謝映海，楊維，樊婷婷

(1.北京交通大學(xué) 軌道交通控制與安全國家重點實驗室，北京 100044；2.東南大學(xué) 移動通信國家重點實驗室，江蘇 南京 210096)

1 引言

小波分析[1～4]在數(shù)學(xué)理論和實際應(yīng)用中都有著十分重要的意義，特別是在信號處理領(lǐng)域上有著廣泛的應(yīng)用[5～10]。而在正交小波基礎(chǔ)上CHUI C K等[4]提出了最小能量（小波）框架的概念并研究了其性質(zhì)，它既可以利用小波理論對信號進行時頻分析和處理，又克服了正交小波不能同時具備光滑性、緊支性、和對稱性的缺點，在信號處理領(lǐng)域上有著良好的應(yīng)用前景。

雖然從信息論角度出發(fā)，對連續(xù)信號進行離散化處理不可能取得比直接處理更好的結(jié)果。但隨著相關(guān)技術(shù)的不斷發(fā)展，數(shù)字信號處理技術(shù)漸漸在穩(wěn)定性，可程控性，集成規(guī)模等方面都比模擬信號處理有著較大優(yōu)勢，因此連續(xù)信號的離散化處理是信號處理領(lǐng)域中的一個總趨勢。

目前關(guān)于小波理論的研究大部分集中在連續(xù)信號空間上，為了把相關(guān)理論擴展至離散信號處理領(lǐng)域，謝映海等[11]在連續(xù)信號空間的最小能量框架基礎(chǔ)上，首次給出離散信號空間上的最小能量框架的定義，并證明了它所具備的一些和連續(xù)信號空間上的最小能量框架相類似的優(yōu)良性質(zhì)；該文獻還針對數(shù)字通信系統(tǒng)中用來攜帶數(shù)字信息的矩形脈沖信號展開了去噪算法的研究，并獲得了較好的處理效果。

與矩形脈沖信號相比，升余弦脈沖信號的功率密度譜雖然具有較寬的主瓣，但拖尾衰減速度要快很多，在應(yīng)用中具有更高的實用價值。因此本文將在文獻[11]的基礎(chǔ)上，利用離散信號空間上的最小能量框架進一步對這種類型的信號展開去噪算法的研究。對于所挑選的2組不同的最小能量框架，詳細地分析了抽樣離散化后的升余弦脈沖信號數(shù)列和加性高斯噪聲數(shù)列在這2組框架的各個子數(shù)列下的分解系數(shù)的各自統(tǒng)計特征，并根據(jù)它們呈現(xiàn)出來的明顯差異和閾值去噪算法的思想[12,13]，分別給出了其對應(yīng)的去噪算法。

比起傳統(tǒng)的直接對連續(xù)信號波形進行處理的D4單小波閾值去噪算法[12]，這2個去噪算法的本質(zhì)都是連續(xù)接收信號的離散抽樣信號進行分解，然后對分解子數(shù)列進行一定的去噪處理后再重構(gòu)信號。使用具有一定冗余性的最小能量框架數(shù)列變換算法可以減少誤差，提高重構(gòu)精度，同時算法更有利于分離接收信號中的原始信號成分和噪聲成分，從而獲得比傳統(tǒng)的不具冗余性的正交小波變換算法更好的去噪效果。由于充分利用了接收信號的先驗信息，本文提出的對接收信號的抽樣離散序列進行去噪處理可以有效提高接收信號的輸出信噪比。而系統(tǒng)如果在接收機上增加了這樣的一個信號去噪的預(yù)處理環(huán)節(jié)，可以大幅度降低噪聲影響，減少解調(diào)的誤碼率，獲得較大的性能增益。理論分析和仿真結(jié)果表明，當(dāng)調(diào)制方式為BPSK且升余弦脈沖信號受加性高斯白噪聲的影響時，2個去噪算法在誤碼率上可以分別獲得約3.1dB和2.7dB左右的性能增益。

2 離散信號空間上的最小能量框架的基礎(chǔ)知識

本節(jié)主要介紹一下框架和文獻[11]給出的離散信號空間上的最小能量框架的一些基本性質(zhì)。

定義1 設(shè){xj:j∈J}是希爾伯特空間H上的一組元素，如果對于任意的元素f∈H，存在正數(shù)λ1和λ2，有

則稱{xj:j∈J}是H上的一個框架，λ1，λ2分別稱為框架的下、上框架界。而如果λ1=λ2=1，則稱框架是一個Parseval框架。而對于一個Parseval框架，有下列通用的分解和重構(gòu)公式：

定義2 設(shè)數(shù)列p[k]∈?2是一個數(shù)字低通濾波器的單位抽樣響應(yīng)，如果一數(shù)列組i=1,2,…,N對所有的整數(shù)j和l滿足下列條件：

最小能量框架不但可以使用Parseval框架的分解和重構(gòu)公式，而且也可以使用小波理論中特有的塔式分解和重構(gòu)算法，這為它們在離散信號上的廣泛應(yīng)用奠定了堅實的基礎(chǔ)。

其重構(gòu)算法如下：

及滿足分解前后的能量不變性等式：

注：由于可以利用分解公式對數(shù)列進行逐層分解，因此數(shù)列[1,]jkc+的下標第一個表示層數(shù)，第二個表示整數(shù)軸。

比起其他Parseval框架，離散信號空間上的最小能量框架的一個優(yōu)點就在于它可以使用塔式分解和重構(gòu)算法。從時域上看，塔式分解公式時可以看作是對離散信號在不同尺度下進行逐層分解，通過分析各層的分解子信號的性質(zhì)來研究信號本身整體和局部的一些特征；從頻域上看，由于存在明確的重構(gòu)公式，最小能量框架可以看作是一個可準確重建，由1N+個單位抽樣響應(yīng)分別為[]kp和:i=1,2,…,N 的數(shù)字濾波器組成的濾波器組，可從多個不同頻帶上對信號頻譜信息進行分析處理。

3 離散信號空間上的最小能量框架在升余弦脈沖信號上的去噪應(yīng)用

在數(shù)字通信領(lǐng)域，脈沖寬度為T的矩形脈沖信號g1( t)=A(0≤t≤T )和升余弦脈沖信號是發(fā)射機比較常用的2種用來攜帶數(shù)字信息的基本信號類型。在頻譜方面，升余弦脈沖信號的譜函數(shù)雖然要比矩形脈沖信號的譜函數(shù)具有更寬的的主瓣，但拖尾的衰減速度無疑要快很多，因此具有更高的實用價值。

任何形式的信號在傳輸過程中不可避免的都會受到各種噪聲的污染，因此信號去噪一直是信號處理領(lǐng)域中的一個研究熱點。對采用升余弦脈沖的BPSK基帶信號s(t)而言，如果傳輸信道為加性高斯白噪聲信道，不失一般性，發(fā)送功率歸一化后接收信號r(t)可以表示為

其中，±分別代表數(shù)字信息0和1，u(t)是功率密度譜為2δ的高斯白噪聲的樣本函數(shù)。而檢測器將根據(jù)輸出向量的正負性來判決接收信號上的所攜帶的數(shù)字信息。

從頻帶角度上看，雖然接收信號受到了加性高斯白噪聲的污染，其在整個頻率范圍內(nèi)都具有平坦的功率密度譜，但假定接收端的信號和噪聲通過了一個理想的，帶寬足夠大的帶通濾波器，使得接收信號是一個帶限隨機信號。因此接收信號可以用一個非唯一，抽樣速率不低于其奈奎斯特速率的數(shù)字序列r[n]=s[n]+u[n]來表示。利用式（4）對r[n]進行分解，有

對于式(8)，從頻域上看，各個子數(shù)列代表著接收信號數(shù)列通過不同濾波器后的濾波結(jié)果，因此濾波器如果具有線性相位，即框架實系數(shù)p[k]和(i=1,2,…,N)是中心對稱的或反對稱的，重構(gòu)過程就可以避免失真；而從時域上看，各個子數(shù)列代表著了對接收信號的局部信號數(shù)列進行不同線性加權(quán)的結(jié)果。不同于一個波形周期內(nèi)矩形脈沖信號的恒幅度，升余弦脈沖信號的幅度是不斷變化的，因此如果系數(shù)p[k]和的長度較長，將使得加權(quán)過程所涉及到局部信號數(shù)過多，信號之間的相關(guān)性下降，導(dǎo)致分解效果降低，同時也大大提高了分解和重構(gòu)算法的計算復(fù)雜度。出于這種考慮，本文從眾多已經(jīng)構(gòu)造出來的最小能量框架中選用了下列2組[4]：

注：數(shù)列上的黑點表示零點位置。

應(yīng)用離散信號空間上最小能量框架進行去噪的理論基礎(chǔ)就是先分析發(fā)送信號數(shù)列s[n]和噪聲數(shù)列u[n]在框架的各個子數(shù)列下的分解系數(shù)的不同統(tǒng)計特征，再根據(jù)這些特征的差異性制定一個具體算法來對其接收信號的分解系數(shù)進行修正后重構(gòu)信號，從而去除噪聲的部分影響，盡量恢復(fù)原始信號。下面將基于上述2組最小能量框架分別給出其對應(yīng)的去噪算法。

3.1 基于式(9)的閾值去噪算法Ⅰ

接著產(chǎn)生一個長度為100，均值為0，方差為1高斯噪聲序列u[n]，同樣對其進行分解，也產(chǎn)生了3個點數(shù)為50的子數(shù)列，即和，具體情況如圖2所示。

比較圖1和圖2，可以清楚看出對s[n]而言，其子數(shù)列 c[n]基本反映s[n]的基本細節(jié)部分，承載了信號的大部分信息和能量，而d[n]，e[n]則都代表s[n]的高頻部分，2個子數(shù)列的絕對值大小和數(shù)列c[n]相比較，幾乎可以忽略不計；對高斯噪聲數(shù)列u[n]而言，由于其各點之間的不相關(guān)性，3個子數(shù)列的值仍然都表現(xiàn)出高斯噪聲的統(tǒng)計特征，且噪聲信號的能量均勻的分布在3個子數(shù)列上。而且在這組框架下，其他均值為 0，任意方差的高斯噪聲序列的分解子數(shù)列也均表現(xiàn)出了這種統(tǒng)計特性。

圖1 升余弦脈沖信號抽樣數(shù)列在式(9)下的分解

圖2 高斯白噪聲抽樣數(shù)列在式(9)下的分解

基于圖1和圖2的結(jié)果，在制定去噪算法時需要針對不同的子數(shù)列采用了不同的策略，以盡量保持原始信號成分和最大化地去除噪聲影響，達到最佳的去噪效果。對于加性高斯白噪聲，有如下的硬閾值函數(shù)[12,13]：

其中，ε是閾值，x是分解系數(shù)。

根據(jù)上述分析，在數(shù)字通信系統(tǒng)的接收機端增加了一個信號去噪的預(yù)處理環(huán)節(jié)，在解調(diào)器對受加性高斯白噪聲污染的二進制升余弦脈沖信號進行解調(diào)之前進行信號去噪的預(yù)處理工作，其相關(guān)過程具體描述如下。

1) 原始設(shè)定：脈沖寬度為Tss，歸一化后發(fā)射功率恒定為1，且升余弦脈沖波形在信道傳輸過程中受到均值為0，方差為2δ的加性高斯白噪聲的影響。兩端同步后接收機對每個接收波形r(t), NTs≤t≤(N+1)Ts, N=0,1,…進行抽樣間隔為Ts/100的等距抽樣且得到離散信號數(shù)列r[n]。

2) 信號預(yù)處理環(huán)節(jié)：

① 分解：

其中，p[k],,數(shù)值如式（9）所示。

② 去噪：對分解系數(shù)數(shù)列d[n]、e[n]、dc[n]和ec[n]而言，設(shè)定其閾值大小依次為εd=2.6× 10-2、εe=5.7× 10-4、εdc=1.8× 10-2和εec=4.0× 10-4。采用式（11）的硬閾值函數(shù)，即凡是絕對值小于這個閾值的點全部置零，依次得到4個新數(shù)列、、和。

③ 重構(gòu)：利用重構(gòu)式(6)對數(shù)列cc[n]、和進行重構(gòu)得到一個新數(shù)列，再利用重構(gòu)公式對數(shù)列、和進行重構(gòu)得到去噪后的新信號，根據(jù)抽樣定理的重構(gòu)公式，使用序列進行重構(gòu)且得到信號波形( t)。

3.2 基于式(10)的閾值去噪算法Ⅱ

圖3 升余弦脈沖信號抽樣數(shù)列在式(10)下的分解

接著產(chǎn)生一個長度為100，均值為0，方差為1高斯噪聲序列[n]，同樣對其進行分解，也產(chǎn)生了4個點數(shù)為50的子數(shù)列，即、和，具體情況如圖4所示。

圖4 高斯白噪聲抽樣數(shù)列在式(10)下的分解

根據(jù)上述分析，同樣增加信號去噪的預(yù)處理環(huán)節(jié)，過程具體描述如下：

2) 信號預(yù)處理環(huán)節(jié)：

①分解：

③ 重構(gòu)：利用重構(gòu)式(5)對處理后數(shù)列進行逐層重構(gòu)，最終得到去噪后的新信號，根據(jù)抽樣定理的重構(gòu)公式，使用序列進行重構(gòu)且得到信號波形(t)。

最后解釋一下閾值及分解層數(shù)的設(shè)定問題：分析文獻[11]給出的關(guān)于矩形脈沖信號和高斯噪聲的分解效果圖可知，由于矩形脈沖的幅度恒定，因此在分解時其原始信號能量將絕大部分集中于第一個分解子數(shù)列中，因此閾值僅僅設(shè)定了一個；而升余弦信號由于幅度是變化的，因此原始信號能量的分布相對分散一些，因此需要針對不同子數(shù)列設(shè)定不同閾值。本文把閾值都設(shè)定在分解后各自子數(shù)列的最大絕對值上，這樣就可以在不損害原始信號成分的前提下盡量去除噪聲成分。而部分數(shù)列因為絕對值太小，為降低去噪算法的復(fù)雜度，因此在基本不影響效果的情況下就把它們直接置零處理；而在分解層數(shù)的選擇上，我們注意到，原始信號成分和噪聲成分得以分離的一個原因是由于信號數(shù)列值之間的局部較強相關(guān)性和噪聲數(shù)列值之間的不相關(guān)性，但隨著分解的進行，這兩者都會受到一定的破壞。相關(guān)研究表明，當(dāng)分解層數(shù)大于2后，就基本上再難以分離原始信號成分與噪聲成分，因此這里把分解層數(shù)設(shè)定為2。

4 仿真結(jié)果

上節(jié)給出的2個去噪算法都充分利用了信號的先驗信息，分析了原始信號和噪聲的分解子序列的各自統(tǒng)計特性，去噪時通過使用合適的閾值和直接歸零的方法，最大化去除噪聲對信號影響。以式（9）的去噪算法為例，圖5給出了其處理信號過程。

圖5 式(9)的去噪預(yù)處理環(huán)節(jié)

這里通過計算機仿真來驗證這套算法的具體去噪效果，設(shè)發(fā)射機采用BPSK調(diào)制方式且采用脈沖寬度為1單位時間，發(fā)射功率為1的升余弦脈沖信號，信號s(t)在傳輸過程中受功率密度譜為2δ的高斯白噪聲的污染。

信號s(t)一共包含了610個脈沖信號，兩端同步后接收機對接收波形 r(t)進行抽樣間隔為0.01的等距抽樣且得到離散信號數(shù)列 r[n]。利用上節(jié)給出的 2個去噪算法逐個對接收信號的每100個點的抽樣數(shù)列進行去噪，處理后分別得到新信號r1[n]和r2[n]，把這 2個離散信號分別進行數(shù)模轉(zhuǎn)換，最終得到了預(yù)處理后的模擬信號r1(t) 和r2(t) 。為更好地評價效果，這里也利用直接對連續(xù)信號波形進行處理的 D4單小波閾值去噪算法對接收波形 r(t)進行去噪處理，得到了信號r3(t)。假定接收信號的去噪過程都是在一個叫“去噪器”的黑箱子中完成的，則其輸入信號的信噪比和使用不同去噪算法去噪后的3個輸出信號的信噪比之間的關(guān)系曲線如圖 6所示。

圖6 不同去噪算法的去噪效果

離散空間上的最小能量框架在對接收信號的抽樣數(shù)列進行分解時，去噪算法可以把把被污染的信號分解到多個子帶上，在充分利用先驗信息的情況，可以有效分離和去除噪聲成分，因此利用式(9)和式(10)的最小能量框架都可以取得較好的去噪效果，且其效果明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的D4小波去噪算法。觀察圖6的結(jié)果，可以清楚看出對于受到加性高斯白噪聲影響的二進制升余弦脈沖信號，去噪后部分噪聲能量從接收信號中被去除，從而使得處理后的信號的信噪比獲得提升。不管噪聲功率密度譜的大小，D4小波去噪算法可以獲得 1.8dB左右的信噪比指標提升，基于式(11)的去噪算法的提升幅度為2.7dB左右，而基于式(10)的去噪算法的性能更好一些，提升幅度為3.1dB左右。究其原因，D4小波去噪時把信號分解成2個子數(shù)列時，原始信號成分和噪聲成分的分離程度明顯劣于后面兩者，因此去噪效果要差一些。而觀察圖1～圖4可以看出，式(9)分解時原始抽樣信號的能量絕大部分都集中在第 1個子數(shù)列上，而式(10)分解時原始信號的能量雖然大部分集中在第1個子數(shù)列，但第3和第 4個子數(shù)列上也占據(jù)了一定的份額，在噪聲能量在2個框架上分解時都是均勻分布的情況下，顯然式(9)的閾值去噪效果會比式(10)要好一些。

由此可見，如果接收機增加了一個簡單的預(yù)處理環(huán)節(jié)，在發(fā)射功率沒有提高的情況下，進入解調(diào)檢測環(huán)節(jié)的信號的信噪比可以大幅度提高，有效降低了信息傳輸?shù)恼`碼率，從而提高通信系統(tǒng)的整體性能。

5 結(jié)束語

本文利用了2個不同的離散信號空間上最小能量框架對升余弦脈沖信號展開去噪算法的研究。結(jié)果表明，如果利用本文所提供的2個去噪算法，在接收機端增加一個簡單的去噪預(yù)處理環(huán)節(jié)，則可以改善數(shù)字通信系統(tǒng)的性能，獲得了較大的性能增益。這些工作和仿真結(jié)果表明離散信號空間上的最小能量框架在信號去噪領(lǐng)域上具備很好的應(yīng)用前景，值得做進一步深入研究。

[1] DAUBECHIES I. Orthonormal bases of compactly supported wavelets[J]. Comm Pure Appl Math, 1998,41(7):909-996.

[2] CHUI C K. An Introduction to Wavelets[M]. Boston: Academic Press,1992.

[3] DAUBECHIES I. Ten Lectures on Wavelets[M]. Philadelphia, 1992.

[4] CHUI C K, HE W. Compactly supported tight frames associated with refinables functions[J].Appl Comp Harm Anal, 2000, 8(3):293-319.

[5] SHEN L X, MANOS P, IOANNIS A K.Image denoising using a tight frame[J]. IEEE Transactions on Image Processing, 2006,15(5):309-319.

[6] 陳世國, 吉世印, 劉萬松等. 基于小波分析的指數(shù)衰減信號高斯脈沖成形[J]. 物理學(xué)報, 2008,57(5):3041-3046.CHEN S G, JI S Y, LIU W S, et al. Gaussian pulse shaping of exponential decay signal based on wavelet analysis[J]. Acta Physica Sinica,2008,57(5):3041-3046.

[7] 趙文山, 何怡剛. 一種改進的開關(guān)電流濾波器實現(xiàn)小波變換的方法[J]. 物理學(xué)報, 2008,58(2):843-848.ZHAO W S, HE Y G. An improved method for implementation of wavelet transform utilizing switched-current filters[J]. Acta Physica Sinica, 2009, 58(2): 843-848.

[8] 張煜東, 吳樂南. 基于分割的彩色圖像編碼[J]. 中國科學(xué) F輯,2009, 39(4):405-415.ZHANG Y D, WU L N. Color image coding based segmentation[J].Scientia Sinica Informations, 2009, 39(4): 405-415.

[9] 趙瑞珍, 劉曉宇, LI C C. 基于稀疏表示的小波去噪[J]. 中國科學(xué)E輯, 2010, 40(1): 33-40.ZHAO R Z, LIU X Y, LI C C. Wavelet de-noising based on sparse representation[J]. Science in China, Series E, Information Sciences, 2010, 40(1): 33-40.

[10] 羅向陽，劉粉林，楊春芳．基于最優(yōu)小波包分解的圖像隱寫通用檢測[J]. 中國科學(xué)E輯, 2010, 40(2):327-339.LUO X Y, LIU F L, YANG C F. Best wavelet packet decomposition based image steganography detection of common[J]. Science in China,Series E, Information Sciences, 2010, 40(2):327-339.

[11] 謝映海, 楊維, 張玉. 離散空間上的最小能量框架及其在矩陣脈沖信號去噪中的應(yīng)用研究[J]. 物理學(xué)報, 2010, 59(11): 722-731.XIE Y H, YAGN W, ZHANG Y. Minimum-energy frame of discrete signal space and its denoising application to rectangular pulse signal[J].Acta Physica Sinica, 2010, 59(11): 722-731.

[12] MALLAT S．A Wavelet Tour of Signal Processing[M]. Beijing: China Machine Press, 2010.

[13] DONOHO D. De-noising by soft thresholding[J]．IEEE Trans Inf Theory, 1995, 41(3):613-627.