黃 穗， 韓春明

（1. 中國電子科技集團(tuán)公司第三十八研究所，安徽 合肥 230088；2. 合肥工業(yè)大學(xué)建筑與藝術(shù)學(xué)院，安徽 合肥 230009）

多面體具有豐富的幾何表現(xiàn)力，在人類的生產(chǎn)生活中具有廣泛的應(yīng)用，如圖1所示。因此，關(guān)于多面體的各種研究也在廣泛開展，探討多面體的構(gòu)成[1-2]，以及其在裝潢[3]，機(jī)械加工[4]，包裝[5-6]，服裝[7-8]，三維人體建模[9]，建筑[10]，地質(zhì)[11]，化學(xué)[12]等方面的應(yīng)用。

無論是在建筑設(shè)計(jì)、產(chǎn)品設(shè)計(jì)、雕塑創(chuàng)作還是其他藝術(shù)設(shè)計(jì)中，球體是經(jīng)常被運(yùn)用的設(shè)計(jì)元素。但由于受到材質(zhì)、工藝、技術(shù)、成本、視覺效果等諸多因素影響，現(xiàn)實(shí)中的球體造型往往用多面體來代替，如圖2所示。圖3是計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)中常用的兩種用來表示球面的網(wǎng)格，其實(shí)也是多面體對(duì)球體的逼近。

目前，對(duì)多面體表示球體的方法已有大量討論和研究，比如采用切割、變形等多種幾何方法使多面體逐漸達(dá)到近似球體的效果[13]。在此基礎(chǔ)上，本文提出了用多面體逼近球體的評(píng)判準(zhǔn)則，以及在這些準(zhǔn)則下改進(jìn)逼近效果的方法。最后以實(shí)例說明多面體逼近球體在工業(yè)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。

圖1 多面體造型示例

圖2 用多面體構(gòu)建的球形建筑和產(chǎn)品

1 多面體逼近球體的評(píng)判準(zhǔn)則

用多面體逼近球體，即是用多邊型構(gòu)成的封閉表面去近似地表示球面。球面是距空間一定點(diǎn)為等長的所有點(diǎn)構(gòu)成的光滑的凸起封閉曲面，此曲面上任何一點(diǎn)與其它點(diǎn)的地位都是平等的，因此很自然地對(duì)逼近它的多面體有如下規(guī)則：

1）每個(gè)頂點(diǎn)處的多面角的各平面角之和小于360°，但越接近于360°越好；

2）每條棱處的二面角小于180°，但越接近于180°越好；

3）有外接球面，即各頂點(diǎn)共球面；

4）有內(nèi)切球面，即各個(gè)面與同一球面相切；

5）各頂點(diǎn)在空間分布得盡量均勻，因此各面盡可能為正多邊形，且各面的面積差別越小越好；

6）多面體表面各點(diǎn)到被逼近球體的球心的距離越接近越好，即表面上點(diǎn)離中心最遠(yuǎn)的距離與最近的距離之比（姑且稱之為遠(yuǎn)近比）越接近于1越好。如外接球面和內(nèi)切球面都存在，則它們的半徑越接近越好，且要求盡量共心；

7）頂點(diǎn)、面和棱盡量少，以降低建造成本，增加結(jié)構(gòu)強(qiáng)度。

以上規(guī)則反映了球面的特性，例如規(guī)則1），既體現(xiàn)了球面的彎曲性質(zhì)，又對(duì)其光滑性作了要求。若各平面角之和等于360°，則組成此多面角的各面或其中部分面共面，于是此多面角的各棱或部分棱就成為多余。而各平面角之和越接近于360°，則多面體的表面就越光滑。規(guī)則 2）也是如此。

上述規(guī)則未必都能滿足，但滿足得越多越好。例如，在現(xiàn)實(shí)中有些逼近球體效果很好的多面體，其外接球面和內(nèi)切球面未必同時(shí)存在，圖3中的兩種網(wǎng)格就是，后面還會(huì)用其它實(shí)例說明。而且各規(guī)則未必都能被同時(shí)兼顧，例如規(guī)則7）和前幾條，應(yīng)根據(jù)具體情況綜合權(quán)衡。

圖3 計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)球面的兩種常用表示方法

2 改進(jìn)逼近效果的方法

對(duì)已有的近似于球體的多面體，一般常用以下兩種方法對(duì)其逼近效果加以改進(jìn)：

1）削去頂點(diǎn)，形成一新的多邊形面，其邊數(shù)等于原頂點(diǎn)處多面角的面數(shù)，如圖4所示，削去頂點(diǎn)A后，形成新的四邊形面BCDE。

圖4 削去多面體的頂點(diǎn)

用初等幾何的方法即可證明，在新多邊形各頂點(diǎn)處的多面角，其各平面角之和都大于被削頂點(diǎn)處各平面角之和。這是對(duì)規(guī)則1）的逼近效果的改進(jìn)。

多面體表面到被逼近球體的球心距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)在頂點(diǎn)處，因此削去頂點(diǎn)后，多面體表面各點(diǎn)到球心的距離更加接近。這是對(duì)規(guī)則6）的逼近效果的改進(jìn)。

2）多面體表面各多邊形向其中心收縮，則產(chǎn)生削去原多面體頂點(diǎn)和棱的效果，在原頂點(diǎn)處產(chǎn)生新的多邊形面，邊數(shù)與該頂點(diǎn)處多面角的面數(shù)相同，在原棱處產(chǎn)生新的四邊形面。

圖5中，頂點(diǎn)A周圍各面收縮后，頂點(diǎn)A被削去，產(chǎn)生了一個(gè)新的四邊形（多面角A為四面角），棱AB被削去，產(chǎn)生一個(gè)新的四邊形。

圖5 多面體表面收縮，頂點(diǎn)被削去，產(chǎn)生新的多邊形，被削去的棱處出現(xiàn)新的四邊形

易證多面角被削去后，在所產(chǎn)生的多邊形各頂點(diǎn)處的多面角，其周圍平面角之和都大于被削多面角周圍平面角之和。而且，收縮后的面的各邊處的二面角大于相應(yīng)被削去的棱處的二面角。如圖5右圖中，頂點(diǎn)C處周圍各平面角之和大于中圖中頂點(diǎn)A處周圍各平面角之和；右圖中棱CD處的二面角也大于中圖中棱AB處的二面角。

這樣一來，規(guī)則 1），2），6）的逼近效果都得到了改進(jìn)。

3 正多面體對(duì)球體的逼近效果及改進(jìn)

正多面體是由同種正多邊形為面構(gòu)成的多面體，其各頂點(diǎn)和各面分布得最均勻，且具有同心的外接球面和內(nèi)切球面。由于多面體的棱數(shù)E，面數(shù)F和頂點(diǎn)數(shù)V必須滿足歐拉公式故正多面體只有5種（也稱柏拉圖立體[13]），即正四面體，正六面體，正八面體，正十二面體和正二十面體（圖6）。顯然正多面體中，正十二面體和正二十面體對(duì)球體的逼近效果較好。表1對(duì)這兩種正多面體的逼近效果作了比較。

對(duì)正多面體可進(jìn)一步改進(jìn)使它們更好地逼近球體。一般可采用如下兩種方法。

方法1削去頂點(diǎn)，在每個(gè)頂點(diǎn)處截去一個(gè)正多棱錐，則原頂點(diǎn)處產(chǎn)生一個(gè)新的正多邊形面，而原頂點(diǎn)被每條棱上新產(chǎn)生的兩個(gè)頂點(diǎn)代替。若ViVj為原來的任一條棱，現(xiàn)被截成Vi'Vj'，其中0＜α＜ 1 /2。表面上原來的正n邊形變?yōu)?n邊形。

圖6 5種正多面體

表1 正十二面體與正二十面體逼近球體的效果比較

方法2 表面收縮。若原表面為正n邊形， 其頂點(diǎn)為則收縮后的多邊形頂點(diǎn)為 {Pk'},k= 1 ,… ,n，其中原頂點(diǎn)和棱都被削去，其原位置分別產(chǎn)生新的正多邊形和矩形。

下面以正二十面體為例，采用上述兩種方法進(jìn)行改進(jìn)。

使用方法1，在頂點(diǎn)處削去一個(gè)正五棱錐，形成一個(gè)正五邊形面。選取α=1/3，使原來的棱保留中間的三分之一，三角形面被截成一個(gè)正六邊形（圖7）。這樣得到的多面體表面由12個(gè)正五邊形和 20個(gè)正六邊形組成，這是一個(gè)半正多面體（由幾種邊長相同的正多邊形圍成的立體，也稱阿基米得立體），表面有60個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)為兩個(gè)六邊形和一個(gè)五邊形形成的三面角的頂點(diǎn)，3個(gè)平面角之和為348°。兩個(gè)相鄰六邊形構(gòu)成的二面角即原正二十面體相鄰面構(gòu)成的二面角，其大小約為 138.19°（余弦值為而相鄰的五邊形和六邊形構(gòu)成的二面角約為 1六邊形面由原三角形切去3個(gè)角形成，故仍與原內(nèi)切球面相切。顯然各頂點(diǎn)到原正 20面體的中心的距離相同，因此有外接球面，易算得外接球面與原內(nèi)切球面的半徑比（也是遠(yuǎn)近比）為。與12個(gè)正五邊形相切的球面半徑與原內(nèi)切球面的半徑比為這就是說，改進(jìn)后的多面體表面的12個(gè)正五邊形和20個(gè)正六邊形分別與兩個(gè)同心的球面相切，這兩個(gè)球面半徑略有不同（相差約1.02653倍），因此此多面體無內(nèi)切球面。為使多面體的兩種正多邊形與相同的球面相切，可適當(dāng)增加被截五棱錐的高度，使截得的正五邊形中心到多面體中心的距離等于原內(nèi)切球面的半徑，但六邊形不再是正六邊形，六邊形與五邊形的公共邊略大于六邊形之間的公共邊。

圖7 正二十面體削去頂點(diǎn)

使用方法2，收縮表面三角形，削去原多面體的頂點(diǎn)和棱，在原頂點(diǎn)處出現(xiàn)正五邊形，而在原有的棱處出現(xiàn)矩形。當(dāng)時(shí)，三角形的邊長收縮為原邊長的≈ 0 .35倍時(shí)，兩三角形之間的矩形為正方形，這樣原來的正20面體成為由邊長相同的正三角形，正方形和正五邊形圍成的半正多面體，如圖8(a)所示。此多面體有 60個(gè)頂點(diǎn)，各頂點(diǎn)到多面體的中心的距離相同，即在以多面體中心為球心的外接球面上。多面體的表面由 20個(gè)正三角形，30個(gè)正方形和12個(gè)正五邊形構(gòu)成。每個(gè)頂點(diǎn)處為四面角，分別為一個(gè)正三角形的內(nèi)角，兩個(gè)正方形的內(nèi)角和一個(gè)正五邊形的內(nèi)角，它們的和為348°。三角形與正方形之間的二面角約為159.1°（其余弦為正方形與正五邊形之間的二面角約為 148.3°（其余弦為

此多面體的中心到其表面各正多邊形的最近點(diǎn)都是各正多邊形的中心，而三角形中心到多面體中心的距離即為原二十面體的內(nèi)切球面半徑r。若記正五邊形和正方形的中心到多面體中心的距離分別為r5和r4，外接球面半徑為R，有R:r:r4:r5= 1 .0352:1:0.982:0.957，且其中最大與最小者之比（遠(yuǎn)近比）R:r5= 1 .081555672。

由此可見，表面收縮法改進(jìn)正二十面體逼近球體的效果比頂點(diǎn)削去法好。其實(shí)表面收縮法的遠(yuǎn)近比還可減小。取時(shí)，三角形的邊長收縮為原邊長的 1 -3α≈ 0 .4428倍，這時(shí)正五邊形與正三角形的外接圓半徑相等，因此正五邊形與正三角形的中心到正多面體的中心距離相等，五邊形的邊長小于三角形的邊長，四邊形不再是正方形，但各多面角和二面角不變，如圖8(b)所示。四邊形（矩形）的外接圓半徑（即對(duì)角線之一半）小于五邊形和三角形的外接圓半徑。因此，矩形中心到多面體中心的距離大于五邊形或三角形中心到多面體中心的距離，其比值約為 1.00052。所以這時(shí)的遠(yuǎn)近比即為多面體各頂點(diǎn)到多面體中心的距離與三角形（或五邊形）中心到多面體中心的距離之比，約為1.05566。

圖8 20面體經(jīng)過面收縮后得到的多面體

從遠(yuǎn)近比來看，取α= 0.1857的效果比α=0.21654的效果好，但視覺效果并不好，這是因?yàn)檎叫巫兂删匦魏?，正五邊形周?個(gè)正三角形和矩形圍成的十邊形不再是正十邊形，如圖8所示，而且右邊的多面體中，以正五邊形為頂?shù)呐_(tái)體似乎更尖更凸。

4 多面體對(duì)球體的逼近在工業(yè)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

相比于其他立體幾何形態(tài)，球體表面光滑，形態(tài)勻稱，能帶給人柔和感和親切感。因此在工業(yè)設(shè)計(jì)尤其是產(chǎn)品造型設(shè)計(jì)中得到大量應(yīng)用。但是，由于審美的需要，光滑球體經(jīng)常用多面體來近似表達(dá)，以突出豐富的視覺效果和層次感。圖9所示為一款項(xiàng)鏈的水晶吊墜設(shè)計(jì)，其看似球體的造型實(shí)際上是由切割后的多面體構(gòu)成。在這里，用多面體近似表示球體可以增強(qiáng)水晶的折射度，充分展現(xiàn)水晶的光彩，同時(shí)球體的表達(dá)效果也沒有被削弱。而如果直接采用光滑的球面作為造型，則無法突顯其質(zhì)地的華麗璀璨。

圖9 用多面體近似表達(dá)球體的水晶吊墜

除審美需求外，材料或工藝的限制也會(huì)使設(shè)計(jì)師考慮用多面體來代替球體達(dá)到效果，例如用鋼梁構(gòu)建球形框架，用平板材料構(gòu)造球型容器，用小塊皮革拼縫球類的外殼等，例如圖2。以足球?yàn)槔?，多?shù)足球的外殼是用 20個(gè)正六邊形和12個(gè)正五邊形的皮塊拼成的，這正是圖7所示的削去正二十面體的頂點(diǎn)而得到的半正多面體，打足氣后，多面體外殼被撐成球體。盡管圖8所示的由二十面體表面收縮所得的多面體對(duì)球體有更好的逼近效果，但所呈現(xiàn)的視覺印象過于“零碎”，表面面數(shù)太多，反而會(huì)增加成本和加工復(fù)雜性，同時(shí)還可能降低結(jié)構(gòu)強(qiáng)度。綜合考慮制造工藝、成本、結(jié)構(gòu)強(qiáng)度、美觀效果等因素，對(duì)足球而言，圖7的方案應(yīng)該更加可行。但在其它場(chǎng)合，例如球型建筑，大型球型容器，文獻(xiàn)[13]提出的包括圖8的各種方案也不失為很好的選擇。當(dāng)然，根據(jù)本文所提出的逼近原則和實(shí)際對(duì)象的具體特性要求，還可設(shè)計(jì)出更加豐富多彩的產(chǎn)品外觀造型。

5 結(jié) 論

本文討論了用多面體逼近球體效果的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)和改進(jìn)方法，并以實(shí)例說明這些方法在工業(yè)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。從文中的實(shí)例可見，各標(biāo)準(zhǔn)之間往往不能同時(shí)兼顧，需要根據(jù)實(shí)際情況加以權(quán)衡。在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)根據(jù)各種需要的輕重緩急分別盡可能地給予滿足。

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