鳳飛龍，陳文生

(1.無(wú)損檢測(cè)技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(南昌航空大學(xué))，南昌330063;2.西安工程大學(xué)，西安710048)

0 引言

蘭姆波作為導(dǎo)波的一種，是一種經(jīng)濟(jì)有效的薄板掃查檢測(cè)方式。經(jīng)常被應(yīng)用于金屬板材、復(fù)合材料的質(zhì)量檢驗(yàn)與在役檢測(cè)［1］?？紤]到板材內(nèi)部可能具有不同的缺陷以及在使用環(huán)境中不同的腐蝕缺損狀況，在實(shí)際檢測(cè)時(shí)往往需要對(duì)被檢測(cè)缺陷或者缺損作出特定判斷。比如對(duì)于金屬板材的腐蝕，往往需要設(shè)定缺陷模型為階梯板［2］。雖然不能準(zhǔn)確估計(jì)缺陷的尺寸，但可以根據(jù)回波幅度得到當(dāng)量尺寸。在現(xiàn)代幾種大型商業(yè)檢測(cè)系統(tǒng)［3］尚未普及之前，蘭姆波檢測(cè)的準(zhǔn)確性往往基于經(jīng)驗(yàn)判斷。比如，在低頻端，蘭姆波最低階對(duì)稱模式s0模的反射或者透射回波和階梯板的板厚損失成線性比例。這一設(shè)定無(wú)疑滿足板材檢測(cè)中的定位與粗略定量要求;但是考慮到蘭姆波多模式及頻散特性，這些基于部分散射特征的缺陷判斷基準(zhǔn)使蘭姆波的檢測(cè)在應(yīng)用范圍上受到限制，即要求低頻率板厚積(頻厚積)。因?yàn)樵诟哳l厚積應(yīng)用場(chǎng)合，階梯板的散射特征更為復(fù)雜，缺陷定量難度相應(yīng)增加;為此，與數(shù)值模擬軟件相結(jié)合的檢測(cè)分析學(xué)習(xí)或者對(duì)比系統(tǒng)成為目前一些商業(yè)檢測(cè)系統(tǒng)的重要特征。

到目前為止，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)于階梯板的蘭姆波散射分析基本上基于數(shù)值計(jì)算方法［4-6］。即有限元、邊界元、以及相關(guān)的混合有限元或者邊界元;但這些方法只能針對(duì)十分具體的結(jié)構(gòu)建模分析，比如需要構(gòu)建某個(gè)具體模式在某頻率下在某具體厚度的板中傳播，相對(duì)于確定尺寸缺陷發(fā)生散射，然后對(duì)散射特征進(jìn)行分析。如果尺寸、頻率改變則需要重新建模，總體上講，對(duì)于分析某一類散射體散射特征而言，需要大量的建模時(shí)間;因此，許多學(xué)者致力于求解散射場(chǎng)的解析求解方法，用統(tǒng)一的解析公式分析散射體對(duì)蘭姆波的散射特征。由于求解難度，目前的研究往往只局限于幾種，包括板端［7］，板中裂紋［8-9］，板中圓柱［10］，板中材質(zhì)不均［11］，板厚緩變起伏［12］等等。筆者基于文獻(xiàn)［13］的工作，給出階梯板散射的模式展開法求解公式，分析階梯結(jié)構(gòu)不同尺寸參數(shù)對(duì)散射的影響規(guī)律，擬發(fā)現(xiàn)一些新的散射特征。

1 模式分解方法

考慮無(wú)限大材料均一等厚板在xoy平面上的截面如圖1a所示。對(duì)穩(wěn)態(tài)聲場(chǎng)，可以將位移與應(yīng)力場(chǎng)分解成2 個(gè)向量［11］:X=(u，t)T和 Y=( －x，v)T。其中u，v是y方向和x方向的位移分量，s= σxx，t= σxy，σ是應(yīng)力張量。這2個(gè)場(chǎng)向量又可以按照下式用蘭姆波模式分解:

圖1 等厚板、階梯板的結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic graph of equal-thickness plate and step plate

其中:Xn=(Un，Tn)TYn=( － Sn，Vn)T;Un、Vn、Sn、Tn是蘭姆波模式的波結(jié)構(gòu)函數(shù)，分別對(duì)應(yīng)u、v、s、t。式中的分解系數(shù)an和 bn可以用Fraser雙正交性關(guān)系分解［11］

其中，An(x)和Bn(x)分別是左行和右行蘭姆波模式的幅度。所有模式的幅度可以用向量A(x)和B(x)表示。模式分解法的基本思想是利用散射體的邊界條件，分解出特定模式入射時(shí)各散射模式的幅度信息。這通常用散射矩陣來(lái)描述。對(duì)圖1b所示的階梯板，根據(jù)x1處板的位移和應(yīng)力連續(xù)條件，可以得到

由式(1)～式(3)可以進(jìn)行模式分解得到的散射矩陣如下

其中各分塊矩陣都可以得到解析計(jì)算公式，具體形式如下，推導(dǎo)過(guò)程參見(jiàn)文獻(xiàn)［13］。

采用以上公式編寫程序，只需給定蘭姆波頻率和階梯尺寸，就可以求解任意傳播模入射時(shí)的散射系數(shù);因而，計(jì)算效率較數(shù)值方法高很多。

2 階梯板的散射特征分析

2.1 上下對(duì)稱階梯板厚度比對(duì)散射的影響

參照?qǐng)D1b，設(shè)階梯結(jié)構(gòu)沿板中性面對(duì)稱，并且板①與板③厚度分別為2h1=4 mm，2h3=0～4 mm。那么板面上左右兩端入射的首階對(duì)稱和反對(duì)稱模式自身的反射和透射系數(shù)如圖2所示。由于結(jié)構(gòu)對(duì)稱性，對(duì)稱模式與反對(duì)稱模式之間沒(méi)有模式轉(zhuǎn)換發(fā)生。此外，從中可以發(fā)現(xiàn):

1)在頻率低于800 kHz時(shí)，a0和s0模式透射系數(shù)(Ta0(1)a0(3)，Ts0(1)s0(3)，Ta0(3)a0(1)，Ts0(3)s0(1)，其中“T”表示透射。Ta0(1)s0(3)表示板①中的a0模式入射時(shí)向板③中的s0模式的透射系數(shù)。其他依次類推)隨階梯厚度差減小而增大;反射系數(shù)(Ra0(1)a0(1)，Rs0(1)s0(1)，Ra0(3)a0(3)，Rs0(3)s0(3)，其中“R”表示反射。Ra0(1)a0(1)表示板①內(nèi)a0模自身的反射系數(shù)，其他依次類推。)隨階梯厚度差減小而減少。這種單調(diào)線性關(guān)系存在于厚端a1模截止頻率(對(duì)于本例中的鋼板，略高于400 kHz)以下;因此，在這個(gè)頻率以下可以采用自發(fā)自收或者一發(fā)一收的探頭布置，激勵(lì)并提取a0或者s0模的幅度信息，判斷階梯板厚度差大小。

2)對(duì)比100 kHz和400 kHz時(shí)的a0模式的散射系數(shù)(Ta0a0，Ra0a0)變化曲線，可以發(fā)現(xiàn):板③厚度和板①厚度相差1 mm的范圍內(nèi)，散射系數(shù)對(duì)于板厚變化不是很敏感;也就是說(shuō)在400 kHz以下，這個(gè)范圍內(nèi)的板厚變化不能有效反映到a0模的透射信號(hào)或者反射信號(hào)幅度上。板③厚度在1～3 mm之間，高頻(400 kHz相對(duì)于100 kHz)a0模的反射或者透射信號(hào)幅度變化可以有效地對(duì)應(yīng)板厚變化。與之相比，s0模式的透射和反射系數(shù)在100 kHz和400 kHz時(shí)并無(wú)顯著變化，高頻的散射系數(shù)甚至沒(méi)有低頻的散射系數(shù)對(duì)于板厚變化敏感。說(shuō)明在低頻(低于a1模截止頻率)檢測(cè)對(duì)稱階梯板時(shí)用較高頻率的a0模式可以略微提高對(duì)于微小板厚變化的檢出率，而用s0模式時(shí)，提高頻率對(duì)于提高微小板厚變化檢出率并沒(méi)有多少改善。

3)在計(jì)算頻率范圍內(nèi)，階梯兩邊的模式之間，對(duì)換入射方向，透射系數(shù)相等。如Ta0(1)a0(3)與Ta0(3)a0(1)以及 Ts0(1)s0(3)與 Ts0(3)s0(1)。也就是說(shuō)一發(fā)一收提取某模式幅度信息檢查厚度變化時(shí)，如果只考慮聲場(chǎng)能量轉(zhuǎn)化關(guān)系，兩側(cè)探頭可以收發(fā)互換。這種現(xiàn)象是蘭姆波聲場(chǎng)互易性的一種體現(xiàn)。在a1模截止頻率以下，兩邊s0或者a0模式自身的反射系數(shù)，如Ra0(1)a0(1)與Ra0(3)a0(3)以及Rs0(1)s0(1)與Rs0(3)s0(3)也相等。這意味著在低于a1模截止頻率時(shí)從板的兩側(cè)收發(fā)a0得到的反射信號(hào)幅度相同，收發(fā)s0模式得到的反射信號(hào)也相同。

2.2 階梯板共底面時(shí)厚度比對(duì)散射的影響

參照?qǐng)D1b，如果其中2h4=0，那么階梯兩端共底面。板厚為2h1=4 mm，2h3=0～4 mm。a0模式和s0模式在低頻時(shí)(低于a1模截止頻率)散射規(guī)律如圖3。由于結(jié)構(gòu)不對(duì)稱，所以對(duì)稱模式s0與反對(duì)稱模式a0之間有了模式轉(zhuǎn)換。例如Ta0(1)s0(3)和Ra0(1)s0(1)，前者表示從板①入射的a0模透射到板③中轉(zhuǎn)換為s0模的能量比例或者能量散射系數(shù)，后者表示板①內(nèi)入射到階梯上的a0模式向板①內(nèi)s0模式的能量散射系數(shù)。此外，還可以發(fā)現(xiàn):

1)透射系數(shù) Ts0(3)s0(1)、Ta0(1)a0(3)、Ta0(3)a0(1)越大，反射系數(shù)Ra0(1)a0(1)、Ra0(3)a0(3)、Rs0(3)s0(3)、Rs0(1)s0(1)越小。這與對(duì)稱階梯板的散射規(guī)律相似;而透射和反射中的對(duì)稱與反對(duì)稱模式轉(zhuǎn)換系數(shù)隨階梯差變化具有拋物線特征。

2)無(wú)論s0模式還是a0模式，頻率越高，越接近a1模截止頻率，散射系數(shù) Rs0(1)s0(1)、Ts0(1)s0(3)、Ra0(1)a0(1)、Ta0(1)a0(3)、Ra0(3)a0(3)、Rs0(3)s0(3)對(duì)于階梯板厚差的細(xì)微變化越敏感，尤其是在接近a1模截止頻率時(shí)最顯著。這與對(duì)稱階梯板的情形不同。另外頻率越高，對(duì)稱反對(duì)稱模式轉(zhuǎn)換現(xiàn)象越顯著。

3)與對(duì)稱階梯板相似，階梯兩端任意兩個(gè)模式之間的能量透射系數(shù)相等，或者說(shuō)呈現(xiàn)一種互易性。如Ts0(3)a0(1)(板③中s0模入射時(shí)對(duì)板①中a0模的透射系數(shù)，其它依次類推)與Ta0(1)s0(3)，Ts0(1)s0(3)與Ts0(3)s0(1)等等。但是階梯兩邊的a0與s0模式自身的反射系數(shù)卻不相同，即Ra0(1)a0(1)與 Ra0(3)Ra0(3)不等，Rs0(1)s0(1)與Rs0(3)s0(3)不等。這意味著從兩側(cè)檢測(cè)板厚變化時(shí)，遵循的回波信號(hào)幅度與板厚變化多少的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同。這與對(duì)稱階梯板不同。

圖2 軸對(duì)稱階梯鋼板散射規(guī)律，板厚:2h1=4 mm，2h3=0～4 mm，藍(lán)綠紅淺藍(lán)分別對(duì)應(yīng)100 kHz，400 kHz，800 kHz，1.2 MHzFig.2 Scattering characteristics of Lamb wave at symmetric step-like thickness variation:2h1=4 mm，2h3=0 ～4 mm Harmonic frequency:100 kHz(blue)，400 kHz(green)，800 kHz(red)，1.2 MHz(cyan)

2.3 確定厚度比時(shí)階梯相對(duì)位置對(duì)散射的影響

參照?qǐng)D1b如果2h3=2 mm，2h1=4 mm，改變2h2=0～2 mm，2h4=2～0 mm，那么 a0模與 s0模的散射系數(shù)變化曲線如圖4所示。從圖中可以評(píng)判不同模式散射系數(shù)對(duì)于板厚改變對(duì)稱性(板①與板③的厚度差一定的情況下，兩者中性面接近的程度，2h2=1 mm時(shí)兩者共中性面，意味著板厚對(duì)稱改變)的敏感程度:

1)能量散射系數(shù)曲線全部以2h2=1 mm為中心，對(duì)稱分布。僅從能量散射系數(shù)不能判定板兩側(cè)哪一側(cè)厚度損失或者增加更多。

2)沿入射方向，如果板厚增厚，即入射方向是從板③到板①。隨著板厚變化對(duì)稱程度增加，除了a0模式反射系數(shù)Ra0(3)a0(3)減少外，s0模與a0模的反射和透射系數(shù)(Ta0(3)a0(1)，Rs0(3)s0(3)，Ts0(3)s0(1))都增加。沿入射方向，如果板厚減薄，隨著板厚變化對(duì)稱性增加，除了s0模式的反射系數(shù)(Rs0(1)s0(1))減少外，s0模與a0模的反射和透射系數(shù)(Ta0(1)a0(3)，Ra0(1)a0(1)，Ts0(1)s0(3))都增加。

圖3 共面階梯鋼板散射規(guī)律，板厚:2h1=4 mm，2h3=0～4 mm藍(lán)紅淺藍(lán)分別對(duì)應(yīng)100 kHz，400 kHz，800 kHzFig.3 Scattering characteristics of Lamb wave at step-like thickness variation on one surface:2h1=4 mm，2h3=0 ～4 mm Harmonic frequency:100 kHz(blue)，300 kHz(red)，400 kHz(cyan)

圖4 對(duì)稱性對(duì)階梯板散射的影響，板厚:2h1=4 mm，2h3=2 mm，2h2=0～2 mm，藍(lán)紅淺藍(lán)分別對(duì)應(yīng)100、400、800 kHzFig.4 Effect of structure symmetry on scattering coefficients，where 2h1=4 mm，2h3=2 mm and 2h2=0 ～2 mm Harmonic frequency:100 kHz(blue)，300 kHz(red)，400 kHz(cyan)

3)無(wú)論沿哪個(gè)方向入射，對(duì)稱模式與反對(duì)稱模式之間的模式轉(zhuǎn)換系數(shù)，反射(Rs0a0，Ra0s0)系數(shù)和透射(Ta0s0，Ts0a0)系數(shù)均減小。

4)頻率增加，以上現(xiàn)象對(duì)于階梯厚度變化對(duì)稱性的敏感程度增加。

5)兩個(gè)入射方向上透射系數(shù)具有互易性，即從散射區(qū)左側(cè)模式A入射到散射區(qū)右側(cè)模式B的能量比例，或者從散射區(qū)右側(cè)模式B入射到散射區(qū)左側(cè)模式A的能量比例，兩者相同。A與B可以是相同模式。

3 結(jié)論

以上計(jì)算驗(yàn)證了一些已有的階梯板散射規(guī)律:板內(nèi)s0模式或者a0模式入射波遇到不對(duì)稱厚度改變時(shí)，有模式轉(zhuǎn)換現(xiàn)象;s0模式與a0模式的反射系數(shù)并不總是隨厚度差增加而單調(diào)增加，只有頻厚積較小時(shí)才呈現(xiàn)這樣的規(guī)律。

此外，通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn):

1)以往認(rèn)為頻率增加，蘭姆波對(duì)于小尺寸厚度變化的檢測(cè)能力增加。在不對(duì)稱厚度變化的情況下，該假定成立;如果板厚度變化對(duì)稱，而入射模式為s0模式，該假定并不成立。

2)階梯板任意兩側(cè)傳播模式之間的透射系數(shù)具有能量上的互易性。如果階梯板對(duì)稱，在低頻時(shí)(低于a1模截止頻率)，a0、s0模在散射區(qū)兩側(cè)的反射系數(shù)相等。

3)在低頻下，若板厚變化趨近于對(duì)稱，a0、s0模式自身的透射系數(shù)都增加，相互之間的模式轉(zhuǎn)換減少。

根據(jù)這些結(jié)果，可以認(rèn)為，檢測(cè)板厚變化時(shí)，a0模比s0模具有更好的適用性;在a1模截止頻率以下提高a0模的檢測(cè)頻率能提高對(duì)于小厚度變化的檢出率;一發(fā)一收法檢測(cè)時(shí)，收發(fā)互換，若兩探頭輸入輸出阻抗性能一致，接收到的信號(hào)幅度相同;除非階梯板對(duì)稱，單發(fā)單收法檢測(cè)時(shí)探頭置于散射區(qū)兩側(cè)回波幅度不同;低頻時(shí)模式轉(zhuǎn)換能量減少意味著入射模式透射能量增加。

［1］Rose J.A baseline and vision of ultrasonic guided wave inspection potential［J］.ASME Journal of Pressure Vessel Technology-Special Issue on Nondestructive Characterization of Structural Materials，2002，124(3):273 －282.

［2］Cho Y.Estimation of ultrasonic guided wave mode conversion in a plate with thickness variation［J］.IEEE Ultrasonics，F(xiàn)erroelectrics，and Frequency Control Society，2000，47(3):591 －603.

［3］Lowe M，Cawley P.Long range guided wave inspection usagecurrent commercial capabilities and research directions(Internal Report) ［DB/OL］.www3.imperial.ac.uk/pls/portallive/docs/1/55745699.PDF，2006－3－29/2011－9－8.

［4］Song W，Rose I，Galan J，et al.Ultrasonic guided wave scattering in a plate overlap［J］.IEEE Ultrasonics，F(xiàn)erroelectrics，and Frequency Control Society，2005，52(5):892 －903.

［5］景永剛，張海燕，劉鎮(zhèn)清.板材厚度變化對(duì)Lamb波透射系數(shù)的影響［J］.聲學(xué)技術(shù)，2006，25(1):26－29.

［6］田光春，劉鎮(zhèn)清，景永剛.臺(tái)階型厚度變換板中的導(dǎo)波的研究［J］.無(wú)損檢測(cè)，2003，25(7):333－348.

［7］Zhang S，Shen J，Ying C.The reflection of the Lamb wave by a free plate edge:Visualization and theory［J］.Material Evaluation，1988，46:638 －641.

［8］Shkerdin G，Glorieux C.Lamb mode conversion in a plate with a delamination［J］.Journal of Acoustical Society of America，2004，116(4):2089－2100.

［9］Castaings M，Clezio E，Hosten B.Modal decomposition method for modeling the interaction of Lamb waves with cracks［J］.Journal of Acoustical Society of America，2002，112(6):2567 －2582.

［10］Wang M，Ying C F.Scattering of Lamb waves by a circular cylinder［J］.Journal of Acoustical Society of America，2001，110(4):1752–1763.

［11］Pagneux V，Maurel A.Lamb wave propagation in inhomogeneous elastic waveguides［J］.Proceedings of the Royal Society A，2002，458:1913–1930.

［12］Pagneux V，Maurel A.Lamb wave propagation in elastic waveguides with variable thickness［J］.Proceedings of the Royal Society A，2006，462:1315 －1339.

［13］鳳飛龍.復(fù)雜結(jié)構(gòu)蘭姆波散射的模式展開法研究［D］.北京:中國(guó)科學(xué)院研究生院博士學(xué)位論文，2007:23－39.