印凡成，王滕滕，黃健元

(1.河海大學(xué)理學(xué)院，江蘇 南京210098；2.河海大學(xué)公共管理學(xué)院，江蘇 南京210098)

對橢圓型p-Laplacian方程解的研究一直是學(xué)者們感興趣的問題，已經(jīng)得到了大量深刻的結(jié)果。有關(guān)p-Laplacian方程在全空間RN上解的存在性研究，常用的方法有不動點(diǎn)法，變分法，上下解法，運(yùn)用山路引理等。各類方法各有其特殊性和優(yōu)勢，同時(shí)也有其局限性。關(guān)于橢圓型p-Laplacian方程的大解，國內(nèi)外許多學(xué)者已經(jīng)運(yùn)用不同的方法進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[1]運(yùn)用上下解方法得到方程

的整體解。文獻(xiàn)[2]也運(yùn)用上下解方法研究非線性橢圓型方程

在光滑有界區(qū)域Ω?RN和整個Ω=RN空間正的邊界爆破弱解的存在性。關(guān)于有界區(qū)域上單個方程形如

其中p>1，Ω?RN的問題，很多學(xué)者都有研究，并有所收獲。尤其在文獻(xiàn)[3]中，作者分別證明了方程在γ>p-1，Ω=RN或Ω是RN上的有界區(qū)域，以及在γ

其中m>1,λ:[0,∞)→[0,∞)是連續(xù)函數(shù)，φ:RN×[0,∞)→[0,∞)也是連續(xù)函數(shù)。同樣方程組以及p(x)-Laplacian方程組問題也有很多學(xué)者進(jìn)行了研究。在文獻(xiàn)[5]中，作者考慮了下面不含梯度項(xiàng)的方程組

的正的整體解的存在性。文獻(xiàn)[6]中，作者研究了下列非線性橢圓型方程組

在有界區(qū)域邊界大解的存在性問題。

在上述文獻(xiàn)中，雖然研究到非線性方程組解的問題，但涉及方程組大解問題的研究非常少。本文將依據(jù)比較原理，借鑒文獻(xiàn)[7]中單個方程在無界區(qū)域上大解存在性問題的上下解方法，通過聯(lián)立解不等式組的方式，結(jié)合具體情況，考慮上下解存在時(shí)需要滿足的條件，研究如下無界區(qū)域上強(qiáng)耦合項(xiàng)的非線性橢圓型p-Laplacian方程組

大解的存在性問題。其中10，m(x),n(x)是RN上的非負(fù)函數(shù)，在RN上H?lder連續(xù)。

1 預(yù)備知識和引理

(2)

(3)

定義2 方程(1)的解u(x)如果滿足當(dāng)x→?Ω時(shí)，有u→∞，則稱u(x)為方程(1)的大解，也稱爆破解。如果Ω=RN，x→?Ω也就是|x|→∞，這樣的解u(x)稱為整體大解，也稱整體爆破解。

引理1[8](弱比較原理) 設(shè)Ω是RN(N≥2)上的有界區(qū)域，邊界?Ω光滑，并且θ是(0,∞)→(0,∞)的連續(xù)不減函數(shù)，設(shè)u1,u2∈W1,p(Ω)，且對任意的非負(fù)函數(shù)ψ∈W1,p(Ω)滿足

▽u1▽ψθ(u1)ψdx≤

如果在邊界?Ω有不等式u1≤u2成立，則在有界區(qū)域Ω上不等式u1≤u2也成立。

引理2[9](單個方程的上下解原理) 非線性橢圓型方程

(4)

其中指數(shù)λ∈(0,1)且f(x,u)關(guān)于u在{(x,u):x∈RN,w(x)≤x≤v(x)}是H?lder連續(xù)，則方程(4)有整體解u(x)滿足w(x)≤u(x)≤v(x)，x∈RN。

證明設(shè)BR是RN上半徑為R的球，考慮邊值問題

sup{|uR|;x∈B2}≤C3

(10)

注1 函數(shù)v(x)(或w(x))滿足偏微分不等式(5)(或(6))被稱為方程(4)在RN上的上解(或下解)。

引理3[5](方程組的上下解原理) 非線性橢圓型方程組

(11)

≤u(x)≤，≤v(x)≤

證明 利用和引理2相同的證明方法，即可證得引理3。具體步驟可參見文獻(xiàn)[5]。

2 主要定理

本文主要研究強(qiáng)耦合項(xiàng)的非線性橢圓型方程組(1)大解的存在性問題。其中10，m(x),n(x)是RN上的非負(fù)函數(shù)，在RN上H?lder連續(xù)。這里所說的大解，也就是一個函數(shù)對(u,v)∈C1,θ(RN)×C1,θ(RN)，在RN上的每一點(diǎn)x都滿足(1)，其中指數(shù)θ∈(0,1)。方程組(1)大解存在需要滿足的條件是(a-p+1)(e-q+1)

任意m(x),n(x)連續(xù)，且?R0>0,m1,m2>0,n1,n2>0和α,β∈R1，使得

(12)

(13)

取

,·,

容易驗(yàn)證

(14)

取

λVk，μUn

(15)

這里λ,μ>0為參數(shù)，n,k>0。

,

(16)

≤u(x)≤，≤v(x)≤

下面證明由(15)-(16)所定義的函數(shù)是問題(1)的上下解。取

，，

先考慮下解的情況，當(dāng)|x|≤R0時(shí)

則

≥k

則

≤

即

(17)

則有

≤

即

≤μq-1-e

(18)

聯(lián)立(17)和(18)解不等式組

解以上不等式組可得

當(dāng)|x|≥R0時(shí)，

≤

即

≤λp-1-a

(19)

≤

即

≤μq-1-e

(20)

聯(lián)立(19)和(20)解不等式組

解以上不等式組可得

類似地，對于方程組的上解可得到同樣的結(jié)論。

3 結(jié) 語

文章探討了無界區(qū)域上強(qiáng)耦合項(xiàng)的非線性橢圓型p-Laplacian方程組大解的存在性，并得到大解存在需要滿足的條件(a-p+1)(e-q+1)

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