譚常春， 鄧晴晴， 周 堯

（合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009）

基于delta方法泊松分布參數(shù)的近似信仰推斷

譚常春， 鄧晴晴， 周 堯

（合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009）

文章主要研究了Poisson分布參數(shù)λ的近似信仰推斷，利用對(duì)數(shù)變換后的估計(jì)量的漸近正態(tài)性對(duì)λ建立近似的樞軸方程，并得到其近似信仰分布和置信區(qū)間。模擬結(jié)果表明，近似信仰區(qū)間與Wald置信區(qū)間的平均長(zhǎng)度幾乎無差異，但近似信仰置信區(qū)間覆蓋概率明顯優(yōu)于Wald置信區(qū)間的覆蓋概率。

Poisson分布；delta方法；近似信仰推斷；樞軸方程

泊松分布是最基本的離散分布，不僅在離散數(shù)據(jù)的分析處理中處于重要的地位，而且在管理科學(xué)、運(yùn)籌學(xué)及自然科學(xué)等實(shí)際問題中有非常廣泛的 應(yīng) 用［1－3］。 目 前 多 數(shù) 利 用 Bayes 方 法［4］、Bootstrap方法［5］研究泊松分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)。

信仰推斷是Fisher在19世紀(jì)30年代初期引進(jìn)的一種構(gòu)造區(qū)間估計(jì)的方法。其基本觀點(diǎn)是：設(shè)要作θ的區(qū)間估計(jì)，在抽樣得到樣本（X1，…，Xn）前，對(duì)θ一無所知，樣本（X1，…，Xn）透露了θ的一些信息，據(jù)此可以對(duì)θ取各種值給予不同的“信任程度”，而這可用于對(duì)θ作區(qū)間估計(jì)。這種方法不是基于傳統(tǒng)的概率思想，但對(duì)某些困難的統(tǒng)計(jì)問題，特別是著名的貝倫斯－Fisher問題，提供了簡(jiǎn)單可行的解法。近年來，信仰推斷得到了迅速的發(fā)展，特別是利用樞軸方程得到的信仰推斷［6－8］，為小樣本提供了比較精確的推斷結(jié)果。但是能夠利用樞軸方法的只有某些具有特定性質(zhì)的連續(xù)性分布，離散分布的信仰分布研究比較少，目前只有二項(xiàng)分布的信仰推斷［9］。

本文利用近似的樞軸方程代替精確的方程，給出了Poisson分布的近似信仰推斷。對(duì)λ作對(duì)數(shù)變換（λ）＝ln（λ＋δ），由變換后函數(shù)（λ）的估計(jì)量（）的漸近正態(tài)性建立關(guān)于參數(shù)λ的近似樞軸方程，并且導(dǎo)出其近似信仰分布，由此分布構(gòu)造參數(shù)的置信區(qū)間。模擬研究表明，該區(qū)間比Wald置信區(qū)間有更好的小樣本頻率性質(zhì)。

1 Poisson分布的近似信仰分布及置信區(qū)間

設(shè)X1，…，Xn為i.i.d樣本，X1～P（λ），其中λ∈（0，＋∞），λ的矩估計(jì)和MLE估計(jì)＝，由MLE的漸近正態(tài)性：并應(yīng)用Slutsky定理得：

可以得到λ的100（1－α）%Wald置信區(qū)間為：

由于正態(tài)隨機(jī)變量取值在整個(gè)實(shí)軸上，而λ＞0，通過對(duì)λ作一個(gè)連續(xù)可導(dǎo)變換h（λ），使其取值于整個(gè)實(shí)數(shù)。而且上述Wald置信區(qū)間可能出現(xiàn)下限小于0，為避免出現(xiàn)這種情況，令h（λ）＝lnλ，由delta方法可得：

應(yīng)用Slutsky定理得：

對(duì)給定的α，可得：

在λ較小時(shí)，此置信區(qū)間覆蓋概率比較差。考慮到在λ接近0時(shí)，此置信區(qū)間不理想，對(duì)h（λ）進(jìn)行截尾，令（λ）＝ln（λ＋δ），其中δ＝0.15×，δ的取值參照文獻(xiàn)［9］，而且根據(jù)模擬研究，這是一個(gè)較好的取法。由delta方法可知：

其中，η＝λ／（λ＋δ）2。

同理由Slutsky定理得：

由（2）式可以建立近似樞軸方程，即

解出λ，可得：

類似區(qū)間2的推導(dǎo)過程，可以得到100（1－α）%置信區(qū)間為區(qū)間3：

在給定 ｛Xk，k＝1，…，n｝ 后，Rλ的條件分布可以看作λ的一種近似信仰分布，區(qū)間3即為該近似信仰分布所對(duì)應(yīng)的等尾置信區(qū)間。

2 數(shù)據(jù)的模擬比較

在本節(jié)數(shù)據(jù)模擬中，取α＝0.05，模擬次數(shù)為10 000，n＝30時(shí)，截尾前后的近似信仰區(qū)間（為方便記，以下均寫為Fiducial置信區(qū)間）的覆蓋概率如圖1所示。

圖1 截尾前后的Fiducial置信區(qū)間的覆蓋概率比較

分別在n＝10、15、30、100時(shí)，模擬出參數(shù)λ的Wald置信區(qū)間與Fiducial置信區(qū)間的覆蓋概率，模擬結(jié)果如圖2所示。

圖2 Wald置信區(qū)間與Fiducial置信區(qū)間的覆蓋概率比較

由圖2可以得出，對(duì)于小樣本（n≤30），F(xiàn)iducial置信區(qū)間的覆蓋概率小于名義水平所對(duì)應(yīng)λ的個(gè)數(shù)，比Wlad置信區(qū)間的覆蓋概率小于名義水平所對(duì)應(yīng)λ的個(gè)數(shù)少。

對(duì)于小樣本，當(dāng)λ接近0時(shí)，Wald區(qū)間的覆蓋概率基本上在名義水平之下，而近似信仰區(qū)間幾乎都在名義水平之上；當(dāng)樣本量逐漸增加時(shí)，這2種區(qū)間的覆蓋概率趨近于名義水平。

由于Fiducial置信區(qū)間與Wald置信區(qū)間的覆蓋概率在樣本量趨于無窮時(shí)都趨于名義水平，因此在小樣本情況下比較兩者的表現(xiàn)。比較的標(biāo)準(zhǔn)是覆蓋概率CP（coverage probability）和平均長(zhǎng)度AL（average length）。n＝15時(shí)，F(xiàn)iducial置信區(qū)間與Wald置信區(qū)間的平均長(zhǎng)度的比較如圖3所示。

圖3 Fiducial置信區(qū)間與Wald置信區(qū)間平均長(zhǎng)度比較

Fiducial置信區(qū)間與Wald置信區(qū)間的覆蓋概率和平均長(zhǎng)度比較見表1所列。

表1 Fiducial置信區(qū)間與Wald置信區(qū)間比較

由圖3和表1可得，對(duì)于小樣本，從整體來看，F(xiàn)iducial區(qū)間長(zhǎng)度和 Wald區(qū)間長(zhǎng)度相差無幾。從局部來看，對(duì)于小樣本，雖然Fiducial區(qū)間相對(duì)Wald區(qū)間有一些保守，但是它的覆蓋概率更加可靠。樣本量越大，對(duì)每一個(gè)固定的λ，其區(qū)間長(zhǎng)度越小。

3 結(jié)束語

本文研究了Poisson分布參數(shù)λ的近似信仰區(qū)間估計(jì)，由λ的對(duì)數(shù)變換~h（λ）＝ln（λ＋δ）的估計(jì)量~h（＾λ）的漸近正態(tài)性，結(jié)合delta方法構(gòu)造了λ的近似樞軸方程，導(dǎo)出其近似信仰分布，給出了它的等尾置信區(qū)間。模擬分析表明，對(duì)于小樣本，利用這種方法構(gòu)造的區(qū)間估計(jì)的覆蓋概率明顯高于Wald區(qū)間估計(jì)的覆蓋概率，而且這2種區(qū)間長(zhǎng)度幾乎無差異。

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Approximate fiducial inference for the parameter of Poisson distribution based on delta method

TAN Chang－chun， DENG Qing－qing， ZHOU Yao
（School of Mathematics，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China）

This paper mainly discusses the approximate fiducial inference of Poisson distribution with the parameterλ.An approximate pivotal equation aboutλis constructed based on the asymptotic normality of a logarithmic－transformed estimator.Then an approximate fiducial distribution and confidence interval of the Poisson parameter are obtained.The simulation results indicate that the average burst length of the approximate fiducial interval and the Wald confidence interval is almost the same，but the coverage probability of the approximate fiducial interval is obviously superior to the Wald confidence interval’s.

Poisson distribution；delta method；approximate fiducial inference；pivotal equation

O212.2

A

1003－5060（2012）03－0421－03

10.3969／j.issn.1003－5060.2012.03.030

2011－05－03；

2011－06－29

教育部重大專項(xiàng)資助項(xiàng)目（309017）；中央高?？蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目（2011HGXJ1078）

譚常春（1977－），男，安徽廬江人，博士，合肥工業(yè)大學(xué)副教授，碩士生導(dǎo)師.

（責(zé)任編輯 閆杏麗）