☉江蘇省南京市浦口區(qū)浦廠中學 譚 宇

背景：

學校模擬網(wǎng)上閱卷，在閱卷過程中收獲頗多，學生們的解題方法和思維方式五花八門，不管是正確的還是錯誤的，遠比出卷者預測的要多，有些考生的解題思維遠比我們教師想象的要好，他們大膽的猜想和論證給了我不少震動和啟發(fā).我被分到第七組，批改第27題（共7人），當時碰到一份考生的試卷解法比較奇特，個人認為是正確的，但有3人否定、2人疑惑、一人不語.于是查找資料，思索探討，從而就有了下面的論證過程.

過程：

后經研究發(fā)現(xiàn)，本題是2008年南京市數(shù)學中考試卷第27題第二問，下面是一個學生的解題過程的一小部分：

解：如圖1，過點O作OC⊥AB，垂足為點C.

由題意可得：PA=5t，PB=4t.

圖1

在直角三角形中，可以用邊的比來表示兩個銳角的三角函數(shù)，而從上面的“畫線”部分可以看出，該生試圖用三角函數(shù)推出直角三角形.27題的改卷的部分教師都認為是錯誤的，毫無道理的，但是我通過大量的實例驗證，覺得這個結論是正確的.可以用這樣一句話總結：“在三角形中，若一個銳角所對應的余弦值等于這個角兩邊的比值，那么這個三角形是直角三角形”.下面是證明過程：

求證：△PBA是直角三角形.

圖2

又因P′B′=PB，

所以P′A′=PA.

在△P′A′B和△PAB中，

所以△P′A′B≌△PAB（SAS）.

所以∠PBA=∠P′B′A′=90°.

所以△PBA是直角三角形.

有以上結論可見，根據(jù)一位學生的“錯”解，經過推理論證，從而得到一個新的命題.雖然這位學生沒有論證他的猜想，沒有得分，但是該為他的大膽猜想而感到驕傲！如果對這個問題的探討到此為止，那是欠深入的.若能繼續(xù)探索下去，不僅能提高探索能力而且能體會到做數(shù)學的樂趣.

由舉一反三的直覺思維，自然想到以下兩個推論：

推論1“三角形中，若一個銳角所對應的正弦值等于這個角的對邊與它的鄰邊比值，那么這個三角形是直角三角形”.

推論2“三角形中，若一個銳角所對應的正切值等于這個角的對邊與它的鄰邊比值，那么這個三角形是直角三角形”.

證明：推論1“三角形中，若一個銳角所對應的正弦值等于這個角的對邊與它的鄰邊比值，那么這個三角形是直角三角形”.

求證：△PBA是直角三角形.

圖3

所以AC=AB.

又因AC⊥PB，

根據(jù)直線外一點，到直線的所有線段中，垂線段最段且僅有一條，所以點B與點C重合.

即△PBA是直角三角形.

推論2“三角形中，若一個銳角所對應的正切值等于這個角的對邊與它的鄰邊比值，那么這個三角形是直角三角形”.

圖4

求證：△PBA是直角三角形.

舉反例：

倘若△PBA是直角三角形，根據(jù)已知條件可得∠PBA=90°，∠A為銳角.過點B，在線段PA上找一點C，使BC=BA.

顯然△PBC不是直角三角形，所以本題結論不成立.

綜上可得，直角三角形的一個新判定：

三角形中，若一個銳角所對應的余弦值等于這個角兩邊的比值，那么這個三角形是直角三角形.

推論：三角形中，若一個銳角所對應的正弦值等于這個角的對邊與它的鄰邊比值，那么這個三角形是直角三角形.

反思：法國著名雕塑家羅丹說過：“世上并不缺乏美而是缺乏發(fā)現(xiàn)美的眼睛”.同樣在學習中，教師不可避免會遇到一些學生做的錯題，要用辯證的眼光去看待，不要看到不順眼的或沒看過的都一票否決.從探究性學習的觀點看，這些錯題并不是一無是處，有的蘊含的探索性價值不比“好題”小，因此不應該簡單的加以否定.心理學家桑代克認為：“嘗試與錯誤是學習的基本形式.”錯誤是正確的先導，錯誤是通向成功的階梯，學生犯錯的過程是一種嘗試和創(chuàng)新的過程，教師應該善待學生所犯的錯誤.英國心理學家貝恩布里說過：“差錯人皆有之，而作為教師，對于學生的錯誤不加以利用是不能原諒的.”但長期以來，對待學生的學習錯誤，我們更多的是把“錯誤”當成了教育的“敵人”，以致“不錯”便是“成功”，“不錯”成了我們不懈的“追求”；在實踐中應把其重點放在分析錯因、制定對策上.對待學習錯誤，我們缺乏一種“主動應對”的新理念和策略.有專家指出：“課堂上的錯誤是教學的巨大財富.”教師應巧妙利用這一“財富”，變解題錯誤為促進學生發(fā)展的資源.