劉正權(quán) 孫耀杰 林燕丹

(復(fù)旦大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院光源與照明工程系，上海 200433)

1 引言

LED具有環(huán)保節(jié)能等優(yōu)點(diǎn)，在道路照明、汽車前照燈、投影儀設(shè)備和掃描打印等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。為了解決LED光源發(fā)光不均勻的問題，需要根據(jù)LED光源特性和預(yù)期光度分布要求進(jìn)行二次配光設(shè)計(jì)［1～2］。按照設(shè)計(jì)對象劃分，現(xiàn)在基于LED光源的非成像光學(xué)設(shè)計(jì)主要有自由曲面反射器和自由曲面透鏡，其設(shè)計(jì)思想都是通過光學(xué)器件對光源光線的調(diào)制以達(dá)到在被照面上形成預(yù)期的照度分布的目的［3～5］。在非成像光學(xué)設(shè)計(jì)中邊緣光線理論是基本理論［6］。針對LED的自由曲面光學(xué)設(shè)計(jì)主要有以下幾種方法:2002年Ries等使用三維自由曲面裁剪法設(shè)計(jì)光學(xué)曲面，這個(gè)方法通過裁剪光學(xué)曲面控制波前方向，最終將光學(xué)曲面模型抽象為求解一組非線性偏微分方程，其缺點(diǎn)是不能根據(jù)指定的光學(xué)曲面進(jìn)行設(shè)計(jì)［7～10］。另一種方法是網(wǎng)格法，這種方法具有直觀的優(yōu)點(diǎn)，設(shè)計(jì)方法是根據(jù)光源與被照面之間的能量映射關(guān)系進(jìn)行光線設(shè)計(jì)，通過迭代求解得到光學(xué)曲面的坐標(biāo)點(diǎn)以確定透鏡或者反射器的外形［11～12］。第三種方法是基于微分幾何的光學(xué)設(shè)計(jì)方法，丁毅等基于折射定律和光通守恒定律建立了自由曲面透鏡的偏微分方程組，并使用數(shù)值計(jì)算的方法求解反射器的面型，這個(gè)方法的優(yōu)點(diǎn)是目的性強(qiáng)且花費(fèi)時(shí)間短，缺點(diǎn)是需要求解一組偏微分方程，求解與編程一般比較困難［13］。

為了解決上述問題，本文根據(jù)LED配光特性和矩形照度分布要求，基于微分幾何理論和能量守恒原理建立自由曲面反射器模型，使用一階偏微分方程描述自由曲面反射器，并將該設(shè)計(jì)流程與算法編譯成自由曲面反射器設(shè)計(jì)軟件，通過簡單的交互操作就可以設(shè)計(jì)出符合要求的反射器，簡化了設(shè)計(jì)步驟并降低了自由曲面反射器設(shè)計(jì)難度。

2 軟件算法

2.1 光線與自由曲面一般作用關(guān)系

我們在球坐標(biāo)下研究自由曲面，假定自由曲面是一階連續(xù)且正則。我們首先討論自由曲面的法線、切線及其與光線的相互作用關(guān)系。如圖1所示，自由曲面上任意一點(diǎn) P，矢徑 可記為 ρ(ρsinθcosφ，ρsinθsinφ，ρcosθ)，其中 θ和 φ分別為天頂角和方位角，ρ為矢徑 長度。

圖1 球坐標(biāo)下自由曲面與光線相互作用

如圖1所示，入射光線和折射光線的單位矢量分別為I和I'，入射光線與折射光線所在空間介質(zhì)折射率分別為n1和 n2。根據(jù)折射定律定律，有

2.2 光源與被照面能量拓?fù)潢P(guān)系

以矩形照度分布為例分析光源與被照面能量拓?fù)潢P(guān)系，如圖2和圖3所示［15］。光線全部照射到矩形被照面上且照度均勻分布，根據(jù)能量守恒定律，有

其中I(θ，φ)為LED光源光強(qiáng)分布，E(x，y)為矩形被照面上照度分布，為常數(shù)。矩形被照面長度和寬度分別為l和w，LED近似為朗伯光源，配光I(θ，φ)取I0cosθ，計(jì)算得到

即理想情況下，路面照度為E=πI0/wl。

圖2 LED光源與被照面能量拓?fù)涫疽鈭D

圖3 立體角微元與面積微元之間能量拓?fù)涫疽鈭D

如圖3所示，對于不同的θ范圍內(nèi)，有

其中X和Y分別表示對應(yīng)第一象限矩形被照面頂點(diǎn)坐標(biāo)且滿足X/Y=l/w。計(jì)算得到

在第一象限，當(dāng)0≤y＜Y時(shí)，即x=X=(l/2)sinθ，(y/Y)=φ/(π/4)，有 y=(4φ/π)Y=(2φw/π)sinθ;當(dāng)y=Y時(shí)，x=(4X/π) × ［(π/2) －φ］=(2l sinθ/π) × ［(π/2) － φ］，y=w sinθ。綜上所2述，第一象限內(nèi)LED發(fā)光面上方位角為 (θ，φ)的出射光線照射到路面上點(diǎn) Q的坐標(biāo) (x，y，z)為

軟件中使用Runge-Kutta法求解第一個(gè)邊界條件得到ρ(θ，π/2)，再使用Lax-Friedrichs格式求解一階偏微分方程［16］。

圖4 自由曲面反射器設(shè)計(jì)軟件主界面

3 軟件算法驗(yàn)證

如圖4所示為自由曲面反射器設(shè)計(jì)軟件主界面，其主要包括參數(shù)設(shè)置、幾何模型和照度分布三個(gè)功能區(qū)域。其中參數(shù)設(shè)置功能區(qū)域主要用來設(shè)置被照面照度分布形狀，有矩形、圓形和正多邊形三種形狀供選擇，并可以分別設(shè)置被照面的幾何尺寸。對于LED光源配光可以選擇朗伯配光，也可以自定義配光數(shù)據(jù)導(dǎo)入軟件。另外，設(shè)計(jì)過程中還需要設(shè)置反射器中心與LED光源的垂直距離。在設(shè)置好上述參數(shù)后，運(yùn)行軟件就可以計(jì)算出反射器面型，并在右面的幾何模型界面中顯示出反射器的外形，包括三維視圖和二維投影視圖。設(shè)計(jì)軟件導(dǎo)出的反射器模型可以導(dǎo)入光學(xué)追跡軟件進(jìn)行光學(xué)仿真以驗(yàn)證設(shè)計(jì)效果。本軟件中也提供了被照面照度分布分析。

為了驗(yàn)證軟件算法的效率和可靠性，使用矩形和圓形照度分布自由曲面反射器設(shè)計(jì)實(shí)例來進(jìn)行驗(yàn)證。對于圓形照度分布自由曲面反射器，其參數(shù)設(shè)置為被照面半徑1000mm，LED與反射器中心距離30mm，LED與被照面距離2000mm。將軟件計(jì)算得到的反射器導(dǎo)入光學(xué)仿真軟件進(jìn)行追跡驗(yàn)證設(shè)計(jì)準(zhǔn)確性，反射器外形光線追跡和照度分布分別如圖5和圖6所示。

圖5 圓形照度分布自由曲面反射器外形與光線追跡圖

圖6 圓形被照面照度分布

從圖6可以看到，圓形被照面的照度均勻度為0.92，設(shè)計(jì)結(jié)果與預(yù)期一致，算法設(shè)計(jì)是合理的。對于矩形照度分布反射器，參數(shù)設(shè)置為LED與反射器中心距離30mm，矩形被照面長度2000mm，寬度為3500mm，矩形被照面與LED中心距離2000mm。矩形照度分布反射器外形和照度分布分別如圖7和圖8所示。

圖7 矩形照度分布自由曲面反射器外形圖

圖8 矩形被照面照度分布

從圖8可以看到，矩形被照面照度基本呈矩形分布，照度分布均勻，其縱向照度均勻度為0.8，橫向照度均勻度為0.9。另外，被照面的照度分布不是嚴(yán)格的矩形分布，這個(gè)誤差主要是數(shù)值求解和曲面擬合建模過程中引入的;數(shù)值求解差分格式的穩(wěn)定性和步長影響了求解精度，三維模型軟件使用樣條曲面擬合曲面上離散數(shù)據(jù)，也引入了誤差。另外，從被照面照度分布可以看到，在矩形對角線上的照度較高，這是由對角線部分的反射器表面不平滑引起。

4 結(jié)論

針對LED光源配光建立了自由曲面反射器設(shè)計(jì)模型，根據(jù)設(shè)計(jì)模型分別設(shè)計(jì)了數(shù)值計(jì)算和光線追跡算法，并編譯成可操作的GUI界面。和使用有限差分法求解得到了自由曲面反射器面型并使用光學(xué)軟件進(jìn)行了分析驗(yàn)證，被照面縱向和橫向照度均勻度分別達(dá)到了0.8和0.9。該軟件適用于道路照明燈具設(shè)計(jì)和汽車前照燈設(shè)計(jì)等領(lǐng)域。可以通過優(yōu)化軟件算法提高計(jì)算效率和精度，降低反射器面型誤差，進(jìn)一步提高反射器光學(xué)性能。

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