杜雪松，朱才朝，劉偉輝，寧 杰

（1重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400030；2杭州前進(jìn)齒輪箱集團(tuán)有限公司，杭州 311203）

1 引 言

船用齒輪箱是船舶動(dòng)力系統(tǒng)的重要設(shè)備之一，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，承載能力和運(yùn)轉(zhuǎn)精度要求高。傳動(dòng)系統(tǒng)的剛度對(duì)其使用性能有重大的影響，在傳動(dòng)過(guò)程中，如果系統(tǒng)剛度不夠會(huì)產(chǎn)生較大的動(dòng)載荷和振動(dòng)噪聲，導(dǎo)致傳動(dòng)系統(tǒng)本身的破壞和故障。因此研究齒輪箱傳動(dòng)系統(tǒng)較為精確的剛度分析及量化評(píng)價(jià)方法，具有十分重要的意義。目前工程中一般都是對(duì)齒輪箱傳動(dòng)系統(tǒng)中各主要零部件單獨(dú)進(jìn)行剛度分析及評(píng)價(jià)，而非基于整個(gè)傳動(dòng)系統(tǒng)的綜合分析。這一方法存在以下缺點(diǎn)：一是各零部件在傳動(dòng)過(guò)程中，其變形既可能相互疊加也可能相互補(bǔ)償，上述方法無(wú)法揭示這種關(guān)系，也無(wú)法判斷其對(duì)系統(tǒng)剛度的影響程度，因而也就無(wú)法對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)的剛度做出準(zhǔn)確的評(píng)價(jià)；二是對(duì)于箱體這類(lèi)結(jié)構(gòu)復(fù)雜的零件，由于缺乏相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)作為評(píng)價(jià)依據(jù)，單獨(dú)分析時(shí)只能基于簡(jiǎn)化的力學(xué)模型進(jìn)行估算，或通過(guò)有限元法進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行定性評(píng)價(jià)，難于保證分析的準(zhǔn)確性[1-4]。

針對(duì)上述問(wèn)題，論文以船用齒輪箱為研究對(duì)象，以使用性能和相關(guān)技術(shù)條件為依據(jù)，綜合考慮齒輪、軸、軸承和箱體的變形及其在運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中的相互關(guān)系，提出了一種較為精確的船用齒輪箱傳動(dòng)系統(tǒng)剛度分析及量化評(píng)價(jià)方法。

2 船用齒輪箱剛度評(píng)價(jià)方法

對(duì)于船用齒輪箱而言，保證齒輪具有良好的嚙合狀態(tài)以及輸入輸出聯(lián)軸器正常工作至關(guān)重要。我國(guó)相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)給出了船用齒輪箱輸入輸出聯(lián)軸器的圓跳動(dòng)（表1）和齒輪副齒向接觸斑點(diǎn)技術(shù)條件（表2）[5]。這兩類(lèi)指標(biāo)給齒輪箱傳動(dòng)系統(tǒng)剛度評(píng)價(jià)提供了基本依據(jù)。

表1 船用齒輪箱輸入、輸出聯(lián)軸器的技術(shù)條件Tab.1 Specifications of Input/Output coupling of marine gearbox

表2 齒輪副齒向接觸斑點(diǎn)技術(shù)條件Tab.2 Specifications of tooth contact pattern

2.1 基于聯(lián)軸器技術(shù)條件的剛度校核

實(shí)踐表明，運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中各零部件的受熱及受載變形都會(huì)導(dǎo)致兩軸軸線產(chǎn)生附加偏移，從而影響聯(lián)軸器的工作平穩(wěn)性和使用壽命[6]。因此，在實(shí)際工程中，安裝調(diào)整后軸間的相對(duì)位移量通常只取許用值的1/2～1/3，剩余的許用偏移量用于補(bǔ)償運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)聯(lián)軸器的附加偏移量。圖1為附加偏移量計(jì)算簡(jiǎn)圖。圖中的水平軸線為經(jīng)安裝時(shí)初步和精確找正后的軸線。軸受載撓曲，使位置1的聯(lián)軸器產(chǎn)生角度偏移。同時(shí)，軸的軸向竄動(dòng)，使聯(lián)軸器到達(dá)位置2。此時(shí)，聯(lián)軸器的徑向圓跳動(dòng)值為

則基于聯(lián)軸器徑向圓跳動(dòng)的剛度校核式可以表示為：

圖1 聯(lián)軸器的偏移Fig.1 Offset of coupling

式中δ為聯(lián)軸器的軸向串動(dòng)量，θ為聯(lián)軸器的偏轉(zhuǎn)角，Δr[]為聯(lián)軸器的許用徑向圓跳動(dòng)，按表1選取。δ與軸向載荷及軸承、軸承座剛度有關(guān)，將軸承和軸承座看成串聯(lián)的彈簧，可得

式中FA為軸所受軸向力，KAb為軸承的軸向剛度，KAB為軸承座的軸向剛度。由圖1的幾何關(guān)系還可以得到聯(lián)軸器的最大端面圓跳動(dòng)為

式中D為聯(lián)軸器直徑。

考慮到標(biāo)準(zhǔn)中是以φ100處的端面圓跳動(dòng)值為基準(zhǔn)，經(jīng)過(guò)換算后基于聯(lián)軸器端面圓跳動(dòng)的剛度校核式為

式中 Δa[]為聯(lián)軸器的許用端面圓跳動(dòng)，按表1選取。

（2）、（5）式中的θ與軸及支承的變形有關(guān)。對(duì)于安裝齒輪的軸，其變形包括軸自身在載荷作用下的變形，以及由于支承的變形反映在軸上的變形。將軸的支承簡(jiǎn)化成串聯(lián)的彈簧（圖2），彈簧的剛度分別是軸承和軸承座的徑向剛度，則

圖2 聯(lián)軸器的偏轉(zhuǎn)角Fig.2 Deflection angle of coupling

式中θa為軸撓曲引起的聯(lián)軸器的轉(zhuǎn)角，θb為支承變形引起的聯(lián)軸器的轉(zhuǎn)角。

θa可根據(jù)彈性力學(xué)變截面梁彎曲理論進(jìn)行計(jì)算，θb可由（7）式計(jì)算。

式中Δb1，Δb2分別為軸兩端支承的變形。θb計(jì)算值為正表明彼此間是疊加關(guān)系，為負(fù)則表明是補(bǔ)償關(guān)系。

式中λb、λB分別為軸承和軸承支座的徑向變形。

由于箱體的形狀較為復(fù)雜，因此（8）式中的λB一般應(yīng)通過(guò)有限元分析得到。λb與軸承的剛度和所受載荷有關(guān)。由于軸承剛度具有明顯的非線性，且初始和裝配時(shí)的工藝參數(shù)（預(yù)緊量、初始游隙等）對(duì)其值也有顯著影響，故要對(duì)運(yùn)轉(zhuǎn)條件下的軸承剛度進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算較為困難。實(shí)際應(yīng)用中，可對(duì)軸承剛度進(jìn)行近似計(jì)算[7]。對(duì)于船用齒輪箱常用的圓柱滾子軸承，其徑向剛度可按（9）式計(jì)算，受徑向和軸向聯(lián)合載荷作用的雙列球面滾子軸承的徑向及軸向剛度可按（10）、（11）式計(jì)算。

以上三式中Q0為軸承中受載最大滾動(dòng)體所受載荷，Z為滾動(dòng)體數(shù)目，l為滾動(dòng)體長(zhǎng)度，α為公稱(chēng)接觸角，Jr、Ja為計(jì)算系數(shù)，與軸向力和徑向力的比值有關(guān)，可通過(guò)迭代計(jì)算得到。

2.2 基于齒輪齒向接觸斑點(diǎn)技術(shù)條件的剛度校核[8]

根據(jù)齒輪齒向載荷分布系數(shù)計(jì)算理論，齒輪嚙合時(shí)的有效接觸寬度bcal可通過(guò)以下方法計(jì)算：

否則

兩式中Fm為分度圓上平均計(jì)算切向力，b為齒寬，F(xiàn)βy為跑合后嚙合齒向誤差，cγ為輪齒嚙合剛度。

在齒輪強(qiáng)度計(jì)算的有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)中，均是在假定箱體、軸承的剛度足夠大，忽略其變形的前提下給出Fβy計(jì)算公式的。但實(shí)踐表明，船用齒輪箱（尤其大功率條件下）的箱體及軸承的變形對(duì)齒輪齒向載荷分布有非常明顯的影響，要準(zhǔn)確計(jì)算bcal，必需要計(jì)及箱體、軸承的變形影響。因此Fβy的計(jì)算式可修正為

式中fsh為軸和齒輪的變形引起的嚙合齒向誤差，xβ為齒向跑合系數(shù)，fsh、xβ的計(jì)算可參考相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)。fP為考慮箱體、軸承變形引起的嚙合齒向誤差，由（15）式計(jì)算。

式中Fβ為齒向誤差，fP1、fP2分別為一對(duì)嚙合齒輪由箱體、軸承變形引起的嚙合齒向誤差，由（16）式計(jì)算。

式中Δb1，Δb2分別為兩端支承的總變形，可參考（8）式計(jì)算，L為支點(diǎn)間距。

以上兩式中的正負(fù)號(hào)表明了各計(jì)算量間是相互疊加還是補(bǔ)償?shù)年P(guān)系，與齒輪相對(duì)與支承的布置方式以及支反力方向等因素有關(guān)，計(jì)算時(shí)需根據(jù)具體情況做詳細(xì)分析。

將（12）、（13）式兩端同除以b，得到基于齒向接觸斑點(diǎn)技術(shù)條件的剛度校核式為：

否則

兩式中 [b′cal]為齒輪副的齒向接觸斑點(diǎn)許用值，可由表2查取。

3 算 例

某船用齒輪箱傳動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)圖如圖3所示。箱體材料為HT250，計(jì)算時(shí)取彈性模量E=120 GPa、泊松比μ=0.26。傳動(dòng)比i=1.976 2，輸入軸轉(zhuǎn)速n1=400r/min，傳遞功率P=7 695 kW，傳遞能力19.2 kW/(r·min-1)。所有齒輪均為斜齒圓柱齒輪。根據(jù)輸入軸轉(zhuǎn)向不同，計(jì)算共分為兩種工況（從輸出端看，輸入軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為工況1，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為工況2）。輸入軸輸入端（靠近聯(lián)軸器一端）采用圓柱滾子軸承，輸出端（遠(yuǎn)離聯(lián)軸器一端）采用球面滾子軸承。

根據(jù)（9）～（11）式計(jì)算得到輸入軸軸承剛度及變形量（表 3）。

圖3 傳動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)圖Fig.3 Sketch of transmission system

表3 輸入軸軸承的剛度及變形量Tab.3 Stiffness and deformation of input shaft bearing

箱體有限元模型如圖5所示，下箱體兩側(cè)翼底面作固定約束，上中下箱體的各接觸面間選用綁定接觸類(lèi)型以加快計(jì)算。采用20節(jié)點(diǎn)六面體單元，模型共計(jì)221 177個(gè)節(jié)點(diǎn)，67 096個(gè)單元。忽略軸承套圈的傾斜，則各滾動(dòng)體所傳遞的軸向負(fù)荷相同，故軸向載荷可按均布載荷加到箱體軸承孔端面上；徑向載荷通過(guò)軸承傳遞到箱體時(shí)，只有部分滾動(dòng)體承受載荷，其負(fù)荷分布區(qū)夾角與滾動(dòng)體數(shù)目、徑向游隙等因素有關(guān)，在負(fù)荷分布區(qū)內(nèi)，可將徑向載荷按余弦分布規(guī)律加到箱體軸承孔上（圖4），載荷密度（不計(jì)徑向游隙）按（19）式確定[9]。

圖4 軸承孔徑向載荷的分布Fig.4 Radial load distribution of bearing housing

圖4 軸承孔徑向載荷的分布Fig.4 Radial load distribution of bearing housing

式中Qφ為與徑向載荷FR成φ角位置的載荷密度，Q0為受載最大滾動(dòng)體載荷，1/t的取值，對(duì)球軸承為3/2，滾子軸承為1.1，h為箱體軸承孔長(zhǎng)度。

圖6和圖7為兩種工況下箱體的綜合位移圖。軸承座的變形量及剛度見(jiàn)表4。從表中可以看出，軸承座徑向剛度在不同工況下其值相差較大（輸入端相差約38.3%，輸出端相差約33.4%），這是由于工況不同，軸承座上的徑向力大小和方向也不同。同時(shí)，加強(qiáng)筋位置和結(jié)構(gòu)尺寸等因素使得軸承座在圓周方向并不完全對(duì)稱(chēng)，從而造成不同工況下軸承座的徑向剛度不等。軸向剛度在兩種工況下基本相同，因?yàn)閮煞N工況下軸向載荷大小相等，僅方向相反，而承載結(jié)構(gòu)又基本相同。

圖5 箱體有限元模型Fig.5 Finite element model of gearbox

圖6 工況1箱體綜合位移 Fig.6 Total deformation of gearbox under No.1 conditions

圖7 工況2箱體綜合位移Fig.7 Total deformation of gearbox under No.2 conditions

表4 輸入軸軸承座的剛度及變形量Tab.4 Stiffness and deformation of input shaft bearing housing

由（6）式計(jì)算得到聯(lián)軸器總轉(zhuǎn)角（表5），由（12）～（18）式計(jì)算得到輸入齒輪副的齒向接觸斑點(diǎn)值（表6），由（2）式，計(jì)算得到聯(lián)軸器的徑向圓跳動(dòng)值（表7）。從表中的數(shù)據(jù)可以看出，在兩種工況下，輸入軸處徑向和軸向剛度均滿足要求。

表5 聯(lián)軸器總轉(zhuǎn)角Tab.5 Total rotation angle of coupling

表6 輸入齒輪副的齒向接觸斑點(diǎn) Tab.6 Tooth contact pattern of input gear-pair

表7 聯(lián)軸器的徑向圓跳動(dòng)Tab.7 Radical circular run-out error of coupling

以上介紹了齒輪箱輸入軸部分的剛度分析及評(píng)價(jià)。船用齒輪箱一般為多級(jí)齒輪傳動(dòng)，因此對(duì)其輸出軸及中間軸部分也要進(jìn)行類(lèi)似的分析，限于篇幅，此處從略。

4 結(jié) 論

綜合考慮軸、軸承、齒輪和箱體等主要零部件的變形及其在傳動(dòng)過(guò)程中的相互影響，基于船用齒輪箱技術(shù)條件中的相關(guān)指標(biāo)，提出了一種較為精確的船用齒輪箱傳動(dòng)系統(tǒng)剛度評(píng)價(jià)新方法。與傳統(tǒng)方法相比，新方法不但可以對(duì)箱體進(jìn)行剛度量化評(píng)價(jià)，避免根據(jù)經(jīng)驗(yàn)定性評(píng)價(jià)，為箱體的結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供計(jì)算依據(jù)，而且對(duì)整個(gè)傳動(dòng)系統(tǒng)的剛度分析及評(píng)價(jià)更為合理和準(zhǔn)確。計(jì)算表明，箱體由于結(jié)構(gòu)復(fù)雜，不同工況下其變形及剛度也不相同，從而使各零部件間的變形并不是穩(wěn)定的疊加或補(bǔ)償關(guān)系，而是隨工況的不同而改變。這有可能導(dǎo)致在某些工況下箱體變形量較小，但傳動(dòng)系統(tǒng)的變形由于疊加關(guān)系反而較大，因此在對(duì)箱體進(jìn)行剛度分析時(shí)，應(yīng)針對(duì)全部工況進(jìn)行。

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