劉慶元，鄒程昊

（中南大學(xué) 地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，湖南 長沙 410083）

模式搜索開窗擬合系統(tǒng)誤差的濾波方法研究

劉慶元，鄒程昊

（中南大學(xué) 地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，湖南 長沙 410083）

為消除導(dǎo)航數(shù)據(jù)中的系統(tǒng)誤差，提高定位精度，在開窗擬合系統(tǒng)誤差的卡爾曼濾波基礎(chǔ)上，研討窗口長度的確定方法和過程。引入最優(yōu)化思想，通過模式搜索的方法完善了窗口長度確定環(huán)節(jié)，使之更適于編程。模式搜索開窗擬合系統(tǒng)誤差的濾波方法在過濾系統(tǒng)誤差時有更廣的適用性。

濾波；擬合；編程；搜索；系統(tǒng)誤差

0 引言

隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，對于定位精度的要求越來越高，定位和導(dǎo)航技術(shù)進入了一個嶄新的時代。定位包含許多誤差源，對其進行處理的重要方法之一是動態(tài)濾波法，經(jīng)典的最優(yōu)濾波包括維納（Wiener）濾波和卡爾曼（Kalman）濾波。Wiener濾波采用頻域法，其作用受到限制；Kalman濾波采用的是時域狀態(tài)空間法，有適合多變量系統(tǒng)和時變系統(tǒng)、適合非平穩(wěn)隨機過程、算法原理是遞推從而適合計算機編程實現(xiàn)這三大優(yōu)點。因此，動態(tài)導(dǎo)航數(shù)據(jù)的實時處理或事后處理經(jīng)常采用動態(tài)Kalman濾波方法[1］，將真正的信號和狀態(tài)從含有隨機干擾的觀測信息中最優(yōu)地實時估計出來。估計過程一般假設(shè)系統(tǒng)的動態(tài)噪聲和觀測噪聲統(tǒng)計特性為已知的白噪聲序列，該序列均值為零。

系統(tǒng)誤差的特性非常復(fù)雜，既有延續(xù)性，又有偶然性[2］，所以當實時動態(tài)導(dǎo)航定位過程中含有系統(tǒng)誤差時，偏離白噪聲理想假設(shè)的觀測向量或偏離理想假設(shè)的動力學(xué)模型可能會給動態(tài)濾波結(jié)果帶來偏差甚至發(fā)散。國內(nèi)一些學(xué)者用參數(shù)、非參數(shù)或半?yún)?shù)來估計系統(tǒng)誤差[3-4］，本文則是對觀測誤差和模型誤差做近似假設(shè)，即在較短的觀測時間段內(nèi)，如從時刻tk-n至?xí)r刻tk，觀測系統(tǒng)差和動力模型系統(tǒng)差僅發(fā)生微小變化，則可以采用某些簡單方法進行擬合[5］。對此楊元喜提出一種對觀測系統(tǒng)差和動力學(xué)模型差直接擬合并對相應(yīng)協(xié)方差矩陣做出近似估計的方法[6-7］。筆者試圖深入探討這一方法的實現(xiàn)細節(jié)，將模式搜索法[8］應(yīng)用于窗口長度確定過程，最后使用仿真算例與原方法進行對比。

1 基于系統(tǒng)誤差及其協(xié)方差矩陣擬合Kalman濾波模型

Kalman濾波的基本思想是用包含正交狀態(tài)變量的微分方程模型來描述時變線性系統(tǒng)，將過去的測量估計誤差合并到新的測量誤差中來估計將來的誤差。Kalman濾波是滿足理想前提條件的最優(yōu)狀態(tài)估計法，從隨機模型可以看出，只有在動力模型噪聲向量和觀測誤差向量期望值都為零的前提條件下，它才能起到預(yù)期效果。而當系統(tǒng)誤差出現(xiàn)時，濾波前提無法滿足，于是濾波效果差甚至出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象。濾波結(jié)果可見于本文的算例比較與分析。下面簡單介紹在Kalman濾波中系統(tǒng)誤差及其協(xié)方差的擬合原理和方法。

令Wk為動力模型噪聲向量，ek為觀測誤差向量，分別為Wk和ek的協(xié)方差矩陣。若在固定的觀測歷元間視系統(tǒng)誤差為常量或圍繞某常量隨機變化，則可以采用固定窗口內(nèi)的觀測殘差和狀態(tài)預(yù)測殘差向量的均值進行擬合解算[9］。uk為觀測誤差向量存在的系統(tǒng)誤差，sk為動力模型噪聲向量存在的系統(tǒng)誤差，因此觀測模型和動力模型誤差的期望不為零，即

通過分析觀測向量系統(tǒng)誤差

其中Lk為觀測向量，Ak為設(shè)計矩陣，Xk為載體的狀態(tài)方程，Vk為Lk的殘差向量。

當Lk存在系統(tǒng)誤差時，導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)估值有偏。而通過動力模型導(dǎo)致有偏。

其中Φk，k-1為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。與觀測殘差、預(yù)測殘差以及狀態(tài)殘差所不同的是，V′k為Lk在含有系統(tǒng)誤差前提下的殘差向量，在含有系統(tǒng)誤差前提下的殘差向量。

即通過前面的觀測數(shù)據(jù)求出觀測系統(tǒng)誤差，由此得到觀測向量消除了系統(tǒng)誤差后的協(xié)方差矩陣擬合值

同樣通過擬合求得動力模型系統(tǒng)差：

由此得到消除系統(tǒng)誤差后的狀態(tài)預(yù)報向量協(xié)方差矩陣擬合值

這種估計的直接好處是在卡爾曼濾波過程中，不僅抵制了觀測系統(tǒng)偏差和動力模型系統(tǒng)偏差的影響，而且可以求出這些系統(tǒng)偏差的數(shù)值，即從函數(shù)模型和隨機模型兩方面同時改進導(dǎo)航濾波的可靠性。具體實施模型為，預(yù)測部分：

其中I為與KkAk同階的單位矩陣。

因為指定窗口長度是一個可以人工調(diào)控的數(shù)值，不同大小的窗口長度會導(dǎo)致不一樣的濾波結(jié)果。其目標函數(shù)可以表示為

它是以窗口長度x為自變量，以濾波效果衡量指標均方誤差MSE為因變量的函數(shù)。因窗口長度值必為整數(shù)的性質(zhì)，這是一個離散不可導(dǎo)函數(shù)。指定合適的窗口長度以獲得最佳的濾波效果是一個最優(yōu)化問題。

2 模式搜索法在窗口長度搜索中的應(yīng)用

解決最優(yōu)化問題已有很多方法，例如遺傳算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模擬退火等，這些方法在應(yīng)用過程中各有優(yōu)劣[10］。模式搜索法是一種解決最優(yōu)化問題的直接方法，在計算時不需要目標函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，所以在解決不可導(dǎo)的函數(shù)或者求導(dǎo)異常麻煩的函數(shù)的優(yōu)化問題時非常有效。

模式搜索法也稱步長加速法，用于求n元函數(shù)f（x1，x2，…，xn）的極大值或極小值，這個方法由兩類“移動”組成：一類是“探索性”的移動，也叫軸向移動，用于探測函數(shù)的下降方向，在這一步驟，從起點分別沿各個方向按照初始步長a0進行探測，選出探測出的最優(yōu)結(jié)果為這一步的終止點當探測不到更優(yōu)結(jié)果時縮短步長，直到達到最小步長ε，這一步驟主要功能是揭示目標函數(shù)變化規(guī)律。另一類是“模式性”的移動，可以看成是一種加速，這種運動利用發(fā)現(xiàn)的函數(shù)變化規(guī)律，從而可以沿著有利的方向?qū)ふ腋玫狞c，其探測的方向是上一步軸向移動的方向探測的步長則在這一方向上乘上加速因子λj，模式移動完成后，旋即在點上進行一次軸向搜索得到點然后分以下兩種情況處理：

（II）若未能搜索到更優(yōu)點，則回到上一輪軸向搜索的最終點：令將步長a縮小，重新進行探測性移動，如果步長a滿足那么迭代結(jié)束。

模式搜索法可能要計算很多點的函數(shù)值才能得到目標函數(shù)的近似極小點。但是它易于在計算機上實現(xiàn)，實際效果也不錯，因此被認為是一種很可靠的方法。

圖1 添加搜索功能后流程

3 算例比較與分析

開窗擬合系統(tǒng)誤差的Kalman濾波已被證實能有效去除觀測信息中的系統(tǒng)誤差，即使是在觀測信息不含系統(tǒng)誤差情況下，其仍能部分改善經(jīng)典Kalman濾波[6］。

本文使用Matlab模擬數(shù)據(jù)說明模式搜索開窗擬合系統(tǒng)誤差方法的先進性。模擬一個陀螺儀在旋轉(zhuǎn)載體中的勻速轉(zhuǎn)動。設(shè)載體觀測方程為

其中φ是角速度偏移量，觀測速度擾動滿足a～N（0，10），觀測系統(tǒng)對角速度偏移進行采樣，采樣間隔為1 s，狀態(tài)噪聲滿足w～N（0，1）。所以初始觀測值方差與初始動力模型噪聲矩陣分別為10和1。為計算簡易起見，設(shè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φk，k-1=1，觀測變化矩陣Ak=1。

構(gòu)造兩個略有差異的觀測模型系統(tǒng)誤差，分別添加到載體觀測方程。

本算例利用Matlab模擬200個歷元觀測值，在濾波過程中，設(shè)窗口長度為wN。然后對上述數(shù)據(jù)采用4種對比計算方案。

方案1：加入系統(tǒng)誤差1的模式搜索開窗擬合系統(tǒng)誤差Kalman濾波（見圖2）。

圖2 加入系統(tǒng)誤差1的模式搜索開窗擬合系統(tǒng)誤差Kalman濾波

方案2：加入系統(tǒng)誤差2的模式搜索開窗擬合系統(tǒng)誤差Kalman濾波（見圖3）。

圖3 加入系統(tǒng)誤差2的模式搜索開窗擬合系統(tǒng)誤差Kalman濾波

方案3：加入系統(tǒng)誤差1的固定窗口長度（窗長為10）擬合系統(tǒng)誤差Kalman濾波（見圖4）。

圖4 加入系統(tǒng)誤差1的固定窗口長度（窗長為10)擬合系統(tǒng)誤差Kalman濾波

方案4：加入系統(tǒng)誤差2的固定窗口長度（窗長為10）擬合系統(tǒng)誤差Kalman濾波（見圖5）。

圖5 加入系統(tǒng)誤差2的固定窗口長度（窗長為10)擬合系統(tǒng)誤差Kalman濾波

4種方案輸出量統(tǒng)計與濾波前統(tǒng)計對比由直方圖分別表示為圖6～圖9。

圖6 方案1統(tǒng)計數(shù)據(jù)

圖7 方案2統(tǒng)計數(shù)據(jù)

圖8 方案3統(tǒng)計數(shù)據(jù)

圖9 方案4統(tǒng)計數(shù)據(jù)

通過對算例圖示的分析可以得出如下結(jié)論：

1）模式搜索開窗擬合系統(tǒng)誤差的濾波方法能夠適用于不同大小的系統(tǒng)誤差，分別搜索出最優(yōu)的窗口長度。對于系統(tǒng)誤差1，得到的最優(yōu)窗長為8（見圖2和圖6）；對于系統(tǒng)誤差2，得到的最優(yōu)窗長為7（見圖3和圖7）。

2）模式搜索開窗擬合系統(tǒng)誤差的濾波方法相比取固定窗長的方法而言，濾波后的均方誤差更小，由圖6對比圖8：0.455 58＜0.507 03；圖7對比圖9：0.481 51＜0.549 29。

4 結(jié)語

當觀測模型和動力學(xué)模型含有系統(tǒng)誤差時，經(jīng)典Kalman濾波結(jié)果將受到歪曲，因為經(jīng)典Kalman濾波器是滿足理想條件下的一種最優(yōu)狀態(tài)估計算法。觀測信息中存在系統(tǒng)誤差時，相應(yīng)的觀測殘差均值和狀態(tài)預(yù)報殘差均值不為零，利用開窗法擬合得到的系統(tǒng)誤差對模型進行修正，則可在很大程度上減弱系統(tǒng)誤差的影響，而以往方法沒有解決濾波時如何選取窗口長度參數(shù)的問題。模式搜索法的引入，使得這一濾波方法更便于編程實現(xiàn)。它能較快地獲取窗口長度參數(shù)，對不同的系統(tǒng)誤差，能獲取與之適應(yīng)的窗口長度，從而使得原算法有了更廣的適用性。

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LIU Qing-yuan，ZOU Cheng-hao
（School of Geosciences and Info-Physics，Central South University，Changsha 410083，Hunan，China）

The paper discusses the way of improving positioning accuracy by eliminating the systematic errors in the navigation data.Based on the Kalman filter of window fitting systematic errors，the method and process for determining the window length are discussed.The optimized idea was introduced，which was made to be more suitable for coding by the pattern-search methods for determining window length.The Pattern-search moving windows method has wider applicability in fitting systematical errors.

filtering；fitting；coding；searching；systematic error

P207

：A

：1673-0143（2012）03-0045-05

（責(zé)任編輯：曾 婷）

2012-03-14

劉慶元 （1958—），男，教授，研究方向：GPS數(shù)據(jù)處理、網(wǎng)絡(luò)GIS。