任愛紅

(寶雞文理學院數(shù)學系，陜西 寶雞 721013)

Henstock積分又稱Kurzwarl積分或廣義黎曼積分,Henstock 積分不僅包含牛頓積分、黎曼積分和勒貝格積分,而且不需要測度理論的支持。近年來,許多學者已將其引入到模糊數(shù)學領(lǐng)域,并對其理論進行了深入的研究[1-4]。然而與模糊數(shù)值函數(shù)Henstock積分的研究成果相比,對模糊隨機過程均方Henstock積分的研究顯得非常欠缺[5-9]。由于收斂定理對積分理論的研究非常重要,因此,研究模糊隨機過程均方Henstock積分的收斂定理是非常有意義的。 本文引進了二階模糊隨機過程均方一致Henstock可積的概念,利用均方一致Henstock可積,研究了二階模糊隨機過程均方一致Henstock可積的充分必要條件,得出了模糊隨機過程函數(shù)列的收斂定理。

1 預備知識

模糊數(shù)空間Ed={v:Rd→[0,1]},v滿足如下條件：

對于任意的v∈Ed,稱[v]α={x∈Rd|v(x)≥α}為v的α水平截集。

設T是一實數(shù)集,稱X:T→L2為二階模糊隨機過程。若在點t∈T,X關(guān)于ρ連續(xù),稱X在點t均方連續(xù)。若在T上的所有點都均方連續(xù),則稱X在T上均方連續(xù)(更多結(jié)論可參閱文獻[5-7])。

本文中,假定對任意的t∈[a,b],H差X(t)?X(s)(s

定義1 設δ(x)>0是[a,b]上的一個實值函數(shù),[a,b]的一個劃分T={[ti-1,ti];ξi,i=1,2,…,n},如果滿足下列條件:

(i)a=t0

2 主要結(jié)果和證明

下面先給出二階模糊隨機過程均方一致Henstock可積的定義。

定義3 設{Xn,n∈N}∈L2是[a,b]上Henstock可積函數(shù)列,稱{Xn}在[a,b]上均方一致Henstock可積,如果對任給ε>0,存在實值函數(shù)δ(t)>0,使得對[a,b]上的任意δ精細劃分T={[ti-1,ti];ξi,i=1,2,…,m}及任一n∈N,有

現(xiàn)在我們來證明模糊隨機過程函數(shù)列均方一致Henstock可積的充分必要條件。

(1)

證明充分性若對任給ε>0,存在實值函數(shù)δ(t)>0,對[a,b]上的任意δ精細劃分T及T′,上述(1)式成立,則由文獻[10]定理3.1.2 可知,每個Xn是[a,b]上均方Henstock可積的。又因δ是共同的,即對任一n∈N成立,所以{Xn}在[a,b]上均方一致Henstock可積。

由三角不等式性,綜合以上兩式得

因此不等式(1)成立。

下面給出模糊隨機過程函數(shù)列均方一致Henstock可積的收斂定理。

定理2 設{Xn,n∈N}∈L2是[a,b]上均方Henstock可積函數(shù)列,滿足

(i)X∈L2,并且Xn(t)以L2收斂到X(t),t∈[a,b],即ρ(Xn,X)→0;

(ii){Xn,n∈N}在[a,b]上均方一致Henstock可積。

證明由定理假設條件(ii),函數(shù)列{Xn}在[a,b]上均方一致Henstock可積,由定義3可知,對任給ε>0,存在實值函數(shù)δ(t)>0,使對區(qū)間[a,b]上的任意δ精細劃分T={[ti-1,ti];ξi,i=1,2,…,k}及任一n∈N,有

現(xiàn)固定精細劃分T={[ti-1,ti];ξi,i=1,2,…,k},由假設(i),Xn(t)以L2收斂到X(t),t∈[a,b],即Xn(t)→X(t)逐點收斂于[a,b],可得

ξi)(ti-ti-1)

對上述極限,取自然數(shù)N0,使得對任意n>N0,任給ε>0,有不等式

成立?，F(xiàn)在說明Xn(t)在[a,b]上的原函數(shù)Gn(a,b)是L2中柯西序列。當n>N0,有

而且,當m,n>N0時,由上述不等式可知

ρ(Gm(b)?Gm(a),Gn(b)?Gn(a))≤

因此{Gn(a,b),n∈N}為L2中柯西序列,于是存在A∈L2,N1≥N0,當n>N1,有ρ(Gn(a,b),A)<ε。

根據(jù)以上不等式,有

Gn(b)?Gn(a))+ρ(Gn(a,b),A)<2ε

定理3 設{Xn,n∈N}∈L2是區(qū)間[a,b]上均方一致Henstock可積函數(shù)列,若對任給ε>0,存在實值函數(shù)δ(t)>0,使得對區(qū)間[a,b]上的任意δ精細劃分T={[ti-1,ti];ξi,i=1,2,…,m}及任一n∈N,有

ρ[Xn(ξi)(ti-ti-1),Gn(ti)?Gn(ti-1)]<ε

成立,則對[a,b]上δ精細部分劃分T′={[ti-1,ti];ξi,i=1,2,…,s}及任一n∈N,有

(2)

成立,其中l(wèi)=1,2,…,m。

(3)

由(2)-(3)式得

對任意η>0和所有n∈N都成立,取η=ε,則由上式得

ρξi)(ti-ti-1),Gn(b)?Gn(a)]<ε

注1 從定理3可知對單個均方Henstock可積函數(shù)X,上述定理仍然成立。

3 結(jié) 論

文中,通過引入二階模糊隨機過程均方一致Henstock可積的定義,研究了二階模糊隨機過程均方一致Henstock可積的充分必要條件,得出了模糊隨機過程函數(shù)列的收斂定理。該積分本質(zhì)上是取值度量空間函數(shù)的積分,不需要利用測度理論的支持。根據(jù)這種積分的定義和性質(zhì)，能否給出模糊值過程關(guān)于模糊值過程的積分,以及能否定義模糊Brown運動，進而研究模糊值過程關(guān)于此模糊Brown運動的積分問題,對于這種有意義的隨機風趣的研究,這是我們后續(xù)研究工作的重點。

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