申朝文，禹思敏

(①廣東工業(yè)大學(xué) 自動化學(xué)院，廣東 廣州 510006；②仲愷農(nóng)業(yè)工程學(xué)院 信息學(xué)院，廣東 廣州 510225)

0 引言

近年來，隨著混沌系統(tǒng)理論的不斷完善，越來越多的研究表明，超混沌系統(tǒng)與一般混沌系統(tǒng)相比具有更為復(fù)雜的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和動力學(xué)行為，它能在混沌保密通信和混沌信息加密上提供更為可靠的保證，具有較好的工程應(yīng)用前景。因此，越來越多的研究者在現(xiàn)有混沌系統(tǒng)上進(jìn)行改造，提出了一系列的超混沌系統(tǒng)[1-5]，以及如何構(gòu)建超混沌系統(tǒng)的方法?？梢妼Τ煦绲难芯恳呀?jīng)成為了混沌應(yīng)用領(lǐng)域中一個重要的研究熱點。

1 新的四維超混沌系統(tǒng)

文獻(xiàn)[6]給出了一個新的三維二次多項式自治系統(tǒng)，其無量綱方程為：

當(dāng)a=20，b=5，c=10，d=7時，系統(tǒng)(1)處于混沌狀態(tài)。3個Lyapunov指數(shù)分別為：，系統(tǒng)的3個平衡點為：平衡點O的特征值為：= 10,= 10,= -5，平衡點 E1和 E2處的特征值為=-1 8.2601，=-1.63±10.3379i。因此，系統(tǒng)(1)具有一個鞍點和兩個穩(wěn)定的鞍焦平衡點。

要產(chǎn)生超混沌系統(tǒng)必須滿足兩個必要條件：①對于自治系統(tǒng)而言，至少是四維；②至少有兩個正的Lyapunov指數(shù)且所有Lyapunov指數(shù)之和小于零。根據(jù)以上兩個條件，在系統(tǒng)(1)的基礎(chǔ)上引入一個反饋控制器u，令u的變化速率為d/dueyτ=-，并把控制器u反饋到系統(tǒng)(1)的第二個方程中，構(gòu)造出一個可產(chǎn)生超混沌現(xiàn)象的四維自治系統(tǒng)，其狀態(tài)方程為

當(dāng) a = 20，b =5，c = 10，d =7，e = 13.5，系統(tǒng)(2)的4個 Lyapunov指數(shù)分別為=2.2259，=0.2069，=0，=-34.9259，有兩個正的Lyapunov指數(shù)，系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)，對應(yīng)的幾個典型的超混沌吸引子相圖如圖1所示。

圖1 超混沌吸引子相圖

2 新超混沌系統(tǒng)的動力學(xué)分析

2.1 系統(tǒng)的耗散性

2.2 平衡點分析

令 系 統(tǒng)(2)的 每 一 個 方 程dx/dτ =dy/dτ =得系統(tǒng)平衡狀態(tài)方程為：

由式(3)計算得，系統(tǒng)(2)有唯一平衡點)0000(，，，O，它與系統(tǒng)參數(shù)的取值無關(guān)，在平衡點O處線性化系統(tǒng)(2)，得到對應(yīng)的Jacobian矩陣為：

取系統(tǒng)(2)參數(shù) a = 5 0,b = 7 .5,c = 2 5,d = 7 .5,e =13.5時，計算出平衡點O處的特征值為= 0.5522，= 24.4478，=-50，= -7.5，因此O是一個不穩(wěn)定的鞍點。

2.3 Lyapunov指數(shù)譜圖與分岔圖分析

隨著系統(tǒng)參數(shù)的改變，系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性將會發(fā)生變化，從而系統(tǒng)也將處于不同的狀態(tài)。固定參數(shù) a =50， b=7.5，c=25，d =7.5，使參數(shù)e在(0，90]之間變化，系統(tǒng)初始值取(1，2，500，4)，隨參數(shù)e變化的Lyapunov指數(shù)譜和變量x的分岔圖分別如圖2和圖3所示。需要說明，圖2中并未給出始終處于最大負(fù)值的Lyapunov指數(shù)。

從圖2可以看出，當(dāng)e∈(0，0.3)時，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)都小于或等于零，系統(tǒng)處在周期態(tài)或擬周期態(tài)。e ∈ [0 .3，0.7)時，系統(tǒng)存在一個正的Lyapunov指數(shù)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)；而e∈[0.7，50.4]時，系統(tǒng)有兩個正的 Lyapunov指數(shù)，系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)。當(dāng)e∈(5 0.4，74.3]時，系統(tǒng)至少有一個正的Lyapunov指數(shù)，系統(tǒng)在混沌態(tài)和超混沌態(tài)來回轉(zhuǎn)換，形成復(fù)雜的動力學(xué)行為。當(dāng) e ∈(7 4.3，79.7]時，系統(tǒng)有一個正的Lyapunov指數(shù)或者最大的Lyapunov指數(shù)為零，系統(tǒng)處在混沌態(tài)或復(fù)雜周期態(tài)。當(dāng)e∈(79.7，90]時，系統(tǒng)處在擬周期態(tài)或周期態(tài)。隨著e的繼續(xù)增加，最大Lyapunov指數(shù)趨近于零，意味著系統(tǒng)的解最終演化為一個周期軌。

圖2 Lyapunov指數(shù)譜

圖3 系統(tǒng)分岔

3 超混沌系統(tǒng)的電路設(shè)計與實現(xiàn)

根據(jù)式(2)設(shè)計實現(xiàn)該四維超混沌系統(tǒng)功能的實際電路[7-8]，采用線性電阻，線性電容，運算放大器為AD712，由于系統(tǒng)存在非線性項，可選用乘法器AD633實現(xiàn)。必須注意的是，變量 x , y ,z,u各自的動態(tài)范圍大約[-4000,4000],[-1 00,100],[100,3200],[-2 50,320]。遠(yuǎn)大于運算放大器的飽和電壓，故必須進(jìn)行變量比例壓縮變換，才便于電路實現(xiàn)。對系統(tǒng)(2)進(jìn)行非均勻變量比例壓縮變換，令x, y ,z,u 壓縮到原來的 1 / 1000，1/20，1/1000，1/100，由于系統(tǒng)變量的變換不影響系統(tǒng)的狀態(tài)及性能，從而系統(tǒng)(2)可變?yōu)椋簩?shù) a =50， b=7.5，c=25，d =7.5,e =13.5代入式(5)，并作時間尺度變換，令 τ =，= 100，得：

對式(6)進(jìn)行模塊化電路設(shè)計，如圖4所示。

圖4 超混沌電路設(shè)計

電路的狀態(tài)方程為：

圖5 電路實現(xiàn)超混沌吸引子相圖

4 結(jié)語

通過對一個三維二次自治系統(tǒng)中引入一個變量反饋控制器，構(gòu)造出一個新的超混沌系統(tǒng)，對系統(tǒng)的動力學(xué)特性進(jìn)行了相關(guān)的理論分析與數(shù)值仿真，可以得出該系統(tǒng)與其他超混沌系統(tǒng)相比[9-10]，具有較大的正李雅普諾夫指數(shù)，且在較廣的動態(tài)參數(shù)范圍內(nèi)存在超混沌軌道。最后設(shè)計并實現(xiàn)了該超混沌系統(tǒng)的硬件電路，給出了相關(guān)電路的實驗結(jié)果，證實該超混沌系統(tǒng)具有較為復(fù)雜的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，在混沌保密通信等領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用前景。

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