陳貴亮，李長鵬，劉更謙

（河北工業(yè)大學(xué) 機械學(xué)院，天津 300130）

0 引言

我國和世界上許多國家一樣正在進入老齡化。大量老齡人患有偏癱癥狀的腦血管疾病，中國的發(fā)病率稍偏高于世界平均水平，屬于腦卒中高發(fā)地區(qū)之一，而且在年齡上呈現(xiàn)出年輕化趨勢[1]。

70%～80%的腦卒中患者會留有不同程度的下肢運動障礙。臨床醫(yī)學(xué)證明，腦卒中偏癱患者除了手術(shù)和必要的藥物治療以外，早期的運動康復(fù)治療能夠明顯提高患者肢體運動功能的最終恢復(fù)程度。神經(jīng)康復(fù)醫(yī)學(xué)理論證明：中樞神經(jīng)系統(tǒng)具有高度可塑性。以此為依據(jù)，通過將計算機控制技術(shù)、康復(fù)醫(yī)學(xué)和機器人相結(jié)合，將醫(yī)師從傳統(tǒng)的“多對一”康復(fù)訓(xùn)練模式中解放出來，為患者提供科學(xué)的、安全的和高效率的康復(fù)訓(xùn)練。因此，康復(fù)機器人技術(shù)已成為國內(nèi)外研究的熱點。

文獻[2～4]中闡述了魯棒自適應(yīng)控制應(yīng)用于不確定性機器人軌跡跟蹤問題的研究成果，但仍存在著控制器結(jié)構(gòu)復(fù)雜、計算量大和穩(wěn)定性差等問題。將預(yù)先獲得的近似模型作為標稱模型用于控制器設(shè)計，能夠減輕計算機運行負擔，縮短運算時間，實現(xiàn)在線實時控制。文獻[5～7]中的控制方法并沒有考慮未建模動態(tài)和環(huán)境不確定因素。

本課題組研發(fā)的下肢外骨骼康復(fù)機器人系統(tǒng)具有強耦合非線性動態(tài)特性和參數(shù)不確定的特征。本文中根據(jù)其動力學(xué)模型特征和康復(fù)訓(xùn)練控制要求，采用的變結(jié)構(gòu)魯棒自適應(yīng)補償控制器不需對系統(tǒng)的未知參數(shù)進行估計，通過引入非線性阻尼項來消除未建模動態(tài)、未知有界擾動和參數(shù)不確定性的影響。將兩個相互獨立的控制器相結(jié)合可以達到對這類系統(tǒng)實時、精確的控制目的。利用Lyapunov理論對其進行的分析和仿真實驗研究證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

1 下肢外骨骼康復(fù)機器人系統(tǒng)

下肢外骨骼康復(fù)機器人虛擬樣機及其右腿結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示。

圖1 下肢外骨骼康復(fù)機器人虛擬樣機及其右腿結(jié)構(gòu)簡圖

外骨骼機器人大腿桿繞點O1轉(zhuǎn)動，長度為l1，與豎直垂線之間的夾角為髖關(guān)節(jié)角q1；小腿桿繞點O2轉(zhuǎn)動，長度為l2，與大腿桿延長線的夾角為膝關(guān)節(jié)角q2。根據(jù)以上下肢外骨骼康復(fù)機器人系統(tǒng)的物理模型，可為其建立完整的拉格朗日動力學(xué)方程為：

這里，a1, a2為類函數(shù)，c0>0, d0≥0為常數(shù)。為了不失一般性，我們假設(shè)r(·)有這樣的形式：r(h) =h2r0(h2)，其中，r0是一個非負的光滑函數(shù)。否則，我們可以將r表示為是一個充分小的實數(shù)。

為了描述未建模動態(tài)對控制系統(tǒng)的影響，我們使用一個動態(tài)信號r，定義為：

且對于所有t≥0，式（5）成立。對于所有t≥T0≥0，存在一個有限常數(shù)T0，使得D(t)=0。

由式（2）和式（5）得：

j'(w, q, u, t)為系統(tǒng)中不確定非線性以及和未建模動態(tài)w及q、u、 有關(guān)的不確定性，j'和p都是未知的非線性Lipschitz連續(xù)函數(shù)，并且滿足：

由式（6）～式（8）得：

T負為負載作用等效到關(guān)節(jié)的等效力矩，可由力傳感器和其到相應(yīng)關(guān)節(jié)的距離獲得；非線性摩擦T摩＝［F1F2]T可表示為[9]：

式中，F(xiàn)s，F(xiàn)c分別為未知的靜摩擦力和動摩擦力，正常數(shù)ds、dc分別為其上界，i=1, 2。

根據(jù)以上的分析推導(dǎo)，為減輕系統(tǒng)計算負擔，對下肢外骨骼康復(fù)機器人系統(tǒng)的不確定性進行參數(shù)分離得：

2 控制器設(shè)計及穩(wěn)定性分析

下肢外骨骼康復(fù)機器人系統(tǒng)的標稱動力學(xué)模型為：）

根據(jù)文獻[10]中的計算力矩控制設(shè)計方法，則系統(tǒng)的標稱輸入力矩和輸入加速度矢量分別為：

因此外骨骼康復(fù)機器人系統(tǒng)的標稱力矩輸入為：

由式（13）和（17）得誤差方程：

根據(jù)以上可知，這是基于機器人標稱模型的前饋加反饋控制，前饋的作用在于抵消各關(guān)節(jié)的耦合，反饋則用于補償跟蹤偏差。式（18）表明如果適當選擇反饋增益KD，Kp軌跡誤差可以漸近穩(wěn)定收斂于0。

將式（17）帶入式（1）得：

將式（20）帶入實際模型式（1）有：

上式表明，如果通過適當?shù)剡x擇補償控制器，并使計算出的補償值能趨近于系統(tǒng)的不確定項，能夠使下肢外骨骼康復(fù)機器人的實際系統(tǒng)達到期望的指標。

已知A為穩(wěn)定矩陣，則存在一個正定矩陣P使下列Lyapunov方程有解：ATP+PA=-Q，其中，QR2×2是給定的正定對稱矩陣。

針對式（22）給出下列變結(jié)構(gòu)魯棒自適應(yīng)控制算法[11]：

其中，對角陣 為參數(shù)自適應(yīng)修正速率，s為系統(tǒng)特性設(shè)計給定的修正參數(shù)，用于增加系統(tǒng)的魯棒性。

選取Lyapunov函數(shù)為：

將式（25）對時間求導(dǎo)得：

通過上面的推導(dǎo)得知Lyapunov函數(shù)滿足以下條件：

根據(jù)Lyapunov定理，下肢外骨骼康復(fù)機器人的實際系統(tǒng)達到期望的指標，即全局指數(shù)穩(wěn)定。

3 仿真實驗

采用課題中下肢外骨骼康復(fù)機器人的數(shù)學(xué)模型用于仿真實驗，以驗證本文算法的可行性和有效性。以男性身高175mm，體重70kg為康復(fù)訓(xùn)練對象，人體和外骨骼結(jié)構(gòu)參數(shù)為大、小腿質(zhì)量分別為6.72kg和2.94kg，大腿桿質(zhì)量和長度為m1=1.5kg，l1=0.5m，小腿桿質(zhì)量和長度為m2=1kg，l2=0.4m，桿上相應(yīng)的傳感器到髖、膝關(guān)節(jié)的距離分別為0.25m和0.2m。則式（1）中的M0(q)、C0(q, q.)、G0(q)具體表達式為：

利用Matlab/Simulink仿真工具箱并用M文件編寫S函數(shù)模塊進行仿真，先對美國斯坦福大學(xué)開發(fā)的OpenSim軟件[12]中提供的人體步態(tài)數(shù)據(jù)進行擬合，獲得右髖、膝關(guān)節(jié)的跟蹤軌跡為:

盡管系統(tǒng)存在未建模動態(tài)和擾動等，采用兩個獨立控制器的聯(lián)合作用后，實際軌跡能夠快速跟蹤期望軌跡，開始時小幅度地跟隨曲線趨勢的變化，存在的位置誤差被控制在人體關(guān)節(jié)運動的安全范圍內(nèi)，并且保證指數(shù)意義下漸近穩(wěn)定、全局收斂一致有界。

圖2 2s步態(tài)周期髖關(guān)節(jié)角度軌跡

圖3 2s步態(tài)周期膝關(guān)節(jié)角度軌跡

4 結(jié)論

分析證明，本文針對本課題組研發(fā)的下肢外骨骼康復(fù)機器人系統(tǒng)動力學(xué)模型的非線性，所提出的兩個相互獨立的控制器共同作用，基于標稱模型的計算力矩控制器通過高頻采樣，實現(xiàn)有偏差跟蹤的控制方法，可以減輕計算機負擔，保證系統(tǒng)的實時性。利用變結(jié)構(gòu)魯棒自適應(yīng)控制構(gòu)造的補償控制器，彌補由于未建模動態(tài)、外部有界擾動和非線性不確定項等造成的影響，通過引入的滑動方程使系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內(nèi)到達切換面，開始存在的位置誤差在人體關(guān)節(jié)運動的安全范圍內(nèi)，符合康復(fù)醫(yī)學(xué)的要求。仿真實驗研究結(jié)果表明，本文提出的控制策略在跟蹤速度和精度上都具有明顯優(yōu)勢。

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