編者按：2012年4月末，“華應(yīng)龍數(shù)學(xué)教學(xué)思想與實(shí)踐”研討會(huì)在北京第二實(shí)驗(yàn)小學(xué)召開，顧明遠(yuǎn)、葉瀾、朱永新等8位與會(huì)專家對(duì)華應(yīng)龍教學(xué)思想作出高度評(píng)價(jià)。當(dāng)天，華應(yīng)龍名師工作室頒牌成立。本期，讓我們聚焦華應(yīng)龍的教育教學(xué)藝術(shù)，通過(guò)多節(jié)課堂片段，分享華應(yīng)龍老師近20年來(lái)的融“錯(cuò)”教育理念與實(shí)踐，以期與全國(guó)教育同仁深度思考教育的本真價(jià)值。

1993年，我在江蘇省南通市海安縣墩頭鎮(zhèn)作教師時(shí)開始申報(bào)研究《讓學(xué)生從錯(cuò)誤中學(xué)習(xí)》的課題；2002年，我校調(diào)到秉持“以學(xué)論教”、“無(wú)錯(cuò)原則”等辦學(xué)理念的北京第二實(shí)驗(yàn)小學(xué)，繼續(xù)“融錯(cuò)”研究；2011年，《“融錯(cuò)教育”操作模式及策略的研究》被列為北京市西城區(qū)教育科學(xué)規(guī)劃“十二五”重點(diǎn)課題。19年來(lái)，我鍥而不舍，在融“錯(cuò)”課堂中與學(xué)生共同成長(zhǎng)。

何謂融錯(cuò)？

受各種因素的影響，小學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中總是會(huì)表現(xiàn)出各種偏差，甚至得出離奇的答案，與正常的認(rèn)知過(guò)程和結(jié)果完全相左。學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上的差錯(cuò)是其關(guān)于數(shù)學(xué)知識(shí)自主的、大膽的、真實(shí)的、常常又是獨(dú)特的建構(gòu)。如果老師怎么說(shuō)，學(xué)生就怎么做，學(xué)生自己的想法被壓抑著，也許很少有差錯(cuò)，但卻缺了自主，少了真實(shí)，更談不上創(chuàng)新，談不上成長(zhǎng)。

融“錯(cuò)”是指把課堂教學(xué)中的差錯(cuò)融化為一種教學(xué)資源，相繼融入后續(xù)的教學(xué)過(guò)程中，“化腐朽為神奇”，變“事故”為“故事”，這與我國(guó)古代“相克相生，相反相成”等哲學(xué)思想相契合。

為什么是“融錯(cuò)”，而不是“容錯(cuò)”？因?yàn)檎n堂并不只是要容納“差錯(cuò)”，而更重要的是，把“差錯(cuò)”融化為教學(xué)不可或缺的教學(xué)資源。

為什么要融錯(cuò)？

融錯(cuò)的意義在于教學(xué)過(guò)程中敏銳發(fā)現(xiàn)差錯(cuò)背后的意義，揭示其內(nèi)在的矛盾和張力，巧妙彰顯其積極意義，而不是簡(jiǎn)單地否定學(xué)生的錯(cuò)誤；要充分挖掘并利用差錯(cuò)資源的多方面價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生直面錯(cuò)誤、超越錯(cuò)誤的求真人格，將教學(xué)活動(dòng)引向心靈深處，而不僅僅是促進(jìn)認(rèn)知的發(fā)展。

沒(méi)有融錯(cuò)就等于放棄了創(chuàng)新，沒(méi)有融錯(cuò)就無(wú)法真正落實(shí)“自主探究學(xué)習(xí)”，沒(méi)有融錯(cuò)更談不上真正的“過(guò)程教學(xué)”。放棄經(jīng)歷錯(cuò)誤也就意味著放棄經(jīng)歷復(fù)雜性，遠(yuǎn)離謬誤實(shí)際上就是遠(yuǎn)離創(chuàng)造。我們提出“融錯(cuò)”的教學(xué)主張，是破解“標(biāo)準(zhǔn)化”教育模式，培育良性教育生態(tài)的需要，是矯正重“結(jié)果”輕“過(guò)程”教學(xué)弊端的需要。

怎樣融錯(cuò)？

融錯(cuò)包括：容錯(cuò)，錯(cuò)是錯(cuò)；融錯(cuò)，錯(cuò)不是錯(cuò)；榮錯(cuò)，錯(cuò)還是錯(cuò)三個(gè)階段。融錯(cuò)課堂要從容錯(cuò)走向融錯(cuò)，最后到達(dá)榮錯(cuò)。這是對(duì)待差錯(cuò)的三種境界。

第一個(gè)階段：容錯(cuò)，錯(cuò)是錯(cuò)。

容錯(cuò)，是指寬容、包容、容納差錯(cuò)。

學(xué)生存在錯(cuò)誤的作業(yè)在我的心中是一筆財(cái)富。

在畫統(tǒng)計(jì)圖時(shí)，一個(gè)學(xué)生把柱狀圖畫得歪斜，我批注：比薩斜塔？另一位學(xué)生的柱狀圖個(gè)個(gè)低矮，我批注：哈哈，個(gè)個(gè)都是武大郎。到期末復(fù)習(xí)制作統(tǒng)計(jì)圖時(shí)，我問(wèn)學(xué)生需要注意些什么，學(xué)生說(shuō)：“別畫比薩斜塔！別畫武大郎！”

正確的數(shù)學(xué)知識(shí)就這樣被學(xué)生用情趣化的方式表達(dá)出來(lái)。在批改學(xué)生作業(yè)時(shí)，我總是喜歡把自己的感受用一段話、一句話、一個(gè)詞表達(dá)出來(lái)，一些學(xué)生畢業(yè)多年后仍會(huì)珍藏著我批改的作業(yè)本。

第二個(gè)階段：融錯(cuò)，錯(cuò)不是錯(cuò)。

融錯(cuò)，是把錯(cuò)誤作為一種資源，從外在的表現(xiàn)入手，引導(dǎo)學(xué)生暴露思維過(guò)程，分析其內(nèi)在機(jī)制，將教學(xué)活動(dòng)引向深入。

分析差錯(cuò)背后的真正原因。學(xué)生的錯(cuò)誤是千奇百怪的，教師必須明白學(xué)生的困惑，才能有效地幫助學(xué)生。上學(xué)期期末復(fù)習(xí)階段，主任請(qǐng)我輔導(dǎo)一名淘氣的男孩。我讓男孩做了道題，第一小題他雖然做錯(cuò)了，但找到了規(guī)律，我獎(jiǎng)勵(lì)他一顆星。

找規(guī)律計(jì)算：

1 2 5 10……

4 3 6 11……

9 8 7 12 ……

16 15 14 13 ……

……

把自然數(shù)排成如圖所示的格式：

（1）第6行第一個(gè)數(shù)是（32）☆

（2）108排在第（）行第（）列

下面，是我們關(guān)于第二小題的對(duì)話——

生：108排在第（）行第（）列。我不懂。

師：哪兒不懂呢？

生：說(shuō)了108排，怎么還要問(wèn)第（）行第（）列？排和行不是一樣的嗎？

師：哈哈，這個(gè)“排”是動(dòng)詞，也就是“寫”的意思。

生：哦，我就喜歡兩個(gè)字、兩個(gè)字地讀。

“子非魚安知魚之樂(lè)”，要準(zhǔn)確分析差錯(cuò)背后的真正原因，就得傾聽學(xué)生，了解學(xué)生的閱讀習(xí)慣，了解學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，了解學(xué)生可能存在的思維定勢(shì)。

讓成功在差錯(cuò)中孕育。差錯(cuò)往往隱藏著正確的思路，大多是“差那么一點(diǎn)”、“拐個(gè)彎就對(duì)了”。下面是教學(xué)《角的度量》課始的教學(xué)片段——

師：怎么量角的大小呢？

生（齊）：用量角器。

師：都知道??！那你會(huì)量嗎？

眾多學(xué)生：會(huì)。

師：我們先用量角器試著量一量∠1。

（學(xué)生嘗試用量角器量∠1。）

師：（巡視中）這位同學(xué)，請(qǐng)帶著你的量角器，到前面來(lái)，把你的方法展示一下。

生：（學(xué)生投影自己的量法后，有學(xué)生小聲嘲笑，老師搖頭制止）我先用這個(gè)尖放到這個(gè)角上，然后看這條邊。（如下圖）

師：這個(gè)角多大呢？

生：不知道。

師：（摸著學(xué)生的頭，微笑著說(shuō)）還沒(méi)學(xué)，不會(huì)很正常，但敢于嘗試值得表?yè)P(yáng)。以前我們量長(zhǎng)度的時(shí)候，就是這樣從0開始，這一點(diǎn)你做得非常棒！要量角的大小，她已經(jīng)想到了用角來(lái)比著，真不簡(jiǎn)單，這個(gè)思路非常正確！現(xiàn)在的問(wèn)題是我們從量角器上能找到角嗎？

上完這節(jié)課，我明白了，以前的我們“只見樹木不見森林”。我們講了“角的頂點(diǎn)和量角器的中心重合，一條邊和0度刻度線重合，看另一條邊所對(duì)應(yīng)的刻度”，但沒(méi)有講量角的實(shí)質(zhì)是什么，缺乏整體把握?！岸弦豢础钡纫E看似簡(jiǎn)潔，頗得要領(lǐng)，其實(shí)這是我們成人的偏好，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)卻是不得要領(lǐng)的，要學(xué)生想象出這4個(gè)字背后的內(nèi)涵是挺難的?！傲拷瞧鋵?shí)就是把量角器上的角重疊在要量的角上”能一語(yǔ)點(diǎn)破，可以為學(xué)生的量角操作提供表象支持。

當(dāng)我創(chuàng)新性地成功完成《角的度量》教學(xué)時(shí)，不少朋友激動(dòng)地問(wèn)我是怎么想到在量角器上找角的？說(shuō)實(shí)話，是學(xué)生錯(cuò)誤的量法提醒了我。

挖掘差錯(cuò)的教育價(jià)值。對(duì)待學(xué)生的思維成果，不是著眼在對(duì)還是不對(duì)，而是應(yīng)著眼于有價(jià)值還是沒(méi)有價(jià)值。價(jià)值判斷的標(biāo)準(zhǔn)：一是有利于學(xué)生的發(fā)展，二是有利于本課教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成。因此，教師的評(píng)價(jià)要在對(duì)錯(cuò)之外。

學(xué)生在作業(yè)中經(jīng)常會(huì)生成一些非?？少F的猜想，可是往往是想到就用，不去驗(yàn)證。學(xué)習(xí)乘法分配律之后，學(xué)生會(huì)創(chuàng)造出“200÷5+200÷20=200÷(5+20)=8”的“除法分配律”。依據(jù)學(xué)生作業(yè)中出現(xiàn)的問(wèn)題，我設(shè)計(jì)了《猜想之后》這樣一節(jié)課。

師：（720+8）÷8=720÷8+8÷8=91

（638-113）÷25=525÷25=500÷25+25÷25=21

請(qǐng)同學(xué)們驗(yàn)證這兩道題答案是否正確？你發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：答案是正確的，說(shuō)明除法有分配律。

生2：應(yīng)該再舉出幾個(gè)例子來(lái)驗(yàn)證，才可以下結(jié)論。

師：大家開始吧，每個(gè)人舉出幾個(gè)例子試試。

（學(xué)生舉出了很多相關(guān)的例子，不僅有整數(shù)除法的，還有分?jǐn)?shù)除法，小數(shù)除法的相關(guān)例子，經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)，結(jié)果都顯示了除法存在分配律。學(xué)生高興地得出結(jié)論：除法有分配律。興奮之情溢于言表。）

師：300÷（15+5）=

學(xué)生開始驗(yàn)證，并發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題——?jiǎng)偛潘孪氲某ㄒ灿蟹峙渎桑\(yùn)用到這道題上就出現(xiàn)了錯(cuò)誤。學(xué)生得出結(jié)論，乘法分配律在除法中不適用。

學(xué)生在做題的過(guò)程中，把乘法分配律應(yīng)用到了除法計(jì)算中，面對(duì)這樣的錯(cuò)誤，教師并沒(méi)有直接告訴學(xué)生，而是鼓勵(lì)學(xué)生經(jīng)歷猜想、驗(yàn)證的探究過(guò)程。對(duì)于學(xué)生而言，舉出很多正確的例子還未必能證明結(jié)論的正確性，是比較難以理解的。但正是經(jīng)歷了這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程，學(xué)生明白了猜想是創(chuàng)新思維的源泉，“觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證、結(jié)論……”是科學(xué)研究的過(guò)程。

第三個(gè)階段：榮錯(cuò)，錯(cuò)還是錯(cuò)。

榮錯(cuò)是結(jié)果，是目標(biāo)，是對(duì)出錯(cuò)過(guò)程的回眸。差錯(cuò)的價(jià)值并不在于差錯(cuò)本身，而在于師生從中獲得新的啟迪。

講授《初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)》一課——我問(wèn)：“3/5表示什么意思？”一位學(xué)生回答：“把5平均分成3份?！边@讓我反思：第一，我在教分?jǐn)?shù)的意義時(shí)重視了表示分?jǐn)?shù)的三要素——平均分、分幾份、取幾份的歸納，但忽視了單位的滲透；第二，教材中和我的板書中對(duì)分?jǐn)?shù)的讀法是這樣寫的——“五分之三”，這種讀法一開始就容易使學(xué)生誤以為“3/5是把5分成3份”，如果板書成“五份之三”呢？后來(lái)我這樣一板書，就有學(xué)生在下面說(shuō)了，“噢，明白了，是五份中的三份！”下課前，我再把單人旁擦掉，告訴學(xué)生大人們都是這么讀的。教學(xué)效果非常好。

關(guān)于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方法，我認(rèn)為“教是因?yàn)樾枰獭保菑慕虒W(xué)的起點(diǎn)和過(guò)程兩個(gè)層面上說(shuō)的，對(duì)當(dāng)下的課堂教學(xué)是有針對(duì)性的。學(xué)習(xí)本來(lái)像呼吸一樣自然，教學(xué)就是帶著孩子們一起玩。不要道貌岸然，而要道法自然，學(xué)生“水到”教師“渠成”，乃是至善。

融錯(cuò)，與其說(shuō)是方式方法，不如說(shuō)是策略智慧，它是在真愛數(shù)學(xué)、喜愛學(xué)生、癡迷課堂、心存感激中生成、發(fā)展與完善的；融“錯(cuò)”課堂教人求真、學(xué)做真人的價(jià)值也是在真愛數(shù)學(xué)、喜歡學(xué)生、癡迷課堂、心存感激中創(chuàng)造的。

□編輯王宇華

華應(yīng)龍：中學(xué)高級(jí)教師，特級(jí)教師，首批“首都基礎(chǔ)教育名家”，北京第二實(shí)驗(yàn)小學(xué)教學(xué)副校長(zhǎng)，主編和參編了20多本教學(xué)用書，出版有《我就是數(shù)學(xué)》、《我這樣教數(shù)學(xué)》。參與“蘇教版”、“北師大版”國(guó)家義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材的編寫和審訂工作。

“我就是數(shù)學(xué)。這是我對(duì)數(shù)學(xué)教師專業(yè)素養(yǎng)的自我期許和終生追求，既用數(shù)學(xué)修身，也用數(shù)學(xué)育人，讓學(xué)生學(xué)到更親切、更生動(dòng)的數(shù)學(xué)?！?/p>

“一生只做一件事。我的一件事是什么呢？那就是數(shù)學(xué)?！?/p>

——華應(yīng)龍

“華應(yīng)龍數(shù)學(xué)教學(xué)思想與實(shí)踐”研討會(huì)中與會(huì)專家點(diǎn)評(píng)：

葉瀾（華東師范大學(xué)終身教授）：我用“求化”來(lái)概括華應(yīng)龍老師的教學(xué)思想，華老師的“求化”體現(xiàn)在四個(gè)方面：一是把數(shù)學(xué)與自己的人生融化到一起；二是把數(shù)學(xué)的趣味轉(zhuǎn)化為思想，思想再升華為數(shù)學(xué)情趣；三是把文化與生活融化到數(shù)學(xué)課堂；四是把學(xué)生各種生成的資源轉(zhuǎn)化成教學(xué)資源。教與學(xué)是互化的過(guò)程，是對(duì)學(xué)生生命的轉(zhuǎn)化。教育的過(guò)程就是朝著教學(xué)目標(biāo)轉(zhuǎn)化的過(guò)程。

朱永新（全國(guó)人大常委會(huì)委員、中國(guó)教育學(xué)會(huì)副會(huì)長(zhǎng)）：我用三個(gè)關(guān)鍵詞來(lái)概括華老師的教學(xué)——自信、文化、發(fā)現(xiàn)。“自信”，源于對(duì)學(xué)生的信任，以及自身的肯定。由于這份自信，華老師提出了“我就是數(shù)學(xué)”，這似乎有些狂妄的口吻中，充分體現(xiàn)了華老師對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛，愿一生做數(shù)學(xué)學(xué)科的傳教士?！拔幕保A老師善于挖掘事物背后的因素，讓知識(shí)與生命共鳴?！鞍l(fā)現(xiàn)”，華老師尊重?cái)?shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的規(guī)律，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的邏輯學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)?？此破届o的課堂背后，學(xué)生的思維激蕩。學(xué)生在嘗試錯(cuò)誤、不斷爭(zhēng)鳴中收獲真正的成長(zhǎng)。