朱曉臨， 鄧祥龍， 胡德敏

（合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009）

圖像是人眼最直接接收到的事物的最原始的信息，圖像中最重要的信息是由圖像中邊緣和輪廓提供的，所以對(duì)圖像中目標(biāo)物體邊緣的研究是非常必要的。在醫(yī)學(xué)圖像處理中，邊緣檢測(cè)是非常關(guān)鍵的技術(shù)之一，目的是更好地將目標(biāo)物體的邊緣標(biāo)記出來(lái)。例如在腫瘤病灶確定、椎間盤(pán)邊緣位置確定、冠心病診斷、左心室邊緣抽取、腦腔血塊大小檢測(cè)等方面占有舉足輕重的地位。

在圖像處理中，邊緣是指圖像中其周?chē)袼鼗叶戎涤须A跳性變化和屋頂狀（灰度值由增加到減少的變化轉(zhuǎn)折點(diǎn)）變化的那些像素的集合。因?yàn)閳D像采集過(guò)程中存在一些不確定的因素，干擾了圖像的清晰度，會(huì)產(chǎn)生噪聲、對(duì)比度不強(qiáng)、圖像模糊等等問(wèn)題，從而影響對(duì)圖像關(guān)鍵信息——邊緣的提取或強(qiáng)化，所以人們一直致力于研究和解決如何構(gòu)造具有良好性質(zhì)和檢測(cè)效果的邊緣檢測(cè)方法?，F(xiàn)階段比較成熟的是傳統(tǒng)的圖像邊緣檢測(cè)方法，微分運(yùn)算是傳統(tǒng)邊緣檢測(cè)與提取的主要手段。根據(jù)邊緣具有階跳性變化或屋頂狀變化的特點(diǎn)，邊緣點(diǎn)對(duì)應(yīng)于圖像中一階微分最大或最小、或是二階微分呈零交叉或二階微分取極值的點(diǎn)。一階微分算子包括 Robert算子[1]、Sobel算子、Prewitt算子[2]和 Kirsch[3]算子等，二階微分算子包括Laplacian算子、LOG[4]算子等。另外，Canny[5]算法是種基于一階微分的多尺度邊緣檢測(cè)算法，是一種較好的邊緣檢測(cè)算法，但為了得到較好的邊緣檢測(cè)結(jié)果，通常需要使用較大的濾波尺度，這樣容易丟失一些細(xì)節(jié)。

上述邊緣檢測(cè)算子中，Kirsch算子在醫(yī)學(xué)圖像邊緣檢測(cè)以及其它很多領(lǐng)域都一直在廣泛應(yīng)用，例如Li Huiqi, Opas chutatape在2000年提出利用 Kirsch算子檢測(cè)糖尿病性視網(wǎng)膜病變后眼底圖像的邊緣來(lái)區(qū)別不同成分[6]；M A Bottalico,A Starita在2000年利用Kirsch算子檢測(cè)頸動(dòng)脈超聲圖像邊緣[7]；Mahmoudi, Maryam Tayefeh在2003年研究了它在車(chē)道檢測(cè)中的應(yīng)用[8]，在嘈雜的環(huán)境中 Kirsch算子有較好的檢測(cè)效果；Md Saidur Rahman[9]等在2009年利用Kirsch算子對(duì)手寫(xiě)數(shù)字進(jìn)行識(shí)別；高萍、王偉等在 2010年將它與光流法結(jié)合檢測(cè)運(yùn)動(dòng)物體[10]等。Kirsch算子采用8個(gè)模板進(jìn)行檢測(cè)，能較好地保持圖像的細(xì)節(jié)，但存在著計(jì)算量大、檢測(cè)運(yùn)行時(shí)間長(zhǎng)、邊緣連接性較差、丟失弱邊緣等缺點(diǎn)。針對(duì)Kirsch算子存在的缺點(diǎn)，近些年來(lái)國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了進(jìn)一步研究，例如呂俊白在 2001年通過(guò)矩陣變換來(lái)減少算子的運(yùn)算量[11]、吳懷宇在 2009年采用改進(jìn)的Otsu法[12]和王寶樹(shù)在2009年采用拋物線法[13]自動(dòng)獲取閾值來(lái)保持圖像弱邊緣，但仍存在弱邊緣提取不全的缺點(diǎn)。

本文采用一種多閾值選取和邊緣連接算法對(duì) Kirsch算法進(jìn)行了改進(jìn)，可以獲得保持弱邊緣、連接性較好的檢測(cè)結(jié)果。

1 傳統(tǒng)Kirsch邊緣檢測(cè)算子

Kirsch算子是幾種經(jīng)典的邊緣檢測(cè)算子之一，至今仍有廣泛的應(yīng)用。1971年，R. Kirsch[3]提出了一種圖像像素順時(shí)針循環(huán)求梯度的方法來(lái)進(jìn)行邊緣檢測(cè)。他使用8個(gè)模板來(lái)確定梯度的大小和方向，是一種最佳匹配的邊緣檢測(cè)。

設(shè)待檢測(cè)圖像的3×3子圖像如下：

0 a a1a27 a (i, j) a36 a a5a4

用 M0～M7分別與子圖像中的各個(gè)對(duì)應(yīng)元素相乘，計(jì)算這8個(gè)結(jié)果的最大值作為中心像素的近似梯度值，其對(duì)應(yīng)的方向作為邊緣的方向；8個(gè)卷積核形成了Kirsch算子。在進(jìn)行邊緣提取時(shí)，圖像中每一個(gè)像素對(duì)應(yīng)的3×3子圖像都與這8個(gè)模板進(jìn)行卷積，然后輸出最大值。

Kirsch算子通過(guò)對(duì)圖像進(jìn)行8個(gè)方向的邊緣檢測(cè)能取得較好的效果，它可以較好地保持圖像的細(xì)節(jié)，但是最初得到的邊緣圖像較為粗糙，一般采用取閾值的辦法來(lái)獲得較為清晰的邊緣圖像。而這樣得到的邊緣圖像，經(jīng)過(guò)人工取閾值以后，容易產(chǎn)生連續(xù)性較差的問(wèn)題，同時(shí)容易丟失掉梯度值較小的弱邊緣。

2 多閾值選取與邊緣連接的邊緣檢測(cè)算法概述

設(shè)I表示待檢測(cè)圖像，I( i, j)表示圖像I中(i, j)處的像素值。用上述8個(gè)模板對(duì)待檢測(cè)圖像I做卷積，則式(1)表示8個(gè)模板對(duì)圖像I做卷積所得到的(i, j)處的梯度值?？梢杂梢幌盗衜( i, j)組成梯度圖像G

其中，M和N表示待檢測(cè)圖像I的高度和寬度。

傳統(tǒng)的Kirsch算子在獲得了梯度圖像G以后，設(shè)定了一個(gè)閾值，然后對(duì)圖像進(jìn)行二值化，得到最后的邊緣圖像。這時(shí)，若閾值選取過(guò)大，則可以去除虛假邊緣，但同時(shí)也造成了弱邊緣的丟失；若閾值選取過(guò)小，則可以保持弱邊緣，但又會(huì)造成虛假邊緣增多。因此固定地選取某一個(gè)閾值總是不能很好地解決二者的矛盾。

針對(duì)Kirsch算子的缺點(diǎn)，本文提出多閾值選取與邊緣連接的邊緣檢測(cè)算法：為了避免噪聲對(duì)邊緣檢測(cè)的影響以及檢測(cè)出虛假邊緣，首先對(duì)原始圖像用Gauss濾波進(jìn)行去噪處理，然后利用傳統(tǒng)的Kirsch算子提取圖像邊緣，再設(shè)定一個(gè)較低的閾值保持圖像的全部邊緣、一個(gè)較高的閾值提取出圖像真正的邊緣，得到連接性較差的邊緣圖像，再利用局部均值與標(biāo)準(zhǔn)差獲得一幅邊緣連接完整但粗糙的圖像作為下一步邊緣連接的基礎(chǔ)，最后利用本文改進(jìn)的邊緣連接算法將斷裂的邊緣連接，從而得到連接性良好的邊緣圖像。

3 算法具體步驟

根據(jù)以上分析，本文算法分4步進(jìn)行，具體步驟如下：

Step 1 在進(jìn)行傳統(tǒng)的 Kirsch算子處理之前，我們首先采用較小尺度的Gauss濾波對(duì)圖像進(jìn)行平滑去噪，目的是消除噪聲對(duì)邊緣檢測(cè)的影響以及去除噪聲點(diǎn)等虛假邊緣。設(shè)二維Gauss函數(shù)[14]為

σ為Gauss函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差。對(duì)圖像用Gauss濾波做平滑去噪實(shí)質(zhì)上是將圖像與Gauss函數(shù)做卷積的過(guò)程。我們這里選擇Gauss核為3，σ2=1的Gauss濾波器對(duì)圖像進(jìn)行處理，這樣可以在去除噪聲點(diǎn)的同時(shí)更好地保留了邊緣效果。

Step 2 利用傳統(tǒng)的Kirsch算子進(jìn)行邊緣檢測(cè)，得到上述梯度圖像G。

Step 3 設(shè)定一個(gè)低閾值，記為T(mén)1，它的選取原則是不造成弱邊緣的丟失，即T1小于弱邊緣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的梯度值。這樣我們得到包含我們想要的全部邊緣的圖像D

圖像D的邊緣點(diǎn)的梯度值大于T1，這會(huì)造成圖像D的邊緣線較為粗糙，模糊不清。如果我們想得到較為細(xì)膩、清晰的邊緣線，一種最直接的方法就是在圖像D的基礎(chǔ)上再設(shè)定一個(gè)較大的閾值，即大于這個(gè)較大的閾值的邊緣點(diǎn)都被認(rèn)作為圖像的邊緣。但這樣做的結(jié)果是邊緣線不連續(xù)，因?yàn)橹挥胁糠址蠗l件的邊緣點(diǎn)被保留了下來(lái)。

本文的做法是利用局部圖像的像素值的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，自適應(yīng)地選取較大的閾值。

對(duì)圖像D求每個(gè)3×3子圖像像素的標(biāo)準(zhǔn)差。以(i, j)為中心的3×3子圖像的像素標(biāo)準(zhǔn)差為

由表達(dá)式可知，圖像F1是由圖像D中局部區(qū)域 D ( i, j)≥T2的點(diǎn)所構(gòu)成的，這些點(diǎn)一定是圖像的邊緣，而在 D ( i, j)＜T2的點(diǎn)中也會(huì)含有一些圖像的邊緣，于是這樣的取值可找到圖像的部分真正邊緣，但是圖像F1中的邊緣是斷裂的，連接性差。

因此，我們?cè)偃3＞D( i, j)，得到圖像D中像素值大于其局部平均值的點(diǎn)的集合F2

作為對(duì)下一步連接邊緣圖像的基礎(chǔ)。

Step 4 通過(guò)以上的方法，我們得到了一個(gè)初步的邊緣圖像結(jié)果，圖像中還存在一些斷裂的邊緣線。為了得到更好的邊緣圖像，我們采用一種基于“邊緣模式”的連接算法[15]來(lái)得到連續(xù)邊緣。

在3×3子圖像中，邊緣的存在形式有16種，如圖1所示。

圖1 3×3鄰域16種邊緣模式

圖1中黑色部分表示圖像邊緣。

連接邊緣的具體做法是：

Step 4.1 逐一掃描邊緣圖像F1的每一個(gè)像素。若(i, j)是邊緣像素，則在圖像F2中找到與(i, j)對(duì)應(yīng)像素的3×3子圖像SFi,j，在這個(gè)3×3子圖像上定義上述16種邊緣模式。

Step 4.2 設(shè) E MVn表示SFi,j中第n種邊緣模式對(duì)應(yīng)的3個(gè)像素之和

Step 4.4 用M1,,表示 3×3子圖像中對(duì)應(yīng)于模式中的像素。給定閾值，如果＞T4，那么在3×3子圖像中與，，有相同位置的像素被標(biāo)記為邊緣像素，令其像素值為255；否則不是邊緣像素。

其中閾值T4的取法：文獻(xiàn)[15]中該閾值取為2.5382～10.153之間，這會(huì)造成圖像邊緣連接不完全以及連接的邊緣在兩端處出現(xiàn)“工”字型邊角。本文取

Step 4.5 重復(fù)上述步驟，直至圖像沒(méi)有新的邊緣點(diǎn)增加。

利用上述邊緣連接算法可以得到連續(xù)性良好的邊緣圖像，連接后的圖像會(huì)出現(xiàn)許多孤立的噪聲點(diǎn)，去除孤立點(diǎn)的方法為：在連接完畢的邊緣圖像中，逐一檢查3×3子圖像，計(jì)算子圖像的像素之和，若和為255，則認(rèn)為是孤立點(diǎn)，將其去除。

4 算法的實(shí)現(xiàn)和結(jié)果比較

下面分別用不同閾值下的傳統(tǒng)Kirsch算子、本文的多閾值選取與邊緣連接的邊緣檢測(cè)算法對(duì)Lena標(biāo)準(zhǔn)圖像進(jìn)行邊緣檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果如圖2所示。

圖2 不同閾值的Kirsch算子與本文方法的Lena圖像檢測(cè)結(jié)果

圖2中的(a)為 Lena原圖，(b)、(c)、(d)為Kirsch算子閾值分別取 20、30、40后的邊緣提取結(jié)果，(e)為本文方法提取結(jié)果。由圖2可見(jiàn)，當(dāng)Kirsch算子選取較低閾值時(shí)，可基本將圖像邊緣提取出來(lái)，但輪廓線粗糙模糊；隨著加大閾值，雖輪廓線稍加清晰，但造成了較為嚴(yán)重的邊緣丟失。而本文方法可以在清晰輪廓的同時(shí)較好地保持邊緣。

目前，Canny算子是最常用的邊緣檢測(cè)方法。下面用傳統(tǒng)的Kirsch算子、Canny算子和本文方法對(duì)人體大腦、胸腔、腹腔的CT圖像進(jìn)行邊緣檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果如圖3所示。

圖3 中的(a1)、(a2)、(a3)為原圖，(b1)、(b2)、(b3)為傳統(tǒng)Kirsch算子檢測(cè)結(jié)果圖，(c1)、(c2)、(c3)為Canny方法檢測(cè)結(jié)果圖，(d1)、(d2)、(d3)為本文算法檢測(cè)結(jié)果圖。通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比可知，Kirsch算子能一定程度地檢測(cè)出圖像邊緣，但是邊緣提取粗糙，丟失邊緣嚴(yán)重；Canny算子能較好地提取出邊緣，但對(duì)圖像的弱邊緣檢測(cè)不全。仔細(xì)觀察圖像(d1)、(d2)、(d3)與對(duì)應(yīng)的原圖，(d1)、(d2)、(d3)中的細(xì)小的短邊并不是多余的噪聲，而是Kirsch算子與Canny算子沒(méi)有檢測(cè)出的圖像弱邊緣，因?yàn)樗惴ㄖ性O(shè)定的低閾值T1保持了圖像的弱邊緣。結(jié)果顯示本文的算法能有效地保持圖像弱邊緣，且邊緣輪廓比較清晰。

圖3 Kirsch算子、Canny算子與本文方法的檢測(cè)結(jié)果

5 結(jié) 論

針對(duì)Kirsch算子的缺點(diǎn)，本文提出多閾值選取與邊緣連接的邊緣檢測(cè)算法：首先對(duì)原始圖像用 Gauss濾波進(jìn)行去噪處理；再利用傳統(tǒng)的Kirsch算子提取圖像邊緣：先設(shè)置一個(gè)低閾值，保證檢測(cè)到圖像的所有弱邊緣；然后利用均值和標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)自適應(yīng)設(shè)定高閾值，提取出圖像各個(gè)部分的真正邊緣；最后利用本文改進(jìn)的邊緣連接算法連接邊緣，從而得到連接性良好的邊緣圖像。試驗(yàn)表明，本文的邊緣檢測(cè)算法能夠保持圖像的弱邊緣，很好地連接斷裂的邊緣線，檢測(cè)出的邊緣細(xì)膩光滑，噪聲點(diǎn)較少。

[1]Roberts L G. Machine perception of three-dimensional solids [D]. Massachusetts: MIT Press, 1963.

[2]Prewitt J M S. Object enhancement and extraction [C]//Picture Processing and Psychopictorics. Academic Press, New York. 1970: 75-149.

[3]Kirsch R. Computer determination of the constituent structure of biological images [J]. Computers and Biological Research, 1971, 4(3): 315-328.

[4]Marr D, Hildreth E C. Theory of edge detection [C]//Proceedings of the Royal Society of London. Series B,Biological Sciences, 1980, 207(1167): 187-217.

[5]Canny J. A computational approach to edge detection [J].IEEE Trans. Pattern Analysis and Machine Intelligence, 1986, PAMI-8(6): 679- 698.

[6]Li Huiqi, Opas C. Fundus image features extraction [C]//Proceedings of 22th Annual EMBS International Conference, 2000, (4): 3071-3073.

[7]Bottalico M A, Starita A. A computer tool to support carotid ultrasound images analysis [C]//Proceedings of 22th Annual EMBS International Conference, 2000,(4): 2428-2430.

[8]Mahmoudi, Tayefeh M. A comparative study of edge detectors for lane detection [C]//Proceedings of the International Conference on Imaging Science, Systems and Technology, 2003, (2): 526-530.

[9]Rahman M S. An approach to recognize handwritten Bengali numerals for postal automation [C]//Proceedings of 11th International Conference on Computer and Information Technology, 2008: 171–176.

[10]Gao Ping, Sun Xiangju, Wang Wei. Moving object detection based on Kirsch operator combined with Optical Flow [C]//Image Analysis and Signal Processing (IASP), 2010: 620-624.

[11]呂俊白. 基于快速Kirsch與邊緣點(diǎn)概率分析的邊緣提取[J]. 計(jì)算機(jī)應(yīng)用, 2001, 21(2): 33-35.

[12]薛孝琴, 吳懷宇, 游輝勝. 一種改進(jìn) Ostu法在Kirsch邊緣檢測(cè)中的應(yīng)用[J]. 計(jì)算機(jī)與數(shù)字工程,2009, 37(3): 167-171.

[13]康 牧, 王寶樹(shù). 自適應(yīng) Kirsch邊緣檢測(cè)算法[J].華中科技大學(xué)學(xué)報(bào), 2009, 37(4): 47-50.

[14]阮秋琦. 數(shù)字圖像處理基礎(chǔ)[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2009: 155-156.

[15]張光玉, 龔光珍, 朱維樂(lè). 基于克隆算法的彩色圖像邊緣檢測(cè)新算法[J]. 電子學(xué)報(bào), 2006, 34(4):702-707.