龔春林，韓 璐

(西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，西安 710072)

RBCC可重復(fù)使用運載器上升段軌跡優(yōu)化設(shè)計①

龔春林，韓 璐

(西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，西安 710072)

針對火箭基組合動力(RBCC)可重復(fù)使用運載器(RLV)軌跡多段、多控制變量、推力與飛行軌跡耦合，飛行軌跡設(shè)計困難的問題，提出了基于高斯偽光譜方法的數(shù)值優(yōu)化求解模型和求解方法，并獲得滿足要求的上升段燃料最省軌跡。將該軌跡分為3部分，分別由引射火箭、亞燃沖壓和超燃沖壓發(fā)動機提供動力，以攻角和燃料秒流量為控制變量，根據(jù)軌跡任務(wù)和各模態(tài)發(fā)動機啟動及工作條件建立優(yōu)化模型、設(shè)定各段末端和路徑約束，利用高斯偽譜法求解最優(yōu)軌跡并利用特殊方法計算邊界控制變量。通過與傳統(tǒng)方法所得軌跡的對比表明，所建立的優(yōu)化模型和方法可快速求解出RBCC運載器上升段最優(yōu)軌跡，優(yōu)化結(jié)果符合RBCC運載器工作特點。

火箭基組合動力;軌跡優(yōu)化;高斯偽譜法

0 引言

火箭基組合動力裝置(Rocket Based Combined Cycle，RBCC)可充分利用大氣層中氧氣而無需攜帶氧化劑，可大幅提高運載器載荷系數(shù)，綜合比沖是現(xiàn)有火箭發(fā)動機的數(shù)倍，使人類更加廉價、頻繁地進入太空成為可能，在空間運載領(lǐng)域備受關(guān)注。

相對傳統(tǒng)的火箭動力，RBCC是復(fù)雜的吸氣式動力裝置，它綜合了引射火箭(Ejector)、亞燃沖壓(Ramjet)、超燃沖壓(Scramjet)等模態(tài)，其工作性能與飛行狀態(tài)相互影響，且工作范圍較寬，推力變化較大，這就決定了RBCC運載器的運載能力與軌跡設(shè)計關(guān)系更為密切，且軌跡設(shè)計約束更為嚴(yán)格和復(fù)雜。為了提高運載器載荷系數(shù)，就必須盡可能減少上升過程所消耗的燃料。但為了最大程度發(fā)揮RBCC優(yōu)勢，得到上升段燃料最省軌跡，傳統(tǒng)運載器軌跡設(shè)計經(jīng)驗和規(guī)律已難以勝任，采用基于最優(yōu)控制理論的優(yōu)化設(shè)計方法是必然趨勢。

國外在論證RBCC運載器時，主要通過POST和OTIS飛行軌跡優(yōu)化程序進行優(yōu)化設(shè)計［1］，但由于并非為RBCC飛行器特別設(shè)計，未能考慮RBCC工作特點，在計算過程中易出現(xiàn)不合理的RBCC發(fā)動機性能計算狀態(tài)。國內(nèi)對RBCC飛行器的研究尚處于起步階段，對其軌跡研究大多停留于方案的可行性研究，而對最優(yōu)軌跡的求解方法研究不足。文獻［2］給出了基于馬赫數(shù)-動壓參考曲線的RBCC飛行器爬升段軌跡設(shè)計方法，雖然考慮了發(fā)動機性能與飛行狀態(tài)之間的相互影響，但未采用優(yōu)化方法，因此無法獲得最優(yōu)解;文獻［3］對固體運載火箭上升段分段軌跡優(yōu)化進行了研究，但由于火箭發(fā)動機不存在啟動條件約束問題，因此未引入段間交接條件約束，其模型也無法用于RBCC飛行器的軌跡優(yōu)化。

本文以某亞軌道RBCC運載器為對象，針對以上描述的該類飛行器軌跡設(shè)計特殊問題，建立以全程攻角和燃料消耗量為控制變量的優(yōu)化設(shè)計模型，并基于高斯偽光譜方法，建立以燃料最省為目標(biāo)的優(yōu)化求解模型，通過某飛行器算例驗證方法并與采用傳統(tǒng)方法所得軌跡進行對比，以證明其優(yōu)越性。本文的研究旨在結(jié)合RBCC飛行器的特點建立優(yōu)化設(shè)計方法、優(yōu)化建模思路和分析結(jié)論，為這類新型飛行器的軌跡設(shè)計提供可行的途徑。

1 問題描述

RBCC運載器作為第一級助推器，其任務(wù)剖面如圖1所示。

圖1 RBCC運載器上升段軌跡任務(wù)剖面圖Fig.1 The profile of ascent trajectory of RLV powered by RBCC

采用水平方式起飛，經(jīng)引射、亞燃、超燃3種工作模態(tài)，將有效載荷運送至臨近空間，然后返回。決定其運載能力的主要是上升段，包括4個階段:

(1)起飛離地階段。在引射火箭發(fā)動機工作下，從靜止加速至起飛速度。

(2)引射模態(tài)加速及爬高階段。該階段從離地狀態(tài)加速至亞燃發(fā)動機的接力條件。引射發(fā)動機的比沖和推力較小，其軌跡設(shè)計難點在于如何盡快爬高和加速，盡早轉(zhuǎn)入高比沖的亞燃階段，避免長時間的低空阻力消耗。提高爬高速度可通過增大飛行攻角實現(xiàn)，但同時會增大飛行阻力，減小加速度。因此，攻角規(guī)律的選擇必須在二者之間權(quán)衡。

(3)亞燃模態(tài)加速及爬高階段。該階段發(fā)動機比沖最高。其設(shè)計矛盾在于:從加速角度，提高燃油噴注量可提高發(fā)動機推力，有利于加速，但同時發(fā)動機比沖降低;從爬高角度，如果爬升過快，則發(fā)動機進氣量下降，比沖和推力降低;如爬高過慢，由于大氣密度高、阻力太大，同樣影響飛行器性能。

(4)超燃模態(tài)加速及爬高階段。該階段工作高度和速度較高，軌跡設(shè)計的矛盾與亞燃階段相似。

另外，對各模態(tài)轉(zhuǎn)接問題，吸氣式發(fā)動機的啟動條件給運載器的飛行狀態(tài)提出了嚴(yán)格限制，同時由于各模態(tài)發(fā)動機在馬赫數(shù)等方面的工作范圍存在重疊，因此，必須根據(jù)各模態(tài)特點和飛行狀態(tài)，合理確定各模態(tài)轉(zhuǎn)接點。

通過以上分析可知，RBCC運載器的飛行軌跡和燃料消耗量的確定受到的約束條件非常苛刻，必須在諸多約束之間權(quán)衡協(xié)調(diào)。目前尚沒有其他確定該類飛行器攻角和燃油調(diào)節(jié)規(guī)律以使燃料最省的方法，必須通過優(yōu)化設(shè)計的手段實現(xiàn)。

2 優(yōu)化問題建模

2.1 狀態(tài)方程

影響飛行器性能的主要是縱向平面內(nèi)軌跡，因此飛行器狀態(tài)方程可通過以下二維方程統(tǒng)一描述:

式中V、θ、x、H、m、α、mz分別為飛行速度、軌跡傾角、航程、高度、質(zhì)量、攻角和燃料秒消耗量;P=Ispmz為發(fā)動機推力，Isp為發(fā)動機比沖，與馬赫數(shù)Ma、α、H密切相關(guān)。

對于不同工作模態(tài)，Ma、α、H燃油當(dāng)量比φ對比沖的影響規(guī)律不同，計算表達式為

式中Isp，e(·)、Isp，r(·)、Isp，s(·)分別為引射、亞燃、超燃狀態(tài)下的比沖插值表，由發(fā)動機性能分析或試驗給出。

升力Y和阻力X的計算公式:

式中S為飛行器參考面積;CX和CY分別為阻力系數(shù)和升力系數(shù)，根據(jù)攻角和馬赫數(shù)插值而得。

飛行過程中動壓計算公式:

駐點熱流峰值計算公式:

式中 ρ為大氣密度，kg/(km)3;C為常數(shù)，取3.008;R為駐點處曲率半徑，取0.25 m，速度單位km/s。

2.2 優(yōu)化模型

2.2.1 優(yōu)化指標(biāo)

選擇在滿足給定任務(wù)指標(biāo)的前提下，最小燃料消耗作為優(yōu)化指標(biāo):

式中t0，i為第i階段終止時間;tf，i為第i階段終止時間。

由于各段連續(xù)工作，有

2.2.2 設(shè)計變量

對本文研究的RBCC運載器，攻角變化規(guī)律和油量調(diào)節(jié)規(guī)律決定了飛行軌跡，且這2個參數(shù)對載荷能力影響很大。因此，選擇攻角和燃料秒消耗量作為控制變量。同時，吸氣式發(fā)動機工作要求飛行器攻角范圍不能太大，且燃料消耗也需在一定范圍內(nèi)。綜上，設(shè)計變量可描述為

αi，min、αi，max、mzi，min、mzi，max與各階段發(fā)動機工作模態(tài)有關(guān)，通過發(fā)動機工作包絡(luò)性能分析獲得。

2.2.3 狀態(tài)變量

狀態(tài)變量包括速度、軌跡傾角、航程、高度、質(zhì)量、動壓和駐點熱流峰值等。設(shè)S為狀態(tài)變量，則根據(jù)軌跡任務(wù)要求，可將狀態(tài)變量路徑約束和邊界條件約束分別描述為

2.2.4 發(fā)動機啟動條件

飛行狀態(tài)直接決定吸氣式發(fā)動機能否順利啟動，將吸氣式發(fā)動機啟動條件轉(zhuǎn)換為模態(tài)切換點處攻角和馬赫數(shù)約束:

3 基于高斯偽譜法的求解方法

在軌跡優(yōu)化理論中，數(shù)值解法一般分為直接法和間接法［4-5］。對非線性系統(tǒng)而言，采用間接法求解兩點邊值問題時，需估計出沒有物理意義的協(xié)態(tài)變量初值，這一缺陷制約了間接法的應(yīng)用。直接法采用離散最優(yōu)化逼近最優(yōu)控制，將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化成參數(shù)優(yōu)化問題，從而避免了對協(xié)態(tài)變量初始值的估算，大大降低了求解最優(yōu)控制問題的難度，因此本文采用直接法。高斯偽譜法(Gauss Pseudospectral method，GPM)是直接法的一種，適合RBCC飛行器軌跡優(yōu)化求解。

3.1 高斯偽譜法的求解思路

高斯偽譜法將未知的狀態(tài)變量和控制變量在一系列高斯點上離散，并以這些離散點為節(jié)點構(gòu)造拉格朗日插值多項式來逼近狀態(tài)和控制變量。通過對全局插值多項式求導(dǎo)，來近似狀態(tài)變量對時間的導(dǎo)數(shù)，將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為具有一系列代數(shù)約束的參數(shù)優(yōu)化問題，即非線性規(guī)劃問題(NLP)［6-7］。

3.2 連續(xù)最優(yōu)控制問題的離散

采用高斯偽譜法，需將軌跡優(yōu)化問題的時間區(qū)間［t0，tf］轉(zhuǎn)換到［-1，1］，對時間變量t作變換:

高斯偽譜法取K階勒讓德-高斯(LG)點以及τ0=-1作為節(jié)點，構(gòu)成K+1個拉格朗日插值多項式，并以此為基函數(shù)，構(gòu)造狀態(tài)變量和控制變量的近似表達式，即

對式(15)求微分有:

從而將微分方程動態(tài)約束轉(zhuǎn)換為一系列代數(shù)約束:

其中，k=1，…，K。

將終端約束條件離散，并用高斯積分來近似:

性能指標(biāo)可由高斯積分近似為

邊界條件變?yōu)?/p>

路徑約束為

其中，k=1，…，K。

3.3 邊界控制變量處理方法

高斯偽譜法控制變量僅在LG點處離散，因此而得的NLP問題無法合理處理邊界處控制變量。但本文中各階段末端攻角為下一階段吸氣式發(fā)動機啟動條件之一，因而要求必須合理求解各階段末端控制變量。為此，本文基于Huntington的工作采用如下方法求解邊界控制變量。

由于邊界處不考慮最優(yōu)控制問題的路徑約束，考慮Hamilton函數(shù)不含路徑約束的形式:

將路徑約束引入可行控制變量集合:

式中U是τ0時刻控制變量的所有可行解集合;C0是該時刻滿足路徑約束的控制變量集合。

這樣對控制變量的求解轉(zhuǎn)換為對如下約束優(yōu)化問題的求解:

該方法適用于初始及終端控制變量的求解。

4 算例

4.1 算例描述

某RBCC運載器的任務(wù)是將一定質(zhì)量的載荷運送到35 km的目標(biāo)高度，Ma≥8。該運載器采用乘波體外形，設(shè)計起飛質(zhì)量為50 t，從地面水平起飛。

RBCC各模態(tài)工作范圍為引射模態(tài)Ma為0～3，亞燃沖壓模態(tài)Ma為1.5～6，啟動時要求攻角位于-2～3°范圍內(nèi);超燃沖壓模態(tài)Ma取5以上，啟動時要求攻角位于-1～1°范圍內(nèi)。該運載器使用液氫燃料，全程燃料流量可調(diào)。引射模態(tài)下攻角變化范圍為-5～15°，亞燃和超燃模態(tài)時均為-2～2°;各模態(tài)燃料消耗量變化范圍均為150～200 kg/s，要求最終燃料消耗不超過20 t。全程要求動壓不大于2.5×105N/m2，駐點熱流峰值不大于6.0×105W/m2。求解過程中，各段軌跡間存在耦合，耦合形式為上段軌跡末端狀態(tài)作為本段軌跡的初始狀態(tài)。

4.2 狀態(tài)變量約束設(shè)定

根據(jù)第2節(jié)建立的優(yōu)化模型和該飛行器的任務(wù)要求，其狀態(tài)約束條件如表1、表2所示。

表1 狀態(tài)變量初始及終端約束設(shè)定Table 1 The initial and terminal constraint of state variables

表2 狀態(tài)變量路徑約束設(shè)定Table 2 The path constraint of state variables

4.3 計算結(jié)果

根據(jù)傳統(tǒng)的軌跡設(shè)計經(jīng)驗，引射階段由于推力小阻力大，大攻角離地之后，在保證足夠升力的前提下應(yīng)盡快減小攻角;為節(jié)省燃料，燃料流量除了在起飛離地和跨音速階段需要保持較大值之外，其余均應(yīng)限制在較小值。亞燃和超燃模態(tài)由于推力較大，保持小攻角和較小燃料流量飛行，不但可減小阻力損失和保持較好的進氣條件，且可保證較大的爬升速度。另外，在確定模態(tài)轉(zhuǎn)接條件時，應(yīng)當(dāng)盡可能增加比沖最大的亞燃沖壓發(fā)動機的使用范圍。

計算結(jié)果如圖2～圖10所示。圖中未標(biāo)記的曲線是根據(jù)設(shè)計經(jīng)驗，采用傳統(tǒng)實驗設(shè)計方法，經(jīng)過大量計算、耗費大量機時設(shè)計出的上升段軌跡，是所計算的大量可行軌跡中燃料消耗最少的。用“GPM”標(biāo)記的則是采用高斯偽譜法獲得的燃料最省軌跡曲線，曲線上所標(biāo)記的點便是LG點和邊界點。圖中“E-R”表示引射模態(tài)與亞燃沖壓模態(tài)切換點;“R-S”表示亞燃沖壓模態(tài)與超燃沖壓模態(tài)切換點。

4.4 結(jié)果分析

由質(zhì)量變化曲線可知，在滿足所有約束前提下，采用傳統(tǒng)實驗設(shè)計方法所得軌跡消耗燃料19.6 t，而采用高斯偽譜法所得軌跡消耗燃料17.7 t，節(jié)省燃料達9.7%，且爬升所需時間更短。

圖2 攻角變化曲線Fig.1 The history of angle of attack

圖3 攻角變化曲線(GPM)Fig.3 The history of angle of attack(GPM)

圖4 燃料流量變化曲線Fig.4 The history of fuel flow

圖5 燃料秒流量變化曲線(GPMFig.5 The history of fuel flow(GPM

圖6 馬赫數(shù)變化曲線Fig.6 The history of Mach number

圖7 軌跡曲線Fig.7 The curve of trajectory

圖8 質(zhì)量變化曲線Fig.8 The history of mass

圖9 動壓變化曲線Fig.9 The history of dynamic pressure

圖10 駐點熱流峰值變化曲線Fig.10 The history of heating of rate stagnation point

由計算結(jié)果可知，引射模態(tài)推力較小，在該階段初期應(yīng)將能量主要用于加速，以使飛行器擁有較大的爬升初速度，之后將能量更多用于爬升，以盡快脫離大氣對流層;亞燃模態(tài)階段推力大、阻力小，應(yīng)盡可能減小攻角使速度和高度快速提升;超燃模態(tài)下，高斯偽譜法與傳統(tǒng)方法所得結(jié)果有著明顯區(qū)別，由于該階段推力大、高度高、阻力小，應(yīng)適當(dāng)增大攻角和燃料流量，在提高速度的同時，使高度也能快速增加，以減少所需時間和燃料消耗。在亞燃和超燃模態(tài)轉(zhuǎn)接處，攻角出現(xiàn)一定幅度變化，這是由于將模態(tài)間切換視為瞬間完成，在亞燃和超燃模態(tài)切換時，由于比沖突然減小，且空氣阻力較小，因此采用減小攻角的方法來減小重力在加速過程中的不利影響，此處攻角變化速度為1.9°/s。模態(tài)交接馬赫數(shù)分別為1.5和6，在飛行過程中，應(yīng)盡可能增加推力較大、效率較高的亞燃沖壓發(fā)動機的使用時間。

5 結(jié)論

(1)根據(jù)優(yōu)化結(jié)果分析可知，優(yōu)化后得到的燃料/攻角聯(lián)合調(diào)節(jié)規(guī)律符合RBCC運載器各階段工作特點，因此所建立的優(yōu)化模型是合理的。

(2)針對RBCC運載器多段、多控制變量、動力與飛行軌跡耦合等特點，利用高斯偽譜法以及對邊界控制變量的特殊求解方法，可快速求得滿足所有約束和指標(biāo)的上升段燃料最省軌跡，并通過與傳統(tǒng)方法所得軌跡的對比，證明該方法可大大減少燃料消耗，在RBCC運載器軌跡設(shè)計上具有巨大的優(yōu)越性。

(3)通過優(yōu)化分析，引射模態(tài)消耗的推進劑約占全過程消耗推進劑的55%，是決定爬升過程中推進劑質(zhì)量消耗的關(guān)鍵;亞、超燃沖壓發(fā)動機推力大、效率高，應(yīng)盡可能增加整個飛行過程中沖壓發(fā)動機使用范圍。

［1］Doug N.Qualitative and quantitative assessment of optimal trajectories by implicit simulation(OTIS)and program to optimize simulated trajectories(POST)［R］.Georgia:Georgia Institute of Technology，2001.

［2］呂翔，何國強，劉佩進.RBCC飛行器爬升段軌跡設(shè)計方法［J］.航空學(xué)報，2010，31(7):1331-1337.

［3］楊希祥，張為華.基于Gauss偽譜法的固體運載火箭上升段軌跡快速優(yōu)化研究［J］.宇航學(xué)報，2011，32(1):15-21.

［4］Biegler L T.An overview of simultaneous strategies for dynamic optimization［J］.Chemical Engineering and Processing;Process Intensification，2007，46(11):1043-1053.

［5］雍恩米，唐國金，陳磊.基于Gauss偽譜方法的高超聲速飛行器再入軌跡快速優(yōu)化［J］.宇航學(xué)報，2008，29(6):1766-1772.

［6］周文雅，楊滌，李順利.利用高斯偽譜法求解具有最大橫程的再入軌跡［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2010，32(5):1038-1042.

Optimization of ascent trajectory for RBCC-powered RLV

GONG Chun-lin，HAN Lu
(College of Astronautics，Northwestern Polytechnical University，Xi＇an 710072，China)

Since the multi-phase and multi-control-variable trajectory of the reusable launch vehicle(RLV)which is coupled with the thrust powered by rocket based combined cycle(RBCC)is difficult to solve，the numerical optimization model and method based on Gauss Pseudospectral Method(GPM)were proposed，and the optimal-fuel ascent trajectory was obtained.The trajectory is divided into three phases powered by rocket，ramjet and scramjet in sequence.The angle of attack and fuel flow are control variables，and according to the trajectory mission，the ignition and work condition of the each mode，the optimization model was built，the terminal and path constraints were imposed.The optimal trajectory was solved by using GPM and the boundary control variables were solved by a special method.Compared with the result by traditional method，the optimization model and GPM can solve trajectory optimization problems effectively，and the optimal result accords with the characteristic of the RBCC-powered RLV and satisfies all the constraints.

RBCC;optimization of trajectory;Gauss pseudospectral method

V421.1

A

1006-2793(2012)03-0290-06

2011-11-03;

2011-12-05。

武器裝備預(yù)研基金(9140A20100111HK0318);西北工業(yè)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計重點扶持項目。

龔春林(1980—)，男，副教授，研究方向為飛行器總體設(shè)計。E-mail:leonwood@nwpu.edu.cn

(編輯:崔賢彬)