李正英，黨朋朋，李竟?jié)?/p>

（重慶大學(xué)a.土木工程學(xué)院；b.山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶400030）

非線性靜力分析（Pushover）法是一種簡化的非線性地震反應(yīng)評估方法，其基本原理是：在結(jié)構(gòu)分析模型上施加按某種方式分布的側(cè)向荷載模擬地震作用下的側(cè)向分布力，并逐級(jí)按比例增大，直到結(jié)構(gòu)達(dá)到預(yù)定的狀態(tài)（位移超限或位移達(dá)到目標(biāo)位移），然后評估結(jié)構(gòu)的性能。它提供了一種評估結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)尤其是非線性地震反應(yīng)的簡單而有效的方法，因此Pushover分析法為各國規(guī)范所接受，中國建筑結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)規(guī)范也引入了Pushover分析方法［1］。

Pushover分析方法中，側(cè)向荷載的分布模式直接影響分析結(jié)果，目前規(guī)范常用的側(cè)向荷載分布模式有均勻分布荷載、倒三角荷載、一階振型荷載等，已有研究結(jié)果表明采用上述水平側(cè)向力分布模式難以反映高階振型對結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的影 響［2－4］。Chopra等基于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)多自由度體系解耦的思想提出了模態(tài)Pushover分析法（MPA）［5］。MPA 法采用基于振型的側(cè)向加載模式，將多自由度體系的反應(yīng)等效為多個(gè)單自由度體系反應(yīng)結(jié)果的組合，考慮了高階振型的影響，與傳統(tǒng)的Pushover方法相比精度有所提高。以上Pushover分析方法大多是針對建筑結(jié)構(gòu)提出的，應(yīng)用于橋梁結(jié)構(gòu)的研究相對較少。由于橋梁結(jié)構(gòu)的非規(guī)則性及其自身特殊性而與一般建筑結(jié)構(gòu)有較大區(qū)別，因此有必要對Pushover方法在橋梁結(jié)構(gòu)上的應(yīng)用加以細(xì)致研究。而且對于橋梁中的高墩橋梁，由于墩高而使得高階振型的影響更明顯，因此MPA方法在高墩及高墩橋梁抗震性能評估中應(yīng)用的有效性有待研究［6］。

筆者基于MPA法的基本思路，并引入振型有效高度［7］的概念，提出了改進(jìn)的 MPA法（MMPA），通過計(jì)算各階振型的有效高度作為Pushover分析中的加載控制點(diǎn)，而傳統(tǒng)Pushover法是以結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)作為加載控制點(diǎn)。選取30、90m單墩作為研究對象，采用MMPA法、MPA法和FEMA建議的2種Pushover法進(jìn)行非線性靜力分析，并將分析結(jié)果與非線性時(shí)程分析結(jié)果相比較，以對非線性靜力分析法用于橋梁高墩抗震性能評估的有效性進(jìn)行研究。

1 MPA法及改進(jìn)的MPA法

MPA采用基于振型的側(cè)向加載模式，考慮了高階振型的影響，與傳統(tǒng)的Pushover方法相比精度有所提高，其基本實(shí)施步驟如下：

1）計(jì)算結(jié)構(gòu)彈性狀態(tài)下各振型的頻率ωn和振型向量φn；

2）對第n階模態(tài)，施加側(cè)向荷載s＊n＝mφn，（其中m為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣）得到Pushover能力曲線（底部剪力頂部位移曲線Vbnurn）；

3）對第n階模態(tài)，將能力曲線簡化為雙折線，如圖1（a）所示；

4）對第n階模態(tài)，用公式（其中，M＊n為等效振型質(zhì)量，φrn第n振型頂部振型值，為第n振型的振型參與系數(shù)）將簡化的能力曲線轉(zhuǎn)化為等效單自由度體系的Fsn／Ln－Dn關(guān)系曲線，如圖1（b）所示；

5）求解4）中等效單自由度體系的峰值位移響應(yīng)Dn（可采用非彈性反應(yīng)譜法或時(shí)程分析法）；

6）利用公式Urn＝ΓnφrnDn得到第n振型結(jié)構(gòu)頂部峰值位移響應(yīng)；

7）由Pushover分析結(jié)果得到第n振型的其它峰值反應(yīng)量rn；

8）對前N階振型（一般考慮振型質(zhì)量參與系數(shù)達(dá)到95%即可）重復(fù)步驟3）～7）得到相應(yīng)振型的各反應(yīng)量；

9）利用SRSS規(guī)則將各振型的相應(yīng)反應(yīng)量組合得到結(jié)構(gòu)的總反應(yīng)量。

圖1 第n振型等效單自由度體系能力曲線

在上述MPA方法計(jì)算步驟中，以結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)作為控制點(diǎn)，通過逐步增大側(cè)向荷載使結(jié)構(gòu)的頂部位移達(dá)到預(yù)定的目標(biāo)位移。由于高柔的橋墩在水平荷載作用下以彎曲型破壞為主，高階振型的影響較大，各振型均以結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)作為加載控制點(diǎn)，往往不能取得較好的分析效果。考慮到振型高度本質(zhì)上反映的是各振型對結(jié)構(gòu)總底部彎矩的貢獻(xiàn)，是以控制結(jié)構(gòu)底部總彎矩為依據(jù)［7］，因此以各振型的等效振型高度作為加載控制點(diǎn)，可以更為精確的模擬地震反應(yīng)的結(jié)果。

為此，在MPA法的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，引入有效振型高度的概念：

其中HEi為有效振型高度，是具有長度的量綱；｛h｝＝｛h1，h2，…，hn｝為各節(jié)點(diǎn)高度向量。在改進(jìn) MPA 法中，以各振型有效振型高度處的節(jié)點(diǎn)作為控制點(diǎn)，逐步增大側(cè)向荷載使控制點(diǎn)的位移達(dá)到預(yù)定的目標(biāo)位移。

為便于對比分析，另選取了FEMA－356建議2種類型的側(cè)向加載模式［8］，即基于基本振型的側(cè)向加載模式（1st）和均布側(cè)向加載模式（Uniform），與前述2種靜力非線性分析方法對比研究。

2 目標(biāo)位移的確定

Pushover方法是通過對結(jié)構(gòu)施加沿高度呈一定分布的水平單調(diào)遞增荷載來將結(jié)構(gòu)推至某一預(yù)定的目標(biāo)位移，來分析結(jié)構(gòu)的薄弱部位及其它非線性狀態(tài)的反應(yīng)，以判斷在未來可能地震作用下結(jié)構(gòu)及構(gòu)件的變形能力是否滿足設(shè)計(jì)及使用功能的要求。因此確定目標(biāo)位移是基于性能的抗震設(shè)計(jì)的關(guān)鍵之一。目前，計(jì)算結(jié)構(gòu)目標(biāo)位移的方法主要有能力譜方法和對多自由度體系或等效單自由度體系的彈塑性時(shí)程分析方法。而對于模態(tài)Pushover分析方法，需要確定結(jié)構(gòu)在各振型等效側(cè)向力作用下的目標(biāo)位移，筆者基于彈塑性時(shí)程分析，采用文獻(xiàn)［9］中的方法求解目標(biāo)位移。首先選取合適的地震波，計(jì)算結(jié)構(gòu)的彈塑性位移反應(yīng)，得到結(jié)構(gòu)控制點(diǎn)的水平位移向量時(shí)程。然后根據(jù)式（2）～（3）求得結(jié)構(gòu)第n階振型的目標(biāo)位移：

其中，ujn為第n振型j節(jié)點(diǎn)（改進(jìn)MPA方法中為有效振型高度處的控制節(jié)點(diǎn)）的目標(biāo)位移，ujn（t）為結(jié)構(gòu)j節(jié)點(diǎn)t時(shí)刻水平位移在第n振型上的分量，uj（t）為結(jié)構(gòu)j節(jié)點(diǎn)在t時(shí)刻的水平位移向量。

為了排除目標(biāo)位移不同帶來的計(jì)算誤差，F(xiàn)EMA－356建議的2種加載模式分析中，目標(biāo)位移取上述方法求得的結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)處各階振型目標(biāo)位移的SRSS組合。

3 計(jì)算模型

采用的計(jì)算模型為30m和90m2個(gè)單墩，分別作為中低墩和高墩的代表。墩底固結(jié)，墩身質(zhì)量集中在相應(yīng)節(jié)點(diǎn)上，與墩柱相鄰跨的上部結(jié)構(gòu)質(zhì)量M集中在墩頂處，其截面形式和基本參數(shù)見圖2。墩身采用彈塑性纖維梁柱單元模擬，其中混凝土纖維本構(gòu)模型采用Kent－Park模型［10］，其應(yīng)力 應(yīng)變關(guān)系如圖3所示。鋼筋纖維采用雙直線模型。單元沿墩高的劃分情況為：30m墩單元長度為1m，90m墩單元長度為2m。由彈性分析求得的單墩基本動(dòng)力參數(shù)及按等效振型高度確定的加載控制點(diǎn)位置見表1。

圖2 單墩模型及基本參數(shù)

表1 墩柱基本動(dòng)力參數(shù)

表2 地震波記錄

續(xù)表2

圖3 Kent－Park混凝土應(yīng)力 應(yīng)變關(guān)系曲線

非線性動(dòng)力時(shí)程分析共選用8條地震波，數(shù)據(jù)來源于美國太平洋地震工程研究中心（PEER）。為了保證結(jié)構(gòu)進(jìn)入屈服狀態(tài)，在進(jìn)行彈塑性分析時(shí)30m墩地震動(dòng)峰值加速度調(diào)整為0.5g，90m墩地震動(dòng)峰值加速度調(diào)整為1.0g。圖4為將地震波峰值加速度（PGA）統(tǒng)一調(diào)整至0.5g時(shí)的加速度譜。

圖4 地震波反應(yīng)譜及平均反應(yīng)譜

Pushover分析及非線性時(shí)程分析過程基于OpenSees（Open System for Earthquake Engineering Simulation）［11］軟件平臺(tái)，并采用 Tcl／Tk腳本語言編程后處理。

4 結(jié)果分析

由于地震動(dòng)的隨機(jī)性，單條波的對比分析并不能準(zhǔn)確說明計(jì)算結(jié)果的優(yōu)劣性，因此計(jì)算結(jié)果取為8條地震動(dòng)作用下的平均值。考察結(jié)構(gòu)的峰值位移響應(yīng)、峰值節(jié)點(diǎn)間位移角響應(yīng)及單元桿端峰值曲率響應(yīng)。其中節(jié)點(diǎn)間位移角為相鄰兩節(jié)點(diǎn)的水平位移差與節(jié)點(diǎn)高度差的比值：

式中，uj、ui分別為節(jié)點(diǎn)j、i在地震作用下的水平位移，Hj、Hi是節(jié)點(diǎn)j，i的高度。

4.1 峰值位移響應(yīng)評價(jià)

圖5為30m墩在0.1g、0.5g地震動(dòng)作用下，90m墩在0.1g、1.0g地震動(dòng)作用下時(shí)程分析和不同側(cè)向力加載模式Pushover分析所得節(jié)點(diǎn)峰值位移反應(yīng)及誤差對比。其中30m墩在0.1g地震動(dòng)作用下墩頂最大平均位移為3.7cm，結(jié)構(gòu)處于彈性階段；0.5g時(shí)墩頂最大平均位移為15.8cm，處于彈塑性階段。90m墩在0.1g地震動(dòng)作用下墩頂最大平均位移為3.7cm，結(jié)構(gòu)處于彈性階段；1.0g時(shí)墩頂最大平均位移為44.1cm，處于彈塑性階段。圖中，DHA、1st、Uniform、MPA、MMPA分別代表動(dòng)力時(shí)程推覆分析和基于基本振型的側(cè)向加載模式、均布側(cè)向加載模式的Pushover分析以及模態(tài)Pushover、改進(jìn)的模態(tài)Pushover分析方法得到的結(jié)構(gòu)反應(yīng)。

由圖5可知，對30m墩而言，當(dāng)?shù)卣饎?dòng)強(qiáng)度較小時(shí)，4種Pushover分析法的計(jì)算結(jié)果與時(shí)程分析法的誤差在3%以內(nèi)，精度較高；相對地，在結(jié)構(gòu)底部各節(jié)點(diǎn)處均布側(cè)向加載模式的計(jì)算誤差較大。MMPA法求得的30m墩頂部目標(biāo)峰值位移誤差略大于其它3種Pushover法的計(jì)算結(jié)果，其原因在于30m墩墩身質(zhì)量相比于墩頂質(zhì)量較小，地震反應(yīng)以一階振型為主，因而以頂點(diǎn)位移作為控制點(diǎn)的MPA方法或基于基本振型的側(cè)向加載模式已可得到較好的分析結(jié)果。而MMPA法第一振型的控制點(diǎn)位于28m高度處而非墩頂，由此會(huì)帶來一定的計(jì)算誤差，

此外，SRSS組合方式也可能是導(dǎo)致誤差過大的原因。可見，對于30m墩為代表的低墩，高階振型的影響并不明顯，因此在進(jìn)行非線性靜力分析時(shí)可采用基于基本振型的側(cè)向加載模式的Pushover的分析方法即可。

對于90m墩，由于MPA法和MMPA法考慮了高階振型的影響，其計(jì)算結(jié)果明顯優(yōu)于只考慮第一振型的1st加載模式和Uniform加載模式；當(dāng)?shù)卣饎?dòng)強(qiáng)度較大時(shí)，由于高階振型作用下形成的塑性鉸位于結(jié)構(gòu)的中上部［12］，分析過程中當(dāng)加載控制點(diǎn)位于結(jié)構(gòu)頂部時(shí)可能會(huì)因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)的屈服而低估高階振型對結(jié)構(gòu)反應(yīng)的貢獻(xiàn)，此時(shí)MPA法的改善效果已不明顯（圖5（h）），而 MMPA法按照等效振型高度確定加載控制點(diǎn)，控制點(diǎn)的高度隨振型而改變，避免了因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)屈服造成的低估高階振型貢獻(xiàn)的影響，因此MMPA法的計(jì)算結(jié)果較MPA法有較好的改進(jìn)。

圖5 單墩節(jié)點(diǎn)位移分布

4.2 峰值節(jié)點(diǎn)間位移角響應(yīng)評價(jià)

圖6為30m墩在0.1g、0.5g地震動(dòng)作用下，90m墩在0.1g、1.0g地震動(dòng)作用下時(shí)程分析和不同側(cè)向力加載模式下Pushover分析所得節(jié)點(diǎn)間位移角及誤差對比。

圖6 單墩節(jié)點(diǎn)間位移角分布

由圖6可知，節(jié)點(diǎn)間位移角誤差規(guī)律與位移反應(yīng)的誤差規(guī)律基本一致。即，對于低墩，地震反應(yīng)以一階振型為主，各種Pushover法的計(jì)算結(jié)果與時(shí)程分析較為接近；隨著墩高的增加，高階振型的貢獻(xiàn)的影響不能忽略，MPA法和MMPA法的計(jì)算結(jié)果明顯優(yōu)于其它Pushover分析法，而當(dāng)?shù)卣饎?dòng)強(qiáng)度較大時(shí)，MPA法低估了高階振型的影響，誤差較大。

4.3 單元桿端曲率響應(yīng)評價(jià)

圖7（a）～（f）為3 0、9 0m 墩在不同地震動(dòng)強(qiáng)度下截面曲率及誤差對比。對比圖5墩身節(jié)點(diǎn)位移和

圖7 單墩截面曲率分布

圖7的截面曲率分布，可發(fā)現(xiàn)對30m的低墩，截面曲率最大值一般位于墩低截面，而且墩頂最大位移與墩底最大曲率同步出現(xiàn)，二者之間一一對應(yīng)，因此將考察的重點(diǎn)放在靠近底部的各截面處。而高墩由于高階振型的貢獻(xiàn)增加及墩身質(zhì)量效應(yīng)的影響，墩身曲率分布呈較為復(fù)雜的高次曲線，在墩身中部也可能出現(xiàn)曲率較大的情況（圖7（e）、（f）說明了這一點(diǎn)）。已有研究也表明［13］，高墩的墩頂最大位移與墩底最大曲率常常會(huì)不同步出現(xiàn)，位移大時(shí)損傷不一定嚴(yán)重，對于高墩而言截面曲率比位移有更能體現(xiàn)結(jié)構(gòu)的性能。

由圖7（a）～（d）可知，除均布側(cè)向加載模式外，其它3種加載模式都能較為準(zhǔn)確的模擬墩低截面處的曲率，其誤差在5%以內(nèi)，這進(jìn)一步證明了前述結(jié)論。圖7（e）～（h）為90m墩pushover分析和時(shí)程分析墩身截面曲率及其誤差對比，由圖可知，MPA法和MMPA法的計(jì)算結(jié)果明顯優(yōu)于只考慮第一振型的一階加載模式和均布側(cè)向加載模式；當(dāng)?shù)卣饎?dòng)強(qiáng)度較大時(shí)，MMPA法能較好地改善底部截面的曲率誤差。

5 結(jié) 論

基于MPA法的基本思路并引入振型有效高度的概念提出了改進(jìn)的 MPA法（MMPA），以30、90 m單墩作為研究對象，采用MMPA法、MPA法和FEMA建議的2種Pushover法進(jìn)行非線性靜力分析，以節(jié)點(diǎn)位移、節(jié)點(diǎn)間位移角、截面曲率作為分析指標(biāo)，將分析結(jié)果與非線性時(shí)程推覆分析結(jié)果相比較。對4種Pushover分析法應(yīng)用于橋梁高墩性能評估有效性做了對比分析，得出以下結(jié)論：

1）以30m墩為代表的低墩，其地震反應(yīng)以一階振型為主，高階振型的影響不大，進(jìn)行非線性靜力分析時(shí)，采用基于基本振型的側(cè)向加載模式的Pushover分析法和MPA法均可得到較好的計(jì)算結(jié)果。

2）以90m墩為代表的高墩，其地震反應(yīng)受高階振型影響較大，只考慮第一振型的側(cè)向加載模式和均勻加載模式計(jì)算精度較差。而對于MPA法及MMPA法，當(dāng)?shù)卣饎?dòng)強(qiáng)度較小時(shí)，MPA法和MMPA法可以較好的改善計(jì)算結(jié)果。隨著地震動(dòng)強(qiáng)度的增大，結(jié)構(gòu)非線性程度增加，MPA法的改進(jìn)效果已不明顯，而MMPA法按照等效振型高度確定加載控制點(diǎn)，控制點(diǎn)的高度隨振型而改變，避免了因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)屈服造成的低估高階振型貢獻(xiàn)的影響，因此MMPA法的計(jì)算精度稍好于MPA法。

3）對于高墩而言，由于高階振型的貢獻(xiàn)增加及墩身質(zhì)量效應(yīng)的影響，分析的3個(gè)指標(biāo)中，截面曲率比位移更能體現(xiàn)結(jié)構(gòu)的性能。

在強(qiáng)震作用下，盡管MMPA法相對于MPA法有較好的改進(jìn)，但計(jì)算精度在降低，因此對于強(qiáng)震下的橋梁高墩抗震性能研究，宜采用動(dòng)力非線性分析法。筆者反對單墩進(jìn)行了研究，靜力非線性分析方法用于整橋模型的分析將是后續(xù)的研究重點(diǎn)。

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