張振鋒

（鹽城紡織職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 鹽城224005）

激勵合約優(yōu)化模型的研究一般采用解析的、定性的方法進(jìn)行分析[1]。但這種分析方法不僅導(dǎo)致激勵合約優(yōu)化模型在實際應(yīng)用受到限制，也使得理論本身的發(fā)展受到限制。其原因主要有兩方面，其一是模型所包含的效用函數(shù)難以用解析函數(shù)定量表達(dá)，造成整個模型難以作定量分析；其二是解析分析方法在對具有效用函數(shù)求導(dǎo)的梯度法的優(yōu)化模型求解時難以施展。由于支持向量回歸機(jī)在各領(lǐng)域得到成功的應(yīng)用[2]，所以用支持向量回歸機(jī)對效用函數(shù)建模，解決信號傳遞優(yōu)化模型的量化表達(dá)問題，進(jìn)而對信號傳遞優(yōu)化模型作量化分析。

本文研究用SVR解決信號傳遞優(yōu)化模型Ⅱ的定量表達(dá)和分析問題，并與已有的解析分析方法相結(jié)合，利用SVR對效用函數(shù)進(jìn)行建模，從而解決效用函數(shù)的表達(dá)問題。同時利用梯度法求解優(yōu)化模型，從而解決傳統(tǒng)解析方法無法解決的優(yōu)化模型的量化分析問題。在用支持向量回歸機(jī)對效用函數(shù)建模的基礎(chǔ)上，本文推導(dǎo)出了提供生產(chǎn)率高、工作繁重的合約和提供生產(chǎn)率低、工作輕松的合約的委托人通過其設(shè)計的合約向代理人傳遞信息的信號傳遞模型的梯度表達(dá)式，并給出了相應(yīng)的梯度法迭代算法。利用這一算法進(jìn)行數(shù)值計算和量化分析，觀察上述信號傳遞模型中參數(shù)變化對合約均衡點變化趨勢的影響。

1 SVR與效用函數(shù)建模[3]

解決效用函數(shù)的定量描述問題是對激勵合約優(yōu)化模型定量計算的關(guān)鍵。而用SVR對效用函數(shù)建模又是解決效用函數(shù)的定量描述問題的關(guān)鍵。

1.1 支持向量回歸機(jī)SVR

對小樣本點集回歸得到其隱含的函數(shù)關(guān)系的方法較多，目前比較成功的方法是利用支持向量回歸機(jī)SVR?？紤]用線性函數(shù) f(x)=〈w，x〉+b逼近樣本數(shù)據(jù)集 D={(x1，y1)，…，(xl，yl)}(x∈Rn，y∈R)的問題。 從結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化思想出發(fā)，則其最優(yōu)回歸函數(shù)的優(yōu)化模型為：

1.2 效用函數(shù)的SVR建模

效用函數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中指消費者在消費某種商品過程中所得到的滿足感。在激勵合約中指對獲取收益的滿足感。效用函數(shù)帶有很強(qiáng)的主觀色彩，實際中由小樣本點集隱含。本文利用SVR對效用函數(shù)建模作量化描述，即用SVR表達(dá)效用函數(shù)。首先利用所收集到的效用函數(shù)的樣本集訓(xùn)練SVR，使其得到有關(guān)知識，這實際上是樣本點隱含的函數(shù)關(guān)系在各個神經(jīng)元上的權(quán)值。在SVR得到這組權(quán)值之后，就可以用來表達(dá)由樣本點隱含的函數(shù)關(guān)系，即對于所給定的自變量，可以通過訓(xùn)練后的SVR定量確定效用函數(shù)的值。在用SVR表達(dá)效用函數(shù)的基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步定量計算相關(guān)的積分和導(dǎo)數(shù)。激勵合約研究的是簽約雙方同為風(fēng)險規(guī)避類型（至少是風(fēng)險中性）的效用函數(shù)的情形。當(dāng)效用函數(shù)是風(fēng)險中性時，用一線性函數(shù)即可表達(dá)；而當(dāng)取效用函數(shù)為風(fēng)險規(guī)避類型時，可以用SVR來表達(dá)。用SVR表達(dá)的效用函數(shù)的基本表達(dá)式為：

其中svr(x)的曲線形狀如圖1所示（通過對實際樣本點的訓(xùn)練回歸而得）。仿真時，可以在效用函數(shù)的基本表達(dá)式中引入兩個參數(shù)a和b，使效用函數(shù)具有如下形式：u(x)=af(bx)，通過調(diào)節(jié)a和b即可對效用函數(shù)進(jìn)行微調(diào)。

2 信號傳遞優(yōu)化模型Ⅱ及其梯度法求解[5]

2.1 信號傳遞優(yōu)化模型Ⅱ[1]

激勵合約的信號傳遞優(yōu)化模型Ⅱ可以形式化地表示為約束最值問題。典型的信號傳遞激勵合約模型Ⅱ是：委托人達(dá)到效用最大化時，委托人通過激勵合約向代理人傳遞其特征信號的優(yōu)化模型。其求解的實際含義是指，提供生產(chǎn)率低、工作輕松的合約(wl，el)的 l型委托人和提供生產(chǎn)率高、工作繁重的合約(wk，ek)的 k型委托人分別設(shè)計合約，l型委托人通過合約向代理人傳遞特征信息以使代理人選擇其設(shè)計的合約，k型委托人不需要向代理人傳遞信息便能使代理人選擇其設(shè)計的合約。模型Ⅱ要解決的問題是，在代理人不知委托人是l型還是k型的情況下，l型委托人應(yīng)該如何設(shè)計合約向代理人傳遞信息，以使得不情愿努力的代理人選擇生產(chǎn)率低、工作輕松的合約(wl，el)，同時使得委托人預(yù)期效用最大。

模型Ⅱ由式(3)～式(5)組成：k型委托人、l型委托人的合約模型：

調(diào)整后l型委托人的合約模型：

其中：k為生產(chǎn)效率，在模型中，k值相對小時，為 l型委托人模型，k值相對較大時，為k型委托人模型；wk、wl、ek、el分別為代理人選擇合約(wk，ek)和(wl，el)所獲得的工資和所付出的努力程度；∏(ek)、∏(el)分別為提供合約(wk，ek)的 k型委托人和提供合約(wl，el)的 l型委托人所獲得的收益；ek*、wk*分別為k型委托人所求得的努力和所支付給代理人的工資；u(·)是代理人對于工資收入的效用函數(shù)；v(·)是代理人關(guān)于付出努力的效用函數(shù)，為線性函數(shù)；U是代理人的某個預(yù)定效用值。

2.2 信號傳遞優(yōu)化模型Ⅱ的梯度法求解[5]

2.2.1 目標(biāo)函數(shù)最值的梯度法求解

函數(shù)的梯度方向是函數(shù)值變化最快的方向，梯度法就是以函數(shù)的梯度方向作為極值點的搜索方向。當(dāng)利用梯度法求函數(shù)的最小值時，要將函數(shù)的負(fù)梯度方向作為極值點的搜索方向。而當(dāng)利用梯度法求函數(shù)的最大值時，則要以函數(shù)的正梯度方向作為極值點的搜索方向。算法如下：

輸入：目標(biāo)函數(shù) f(X)，其中 X=[wkek]T，[wlel]T，初始點 X1∈En（n 維歐式空間），步長 λ，允許誤差 ε＞0。

輸出：使目標(biāo)函數(shù)f(X)最大的解X*。

(2)若 ｜Δf(Xm)｜＞ε， 則 執(zhí) 行 Xm+1←Xm+λ▽f(Xm)，m←m+1，轉(zhuǎn)步驟(1)；

(3)此時 Xm就是所求的最優(yōu)解 X*，f(Xm)就是目標(biāo)函數(shù)的最大值，算法結(jié)束。

2.2.2 障礙函數(shù)的構(gòu)造[5]

用梯度法求解信號傳遞優(yōu)化模型Ⅱ，要將約束條件下的最值問題轉(zhuǎn)化為非約束條件下的最值問題。一般做法是構(gòu)造障礙函數(shù)，即用若干障礙項表示相應(yīng)的約束條件，并將這些障礙項加到目標(biāo)函數(shù)中。當(dāng)可以保證障礙項函數(shù)的初始值大于0時，選用log函數(shù)為障礙項函數(shù)，否則選用式(6)為障礙項函數(shù)。

式(6)是本文設(shè)計的障礙項函數(shù)，式(7)是其導(dǎo)數(shù)。如此設(shè)計的優(yōu)點是使障礙項函數(shù)在0點有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，以避免迭代過程在0點處出現(xiàn)振蕩；缺點是約束條件可能得不到絕對滿足。

2.2.3 概率函數(shù)q(t)的構(gòu)造

[1]中q(t)是階躍函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)不存在。為了能使用梯度法，用式(6)替代階躍函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)存在。用式(9)中的函數(shù)可以代替參考文獻(xiàn)[1]中的階躍函數(shù)。

2.2.4 信號傳遞模型Ⅱ的梯度法求解的梯度公式

信號傳遞合約模型Ⅱ帶有障礙項的目標(biāo)函數(shù)為：

對于k型、l型委托人的模型：

其中 a=u(wk)-kv(ek)-U，∏(ek)=ek，v(ek)=ek。

對于l型委托人向代理人發(fā)送信息的模型：

其中∏(ek*)=ek*，∏(el)=el。

由于在設(shè)計障礙函數(shù)時，保證了障礙項有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)；通過選擇合理的SVR參數(shù)，使得用SVR建模的效用函數(shù)也有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，從而使整個目標(biāo)函數(shù)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，滿足梯度法的應(yīng)用條件。通過實驗選擇合理的步長λ和精度ε，可以使算法收斂并有較快的收斂速度。另外所要求解的向量X維數(shù)為3或2，即問題的規(guī)模為3或2，則算法的時間和空間復(fù)雜度分析可以忽略。這些都保證了上述梯度法的有效性。

3 計算結(jié)果與分析

3.1 量化計算的目的與步驟

量化計算的目的，是觀察模型參數(shù)變化對合約均衡點變化趨勢的影響。對于該模型，主要觀察：在其他參數(shù)不變的情況下，委托人的生產(chǎn)效率k值的變化在信息對稱情況下對合約均衡點的影響，及l(fā)型委托人的合約均衡點的設(shè)置變化。

量化計算的步驟：

(1)量化計算的關(guān)鍵是對效用函數(shù)建模。所以第一步是用SVR對經(jīng)過調(diào)查的效用函數(shù)樣本點訓(xùn)練建模。量化計算中，效用函數(shù)u(·)取式(2)的定義，即為風(fēng)險規(guī)避的，v(·)取線性函數(shù)，v′(·)=1，即為風(fēng)險中性的。 樣本點和建模的結(jié)果如圖1所示。

(2)對于該模型，在梯度法算法中，輸入初始值X=[wkek]=[wlel]=[1 1]，迭代步長 λ=0.000 01，終止誤差ε=0.1。

對式(3)和式(4)的委托人模型，令式(3)中的生產(chǎn)效率 k值從 0.1，0.2，…，0.6增大時，反復(fù)調(diào)用上述梯度法計算目標(biāo)函數(shù)值，得到如圖2星號線所示的委托人的生產(chǎn)效率k值的變化對合約均衡點的影響，其中均衡點對變化方向已在圖2中標(biāo)出；對式(5)的合約模型，令式(3)和式(4)中k值較小時的模型為l型委托人(提供生產(chǎn)率低、工作輕松的合約)模型，k值較大時的模型為k型委托人(提供生產(chǎn)率高、工作繁重的合約)模型，反復(fù)調(diào)用上述梯度法計算目標(biāo)函數(shù)值，得到如圖2加號線所示的委托人的生產(chǎn)效率k值較小的l型委托人的的合約均衡點的變化，其中均衡點對變化方向已在圖2中標(biāo)出。

3.2 結(jié)果及其分析

圖2是本文中信號傳遞合約模型的量化計算結(jié)果。橫軸表示代理人的工資水平，縱軸表示代理人努力程度，星號點是l型委托人和k型委托人合約均衡點，加號點是經(jīng)調(diào)整后l型委托人設(shè)計的合約均衡點。

圖2的結(jié)果表明，在其他參數(shù)不變的情況下，隨著委托人的生產(chǎn)效率k值的增加，即由k值較小時的l型委托人到 k值較大時的 k型委托人，均衡點（w，e）向右下方向移動；這表明了l委托人所付給代理人的工資低于k型委托人所付給代理人的工資，而l型委托人所需要代理人的努力程度卻高于k型委托人所需代理人的努力程度，這顯然是不合理的，從而必須對l型委托人設(shè)計的合約進(jìn)行調(diào)整，使l型委托人向代理人傳遞其特征信息，調(diào)整到圖2的加號線所示，以便使代理人明白l型委托人設(shè)計的合約要求的努力程度低于k型委托人所需代理人的努力程度ek，而支付的工資也低于k型委托人支付給代理人的工資wk。這一結(jié)果提示委托人，當(dāng)委托人提供生產(chǎn)率低、工作輕松的合約時，要向代理人傳遞其工作輕松、要求努力程度低的信號才能使不情愿努力的代理人接受l型委托人設(shè)計的合約。

本文在利用SVR對效用函數(shù)建模的基礎(chǔ)上，用梯度法量化求解信號傳遞優(yōu)化模型,對信號傳遞模型Ⅱ（委托人通過激勵合約向代理人傳遞其能提供生產(chǎn)率低、工作輕松的合約(wl，el)特征信號的優(yōu)化模型）進(jìn)行了定量計算和分析。由于定量計算數(shù)值結(jié)果的直觀和易于理解，容易發(fā)現(xiàn)解析分析難以得到的信息。經(jīng)完善后也可以用于指導(dǎo)含有信號傳遞合約優(yōu)化模型Ⅱ的實際委托-代理合約的設(shè)計。

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