路 琪，景 欣，勾志陽，錢 旭，晏 磊

（1.中國礦業(yè)大學（北京）機電與信息工程學院，北京100083；2.北京大學空間信息集成與3S應用北京市重點實驗室，北京100087）

0 引 言

GPS采用空間距離后方交會的方法確定待測點的位置。并已廣泛應用于測繪、軍事、交通、郵電、地礦、煤礦、石油、建筑、氣象、公安、農(nóng)業(yè)、林業(yè)等部門和行業(yè)［1］。手持GPS具有簡單、便攜的特點，在測量面積方面也有很多應用［2－4］。手持GPS測量面積是采用向量積方法計算面積，這就需要先將WGS－84坐標轉換為高斯平面直角坐標，然后以平面直 角 坐 標 求 解 面 積［5－7，8－10］。 由 于 高 斯 平 面直角坐標選擇直角坐標系中央子午線離所測地區(qū)距離越遠，誤差就會越大。手持GPS的面積計算功能并沒有考慮這些誤差。以GARMIN vista型GPS為例，探討面積測定的方法，并對其精度進行評價，分析誤差出現(xiàn)的原因，為此類GPS提供參考。

1 原理與方法

1.1 向量積求面積原理

對于不自交的多邊形，可以利用向量積的方法求面積。向量積也被稱為叉積，叉積的長度｜a×b｜可以解釋成以a和b為邊的平行四邊形的面積。a×b的方向滿足右手法則，順時針方向為負方向，逆時針方向為正方向，所以計算面積需要取絕對值［5］。

圖1 向量積求多邊形面積

如圖1所示，在多邊形ABCDE所在平面任取一點，為方便取原點O，則多邊形ABCDE的面積

1.2 高斯平面直角坐標

由于地球面是不可展曲面，若簡單地將曲面拉平，必然產(chǎn)生裂口和褶皺。采用投影的方法來確定地球面與平面上點位之間一一對應的關系，就能解決地球面不能直接展開的矛盾。但這必然會產(chǎn)生投影變形［11］。

設想一個平面卷成橫圓柱套在地球外，如圖2所示。通過高斯投影，將中央子午線的投影作為縱坐標軸，用x表示，將赤道的投影作橫坐標軸，用y表示，兩軸的交點作為坐標原點，由此構成的平面直角坐標系稱為高斯平面直角坐標系。每一個投影帶都有一個獨立的高斯平面直角坐標系［11］。

圖2 高斯投影

高斯投影是正形投影，沒有角度變形，在中央子午線上也沒有長度變形，但不在中央子午線上的各長度比均大于1，且距離中央子午線越遠，變形越大。

設地球上兩點A（x1，y1）、B（x2，y2），A與B的中點C（xm，ym），設大地線長為s，兩投影點間的直線長度為d，地球平均半徑為Rm，Δy＝y(tǒng)2－y1.如圖3所示，則有高斯投影距離改化公式

圖3 高斯投影距離改化

WGS－84與北京54坐標系是一種橢球參數(shù)的轉換。作為這種轉換在同一個橢球里的轉換都是嚴密的，而在不同的橢球之間的轉換是不嚴密的［12］。

1.3 測定方法

利用GPS測定面積

1）測定各航路點的經(jīng)緯度，轉換為高斯平面直角坐標后再利用向量積法計算面積。

2）進入GPS的航線畫面，將通過環(huán)繞所測場地邊界航路點組成航線，用GPS的“航線面積”功能來求得面積。

3）用GPS所測面積與計算面積比較，確定手持GPS測定面積的精度范圍［1－2］。

2 測量儀器與實驗方法

2.1 測量儀器

GARMIN vista型GPS，其主要性能為定位頻率每1s一次；誤差5～25m以內；內置GPS天線，標準RS－232接口。可以存儲1 000航路點、20條航線。

2.2 實驗方法

GPS需要同時能夠接收到4顆衛(wèi)星信號。為了測量數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，選擇比較開闊的場地進行實驗。這里選擇了未名湖湖心島進行實驗。繞行湖心島一周，在拐點記錄下航路點坐標，并使用MAPSOURCE軟件將數(shù)據(jù)從手持GPS中導入計算機。航路點組成的航線可以直接在手持GPS中測量航線所圍區(qū)域的面積。

3 結果與分析

3.1 實驗結果

1）使用GPS分別測量10個航路點、記錄坐標值，構成一個閉合導線；這10個航路點需要在同樣條件下多次測量取平均值。2）使用手持GPS自帶“航線面積”功能計算測量結果坐標組成區(qū)域的面積。3）向量積法計算面積。將測量結果坐標轉換為直角坐標后代入式（1）中，計算面積。

測量坐標結果如表1所示。

手持GPS自帶“航線面積”功能計算的結果為4 351.669m2.

用公式（1）計算面積需要將WGS－84坐標轉換為高斯平面直角坐標。實驗所測地區(qū)中央子午線為E117°，計算面積為4 342.12m2.與手持GPS自帶“航線面積”功能計算的結果相比，相對誤差為0.22%.

表1 GPS所測各航路點坐標（未名湖湖心島）

3.2 實驗分析

由于高斯平面直角坐標選擇直角坐標系中央子午線離所測地區(qū)距離越遠，誤差就會越大。使用向量積方法求面積只需要相對坐標即可，選取的經(jīng)線越靠近這10個點越精確而需要刻板地選擇中央子午線，選為經(jīng)過湖心島中心附近的116.303 2°是最接近的。選取經(jīng)線與計算的面積如圖4所示。

圖4 湖心島面積與經(jīng)線設置

當選取子午線116.303 2°時計算面積為4 341.74m2，當選取子午線117°時計算面積為4 342.12m2，當選取子午線120°時計算面積為4 352.40m2.手持GPS自帶“航線面積”功能計算的結果與選定中央子午線為120°所計算面積相吻合。

以子午線116.303 2°為基準，GPS所帶面積計算功能所測面積與用公式（1）計算面積相比較，相對誤差為0.23%.這是由于高斯投影長度變形的原因。

如圖5所示，用公式（1）測量目標區(qū)域A′BC的面積，由于地球曲率的影響，實際所計算的卻是區(qū)域A＇BC的面積。

圖5 面積變形與距離變形成正比

由于高斯投影在子午線方向沒有長度變形，而高斯投影距離改化只與緯線方向參數(shù)y有關，所以在計算面積時，可以把所測區(qū)域按子午線方向分割成小塊，這樣立刻得出結論面積變形與距離改化成正比例關系。

即

相對誤差為

設所測區(qū)域東西長度為u，所設經(jīng)線距離所測區(qū)域最遠點距離為v，以圖3為例，則u＝Δy，v＝將地球平均半徑Rm＝6 370km代入式（4）中，使用Matlab繪制誤差曲面圖，如圖6所示。

圖6 面積誤差曲面圖

由此可見，所選定經(jīng)線距離所測區(qū)域越遠，誤差越大；所測區(qū)域越大，產(chǎn)生的誤差越大。而區(qū)域ABC的面積修正函數(shù)

由式（5）可計算實際面積與所測面積關系曲面關系如圖7所示。

測量目標區(qū)域距離120°，經(jīng)線v＝315.35km，目標區(qū)域的東西最大長度u＝0.09km，以120°子午線為準計算面積為4 352.40m2，代入方程（4）和（5）中，得

測量目標區(qū)域距離117°，經(jīng)線v＝59.52km，以117°子午線為準計算面積為4 342.12m2，代入方程（4）和（5）中，得

如圖8所示。

圖8 修正曲線

3.3 實驗驗證

使用相同的實驗方法在北大靜園做了一次實驗。繞行靜園一周，在拐點記錄下航路點坐標，并使用MAP SOURCE軟件將數(shù)據(jù)從手持GPS中導入計算機。航路點組成的航線可以直接在手持GPS中測量航線所圍區(qū)域的面積。測量面積為3 655.604m2.如表2，3所示。

表2 GPS所測的各航路點坐標（靜園）

表3 靜園面積計算與修正

結果表明面積修正減小了誤差。

4 結 論

分析了手持GPS測量面積的功能在坐標轉換中產(chǎn)生的誤差。原點（中央經(jīng)線）距離所測區(qū)域越遠，產(chǎn)生的誤差越大；所測區(qū)域越大，產(chǎn)生的誤差越大。所以應該對所計算結果加以修正，修正函數(shù)S或者在坐標轉換時不刻板的選擇中央子午線而是選擇所測區(qū)域的平均經(jīng)度，這樣可以減小面積變形產(chǎn)生的誤差。

為了得到比較精確的坐標，可以在測繪部門提供的坐標對手持GPS進行校正，再用GPS在同一點多次測量取平均的做法［13］。

若所測區(qū)域比較大時，可以采用分區(qū)域計算的方法。

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