楊 烜

(深圳大學(xué)計算機(jī)與軟件學(xué)院 深圳 518060)

1 引言

圖像配準(zhǔn)的目的是尋找兩幅圖像之間的變換函數(shù)，使得圖像中相應(yīng)目標(biāo)的位置對準(zhǔn)[1]?；跇?biāo)志點(diǎn)對應(yīng)關(guān)系的圖像配準(zhǔn)方法已得到廣泛使用[2-6]，這類方法需要根據(jù)對應(yīng)點(diǎn)對構(gòu)造變換函數(shù)，變換函數(shù)具有明確的解析式，易于分析，計算簡單。但這類變換函數(shù)往往是不可逆的，只能確保標(biāo)志點(diǎn)之間的對應(yīng)關(guān)系，不能保證圖像間其他位置的對應(yīng)關(guān)系，即變換的無偏性較差。

如果變換函數(shù)及其逆變換的Jacobia在1附近對稱分布，稱為無偏變換[7]。無偏變換對于圖像配準(zhǔn)非常重要，它意味著無論圖像A向圖像B配準(zhǔn)，或是圖像B向圖像A配準(zhǔn)都可以使同一目標(biāo)得到配準(zhǔn)。更重要的是，無偏變換是拓?fù)浔３值?，可以使圖像在形變前后的拓?fù)潢P(guān)系不發(fā)生變化，這是大多數(shù)圖像配準(zhǔn)方法努力實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)[8-10]。目前關(guān)于無偏變換的研究比較少，文獻(xiàn)[11]定義的對稱代價函數(shù)，使源圖像和目標(biāo)圖像互換后的變換函數(shù)互逆，但該方法采用FFD形變模型，計算量較大；文獻(xiàn)[4]提出了標(biāo)志點(diǎn)的一致性配準(zhǔn)方法，該方法可以使標(biāo)志點(diǎn)在正、反變換達(dá)到一致，但會導(dǎo)致標(biāo)志點(diǎn)對應(yīng)關(guān)系發(fā)生較大誤差，還需要引入一致性強(qiáng)度配準(zhǔn)進(jìn)一步調(diào)整；文獻(xiàn)[7]定義了變換函數(shù)與理想變換之間的對稱KL距離，并定義了對稱目標(biāo)函數(shù)尋找無偏變換函數(shù)，但文獻(xiàn)[7]采用的是粘性流體配準(zhǔn)模型，計算量仍然很大。

本文針對基于標(biāo)志點(diǎn)對應(yīng)關(guān)系的圖像配準(zhǔn)問題，提出了一種基于無偏變換的漸進(jìn)式圖像配準(zhǔn)方法，該方法只需要很少的幾個初始標(biāo)志點(diǎn)，通過不斷加入新的標(biāo)志點(diǎn)逐漸提高配準(zhǔn)精度。本文從理論上分析了選擇標(biāo)志點(diǎn)的原則，利用Mean Shift迭代快速尋找對應(yīng)標(biāo)志點(diǎn)，構(gòu)造無偏的變換函數(shù)。本文方法所構(gòu)造的圖像變換函數(shù)既具有較好的無偏特性，同時又保證了標(biāo)志點(diǎn)之間的對應(yīng)關(guān)系。

2 標(biāo)志點(diǎn)分布對sKL距離的影響

無偏變換要求變換函數(shù)及其逆變換使圖像被壓縮和被膨脹程度是一致的，我們采用文獻(xiàn)[7]提出的對稱Kullback-Leibler(sKL)距離來描述變換的無偏性。假設(shè)變換函數(shù)為h，逆函數(shù)為h-1,h和h-1的Jacobi行列式分別為定義3種概 率 密 度 函 數(shù) pdfh(ξ)=|Dh(ξ)|,pdfh-1(ξ)=|Dh-1(ξ)|,pdfid(ξ)=1，其中pdfid是單位映射(id(x)的概率密度函數(shù)。對稱Kullback-Leibler(sKL)距離定義為

其中KL是Kullback-Leibler距離。尋找無偏的變換函數(shù)，就是使變換函數(shù)的sKL距離盡可能小。對于基于標(biāo)志點(diǎn)對應(yīng)關(guān)系的配準(zhǔn)問題而言，就是尋找標(biāo)志點(diǎn)對，在配準(zhǔn)精度提高的同時，使變換函數(shù)的sKL距離盡可能小。

假設(shè)源、目標(biāo)點(diǎn)集分別為P和Q，有N對標(biāo)志點(diǎn)(pi,qi),i=1,2,…,N。pi∈P,qi∈Q，利用徑向基函數(shù)構(gòu)造變換函數(shù)，

其中x是變換空間中的點(diǎn)，R(r)是徑向基函數(shù)，ri=||x-pi||，系數(shù)wi,i=1,…,N滿足方程KW=Q-P,K是N×N矩陣，Kij=R(||pi-pj||)。徑向基函數(shù)構(gòu)造的h不能保證可逆，即使其逆函數(shù)h-1存在，h-1與h的壓縮和膨脹程度也有較大差異，即無偏性較差。

下面我們將在一個簡單2維模型上，分析添加標(biāo)志點(diǎn)對變換函數(shù)sKL的影響。假設(shè)當(dāng)前只有一個源標(biāo)志點(diǎn)p向右水平移動到目標(biāo)點(diǎn)q，水平位移量為d，變換函數(shù)h(x)及其Jacobi行列式Dh(x)為

當(dāng)基函數(shù)是單調(diào)減的緊支撐徑向基函數(shù)時，滿足 ?R(r)/ ?r＜ 0 。不失一般性地以p為原點(diǎn)，則x＜ 0 的點(diǎn)(p左側(cè)區(qū)域)Jacobi值大于1，而x＞0(p右側(cè)區(qū)域)Jacobi值小于1。在點(diǎn)p的垂直上方L處添加點(diǎn)pa，該點(diǎn)水平位移至qa，假設(shè)位移量為dR( | |pa-p| | )+ε，其中dR( ||pa-p| |)是根據(jù)原變換函數(shù)h(x)對pa的位移量，ε是該位移的小擾動。則新的變換函數(shù)ha(x)為

當(dāng)L相對基函數(shù)的支撐集較小時，式(5)可以近似為

我們以緊支撐薄板樣條(CSTPS)[5]作為徑向基函數(shù)進(jìn)行分析，可以推出

式(7)表明，新增點(diǎn)可以使x＞0的點(diǎn)Jacobi值增加，x＜0的 Jacobi值減小，這意味著通過添加點(diǎn)，在點(diǎn)p兩側(cè)的Jacobi值更接近1，即變換函數(shù)的無偏性改善了。需要說明的是，擾動ε不能過大，否則調(diào)整量會過大，可能會使變換函數(shù)的無偏性變差。上述分析中對于新增標(biāo)志點(diǎn)pa的位置并沒有嚴(yán)格的限制，一般地講，我們需要在原標(biāo)志點(diǎn)附近選擇新增點(diǎn)，并且新增點(diǎn)的位移與原變換函數(shù)產(chǎn)生的位移是一致，即新加點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)選擇在原變換函數(shù)的映射位置附近，這樣該點(diǎn)的位移趨勢與原變換函數(shù)近似，以滿足ε較小的條件。另一方面，L較小也意味著將在較小的范圍內(nèi)搜索對應(yīng)標(biāo)志點(diǎn)，有利于尋找到準(zhǔn)確的對應(yīng)點(diǎn)。

對于圖像配準(zhǔn)問題，上述的要求可以這樣理解：當(dāng)原始變換函數(shù)的無偏性需要改善時，可以在原標(biāo)志點(diǎn)的附近添加新增標(biāo)志點(diǎn)，新增標(biāo)志點(diǎn)的選擇原則是以圖像配準(zhǔn)精度得到提高為依據(jù)，這樣新增標(biāo)志點(diǎn)可以對變換函數(shù)的無偏性起到改善作用。描述得更形象一些，當(dāng)形變曲面被某些位移撕扯時，由于這種撕扯的受力不夠均勻，會使圖像在這些撕扯位置附近出現(xiàn)過度擠壓或膨脹的情況。通過增加標(biāo)志點(diǎn)，可以使撕扯效果得到緩解，變得平滑和均勻，變換函數(shù)的無偏性得到改善。

3 Mean Shift確定新增標(biāo)志點(diǎn)對

假設(shè)S,R分別是源圖像和參考圖像，當(dāng)前源標(biāo)志點(diǎn)集為P，目標(biāo)標(biāo)志點(diǎn)集為Q，標(biāo)志點(diǎn)對集合為?pi∈P，選擇新增源標(biāo)志點(diǎn)滿足

其中 L oc(I,x)是圖像I中以x為中心的局部區(qū)域，E(S)是源圖像S的邊緣點(diǎn)集合。新增源標(biāo)志點(diǎn)處于邊緣上，其所處的區(qū)域與參考圖像相差較大。同時該點(diǎn)與當(dāng)前標(biāo)志點(diǎn)的距離不能太遠(yuǎn)，這樣可以利用當(dāng)前標(biāo)志點(diǎn)提供一個較理想的初始位置，有利于Mean Shift迭代收斂；同時也不能距離過近，以免局部形變受力不勻。

其中k(x)是核函數(shù)，分別是以為中心的鄰域點(diǎn)，是歸一距離，C和Cq是歸一系數(shù)，u是灰度量化值，b(x)是量化函數(shù)，本文采用直方圖模糊約束聚類方法進(jìn)行量化。根據(jù)Mean Shift迭代，更新為

由于Mean Shift收斂是基于概率密度函數(shù)變化最大方向進(jìn)行的，容易收斂于局部最優(yōu)。需要對Mean Shift進(jìn)行幾點(diǎn)改進(jìn)。首先進(jìn)行多尺度配準(zhǔn)，將配準(zhǔn)圖像下采樣到大尺度圖像上進(jìn)行Mean Shift收斂，可以減小搜索范圍。將大尺度圖像的標(biāo)志點(diǎn)對映射到小尺度圖像中，得到粗配準(zhǔn)結(jié)果。然后在小尺度圖像中重復(fù)這個配準(zhǔn)過程，得到精度更好的配準(zhǔn)結(jié)果。

其次，由于Mean Shift統(tǒng)計的概率密度是不反映圖像空間位置信息的，Mean Shift收斂后對應(yīng)的點(diǎn)，可能并不是使局部圖像空間對應(yīng)關(guān)系最優(yōu)的點(diǎn)。本文在Mean Shift迭代的路徑中計算各點(diǎn)的局部配準(zhǔn)度量，選擇局部配準(zhǔn)度量最大的點(diǎn)作為收斂結(jié)果，以提高對應(yīng)點(diǎn)精度。另外，Mean Shift迭代路徑要進(jìn)行限制，以避免沿某個錯誤方向迭代過遠(yuǎn)。

在一個尺度下的完整配準(zhǔn)過程如下：

步驟 1 輸入源圖像和參考圖像，初始標(biāo)志點(diǎn)對集合Ω，設(shè)置參數(shù) d istThmin,Th，支撐集c。

步驟 2 利用式(2)計算Ω的變換函數(shù)h(x)。

步驟 3 如果 d istTmin＞T h，則算法退出，否則

步驟 4 ?pi∈P，確定滿足式(8)的新增源標(biāo)志點(diǎn)。

步驟 7 計算Ω∪Ωa的變換函數(shù)ha(x)和，以及代價函數(shù)。

步驟 9 如果集合Ω沒有增大，則 d istTmin=distTmin+ 1 。轉(zhuǎn)至步驟3。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

分別針對大形變和小形變配準(zhǔn)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。圖1中第1、第2行是Rose和Clown的大形變配準(zhǔn)，分別選擇了4個和7個初始標(biāo)志點(diǎn)對，采用CSTPS作為徑向基函數(shù)，支撐集c=200,d istTmin= 8,Th=16。圖像大小均為 256×256，將圖像下采樣為128×128，進(jìn)行大尺度配準(zhǔn)，再進(jìn)行小尺度配準(zhǔn)。其中Rose圖、Clown圖中各添加了142, 92對標(biāo)志點(diǎn)，可以看出， Rose的邊界部分和Clown的帽沿這些形變劇烈的地方都得到了較好的配準(zhǔn)。

為了比較配準(zhǔn)效果，本文同時通過SIFT特征[13]確定對應(yīng)標(biāo)志點(diǎn)，將位移大于32的嚴(yán)重誤配標(biāo)志點(diǎn)對剔除。SIFT標(biāo)志點(diǎn)對應(yīng)關(guān)系的閾值設(shè)為使變換函數(shù)Jacobi值大于0的最大值，以盡可能多地保留標(biāo)志點(diǎn)對。SIFT在Rose圖和Clown圖中分別添加了42和31對標(biāo)志點(diǎn)，SIFT在Clown中尋找的標(biāo)志點(diǎn)對存在誤差，無法得到Jacobi值大于0的變換結(jié)果。這表明 SIFT不適用于形變比較劇烈的彈性配準(zhǔn)問題，而本文方法具有較好的魯棒性。

圖1 將源圖像配準(zhǔn)到參考圖像的實(shí)驗(yàn)結(jié)果(從左到右：待配圖像，參考圖像，本文方法配準(zhǔn)結(jié)果與參考圖像的差，SIFT配準(zhǔn)結(jié)果與參考圖像的差)

小形變配準(zhǔn)采用了人體腦部掃描切片，待配準(zhǔn)圖像源于BrainWeb的subject04個體的腦部體數(shù)據(jù)切片，分別是第0和第50切片，經(jīng)過人工小形變，得到參考圖像。第0和第50切片中各選擇了5對初始標(biāo)志點(diǎn)。這兩幅配準(zhǔn)圖像的細(xì)節(jié)比較豐富，特別是腦切片中部區(qū)域?qū)ε錅?zhǔn)要求較高，本文方法在第0，第50切片分別增加了110, 123對標(biāo)志點(diǎn)，并且在腦中部區(qū)域確定了多個精度較高的標(biāo)志點(diǎn)，提高了這些區(qū)域的配準(zhǔn)精度，而SIFT在第0，第50切片中各新增65和308對標(biāo)志點(diǎn)，但這些標(biāo)志點(diǎn)中有許多點(diǎn)幾乎重合，而在腦切片中部區(qū)域選擇的標(biāo)志點(diǎn)較少，分布也不均勻，導(dǎo)致這些區(qū)域配準(zhǔn)精度不高。表1列出了本文方法和SIFT配準(zhǔn)結(jié)果的互信息、均方差(MSD)、相關(guān)系數(shù)(CC)和sKL距離，加粗的數(shù)值表示最優(yōu)結(jié)果。從表1可以看出，對于小形變配準(zhǔn)問題，本文配準(zhǔn)結(jié)果同樣優(yōu)于 SIFT方法的結(jié)果，同時sKL距離表明，本文方法得到的變換函數(shù)的無偏性優(yōu)于SIFT方法。

5 結(jié)論

本文針對標(biāo)志點(diǎn)對應(yīng)關(guān)系的圖像配準(zhǔn)問題，提出了一種漸進(jìn)式無偏變換的配準(zhǔn)方法。首先人為選擇數(shù)量極少的幾個初始標(biāo)志點(diǎn)，在初始標(biāo)志點(diǎn)附近添加適當(dāng)?shù)臉?biāo)志點(diǎn)，利用Mean Shift迭代尋找相應(yīng)的對應(yīng)點(diǎn)；根據(jù)新標(biāo)志點(diǎn)對判定配準(zhǔn)度量的變化，確定需要添加到標(biāo)志點(diǎn)集合的新標(biāo)志點(diǎn)對；在擴(kuò)展的標(biāo)志點(diǎn)集合中繼續(xù)利用Mean Shift迭代尋找對應(yīng)標(biāo)志點(diǎn)，逐步達(dá)到配準(zhǔn)的效果。該方法中尋找對應(yīng)標(biāo)志點(diǎn)的過程充分考慮了變換無偏性的影響，同時為Mean Shift收斂提供了較準(zhǔn)確的初始位置，多尺度的配準(zhǔn)策略有利于魯棒地尋找到準(zhǔn)確的對應(yīng)點(diǎn)。實(shí)驗(yàn)比較結(jié)果表明本文方法不僅適用于大形變配準(zhǔn)問題，也可以用于解決小形變問題，是一種魯棒的配準(zhǔn)方法。

表1 配準(zhǔn)結(jié)果比較(N/A表示變換函數(shù)拓?fù)洳荒鼙３?

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