(kāi)闊了視野,又增添了興趣,體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)的艱辛和成功的喜悅,也感受到數(shù)學(xué)的美妙與情趣.同時(shí),在師生的共同探索中去繁就簡(jiǎn),優(yōu)化思路,培養(yǎng)了思維的靈活性和深刻性,有效地培養(yǎng)學(xué)生的探究能力.

總之,例題教學(xué)的有效性提高是一個(gè)值得我們不斷總結(jié)、不斷完善的課題,本文總結(jié)出來(lái)的例題教學(xué)“四化”,是自己在教學(xué)中不斷實(shí)踐總結(jié)出來(lái)的,還有一些地方需要完善、推敲.

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