李震

（中國(guó)刑警學(xué)院 遼寧 沈陽(yáng) 110035）

一種基于復(fù)合混沌序列的檢材樣本圖像加密算法

李震

（中國(guó)刑警學(xué)院 遼寧 沈陽(yáng) 110035）

混沌序列具有易生成性，對(duì)初始條件強(qiáng)敏感性，可完全重現(xiàn)性，以及整體的偽白噪聲統(tǒng)計(jì)特性等特點(diǎn)，基于以上特性首先利用復(fù)合logistic與Chebyshev映射生成的混沌序列對(duì)數(shù)字圖像位置進(jìn)行置亂，再次利用logistic映射對(duì)彩色圖像的RGB值進(jìn)行加密，從而達(dá)到對(duì)像素位置和像素色彩域雙重加密。軟件模擬試驗(yàn)證明該算法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，極大改進(jìn)圖像的直方圖分布，算法加密效果良好，安全性高。

圖像加密 混沌序列 圖像置亂 Logistic映射

隨著Internet技術(shù)與多媒體技術(shù)的飛速發(fā)展，數(shù)字圖像作為多媒體信息中最直觀的表達(dá)形式，其在網(wǎng)絡(luò)傳輸過(guò)程中的信息安全性逐漸受到重視。近年來(lái)，數(shù)字圖像混沌加密技術(shù)已經(jīng)成為數(shù)字圖像加密領(lǐng)域的重要研究領(lǐng)域。許多學(xué)者從不同科研角度運(yùn)用混沌序列的易生成性，對(duì)初始條件強(qiáng)敏感性，可完全重現(xiàn)性，以及整體的偽白噪聲統(tǒng)計(jì)特性等特點(diǎn)設(shè)計(jì)出多種基于混沌序列的數(shù)字圖像加密方法，但其中許多算法都是基于一維混沌系統(tǒng)，雖然一維混沌系統(tǒng)具有形式簡(jiǎn)單，產(chǎn)生混沌序列效率高等特點(diǎn)，但其密鑰空間有限，很難有效抵御窮舉攻擊。

為了克服上述缺陷，本文提出了一種基于混合混沌序列的圖像加密算法，首先利用復(fù)合logistic與Chebyshev映射生成的混沌序列對(duì)數(shù)字圖像位置進(jìn)行置亂，再次利用logistic映射對(duì)彩色圖像的RGB值進(jìn)行加密，從而達(dá)到對(duì)像素位置和像素色彩域雙重加密。通過(guò)實(shí)驗(yàn)分析表明，此算法具有可靠、快速和魯棒性強(qiáng)等特點(diǎn)，并已經(jīng)應(yīng)用在公安業(yè)務(wù)領(lǐng)域中網(wǎng)絡(luò)會(huì)檢系統(tǒng)中，從而保證網(wǎng)上會(huì)檢中案件彩色圖片文件傳輸?shù)陌踩?/p>

1 混沌映射的分析

混沌現(xiàn)象是在非線(xiàn)性動(dòng)力系統(tǒng)中出現(xiàn)的確定性的、類(lèi)似隨機(jī)的過(guò)程，這種過(guò)程既非周期，又不收斂，并且對(duì)初始值有及其敏感的依賴(lài)性。通過(guò)混沌映射可以提供數(shù)量眾多的不相關(guān)、可再生的信號(hào)，給定一個(gè)離散混沌系統(tǒng)兩個(gè)非常接近的初始值，經(jīng)過(guò)幾次迭代后，輸出的結(jié)果可以完全不相關(guān)。因此，利用混沌系統(tǒng)對(duì)初始條件的極其敏感的依賴(lài)性，可以提供數(shù)量眾多、非相關(guān)、類(lèi)隨機(jī)而又確定可再生的混沌序列。當(dāng)前在混沌系統(tǒng)中，應(yīng)用較為廣泛的一維非線(xiàn)性動(dòng)力系統(tǒng)主要有Logistic映射與K階Chebyshev映射。

1.1 Logistic映射及其特性分析

Logistic映射是一種結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單但應(yīng)用廣泛的一維非線(xiàn)性動(dòng)力系統(tǒng)，其定義如下：

其中，0≤μ≤4稱(chēng)為分枝參數(shù)，Xk∈（0，1）。當(dāng)3.5699456…≤μ≤4時(shí)，Logistic映射工作于混沌狀態(tài)。也就是說(shuō)，由初始條件x0在Logistic映射的作用下所產(chǎn)生的序列{Xk}，k=0，1，2…是非周期性的、不收斂的，且對(duì)初始值非常敏感。對(duì)于一般的混沌映射Xk+1=f（Xk），概率密度函數(shù)為：

對(duì)于式（1）形式的Logistic映射，如果μ＝4，Logistic映射所生成的序列的概率分布函數(shù)可改寫(xiě)為

通過(guò)ρ（x），可以計(jì)算得到Logistic映射所產(chǎn)生的混沌序列的一些很有意義的統(tǒng)計(jì)特性。例如，混沌序列軌跡點(diǎn)的均值是

關(guān)于相關(guān)函數(shù)，獨(dú)立選取兩個(gè)初始值x0和y0，則序列的相關(guān)函數(shù)為

Logistic映射的以上特性表明，混沌動(dòng)力系統(tǒng)具有一定的確定性，其動(dòng)力統(tǒng)計(jì)特性具有形式簡(jiǎn)單，對(duì)初始條件敏感等諸多特性。但是直接通過(guò)Logistic映射的迭代所產(chǎn)生的密鑰序列有以下缺點(diǎn)：

（1）混沌序列參數(shù)μ易被破解。上述由公式生成的混沌序列，無(wú)論迭代次數(shù)多少，只要可以得到任意一點(diǎn)（Xk，Xk+1），就可確定參數(shù)μ=Xk+1/Xk(1-Xk)。

（2）在有限精度下，易陷入周期循環(huán)，且周期不易確定，由于在迭代過(guò)程中，由于參數(shù)μ數(shù)值不變，只要產(chǎn)生同樣的Xk必將產(chǎn)生同樣的Xk+1。計(jì)算中由于有限精度效應(yīng)，Xk只有有限個(gè)不同的值，因此必然存在一個(gè)迭代周期，此時(shí)混沌序列將陷入周期循環(huán)中。

1.2 K階Chebyshev映射及其特性分析

K階Chebyshev映射是一種簡(jiǎn)單的參數(shù)為階數(shù)的一維混沌映射，其迭代方程為

K階Chebyshev映射生成的混沌序列的概率密度函數(shù)為

通過(guò)ρ（X），可以得到Chebyshev映射的混沌序列的統(tǒng)計(jì)特性。例如，混沌序列軌跡點(diǎn)的均值是

關(guān)于相關(guān)函數(shù)，獨(dú)立選取兩個(gè)初始值x0和y0，則序列的相關(guān)函數(shù)為

K階Chebyshev映射的以上特性表明，混沌動(dòng)力系統(tǒng)具有一定的確定性，其動(dòng)力統(tǒng)計(jì)特性具有形式簡(jiǎn)單，對(duì)初始條件敏感等諸多特性。

1.3 混沌序列的生成

為避免Logistic映射生成混沌序列參數(shù)μ易被破解和陷入周期循環(huán)的缺陷，提高混沌的復(fù)雜性、本文對(duì)混沌映射進(jìn)行改進(jìn)，采用Chebyshev映射的迭代輸出的混沌序列作為L(zhǎng)ogistic映射的控制參數(shù)，使Logistic映射的控制參數(shù)μ也同樣處于混沌狀態(tài)，增加μ的變化情況，避免出現(xiàn)周期循環(huán)，可以增加算法的密鑰空間，提高算法的抗攻擊能力。生成的混沌序列的具體方法如下：

(1)實(shí)數(shù)序列：將Chebyshev映射階數(shù)k，初始值x0，代入（6）式中輸出混沌序列{Xk，k=0,1,2,… }，由于Logistic映射與k階Chebyshev映射在方程的定義值域存在較大差異，可采用線(xiàn)性分段函數(shù)將生成的Chebyshev映射混沌序列{Xk，k=0,1,2,… }轉(zhuǎn)化到3.5699456…≤μ≤4的值域范圍內(nèi)，形成序列{μk，k=0,1,2,… }，將|Xk|，μk代入（1） 式中形成實(shí)數(shù)序列。

(2)比特序列：由上述的實(shí)數(shù)值混沌序列得到，比特序列是通過(guò)對(duì){μk，k=0,1,2,… }中的μk改寫(xiě)為L(zhǎng)-bit的浮點(diǎn)數(shù)形式得到的。

其中bi(Xk)是Xk的第i位。所需數(shù)列即為：

2 基于復(fù)合混沌序列的彩色圖像加密算法

2.1 算法原理

彩色數(shù)字圖像通常都是由矩陣Am×n保存，每個(gè)矩陣元素ai,j的值表示彩色圖像對(duì)應(yīng)像素的RGB值以及Alpha（透明度）值，本算法首先采用對(duì)Am×n進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，對(duì)原始彩色圖像各個(gè)像素點(diǎn)位置進(jìn)行置亂，即將原始圖像矩陣Am×n轉(zhuǎn)化為Bm×n，破壞原圖像的有序性，達(dá)到置亂的目的，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)像素位置的加密，再利用復(fù)合比特混沌序列對(duì)Bm×n進(jìn)行像素值的變換，即通過(guò)轉(zhuǎn)化復(fù)合比特混沌序列，對(duì)Bm×n中的每一個(gè)元素bi,j的像素值進(jìn)行加密，改變密圖的R、G、B值，甚至改變Alpha（透明度）值，具體的加密算法如圖1所示，表示彩色數(shù)字圖像的矩陣中對(duì)應(yīng)的每一個(gè)元素值都是由32位4個(gè)字節(jié)構(gòu)成，其具體的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖1 基于復(fù)合混沌序列的彩色圖像加密算法的流程圖

圖2 彩色數(shù)字圖像像素點(diǎn)的構(gòu)成

通過(guò)加密算法對(duì)對(duì)每一個(gè)像素的32位進(jìn)行加密，徹底改變彩色圖像的像素值，將像素位置置亂和像素值置換的雙重加密技術(shù)可以大大提高加密算法的抗攻擊性。

2.2 加密與解密算法設(shè)計(jì)

基于復(fù)合混沌序列的彩色圖像加密算法設(shè)計(jì)基于Logistic映射和Chebyshev映射，算法的密鑰參數(shù)為Chebyshev映射的階數(shù)k和初始值x0。設(shè)原始圖像為A(i,j),i=0,1,2,…M-1,j=0,1,2,…N-1。其中（i,j）表示為某一像素的坐標(biāo)，g（i,j）表示該像素點(diǎn)的RGB和Alpha值。彩色圖像的具體加密過(guò)程如下：

（1）利用Chebyshev映射的階數(shù)k和初始值x0，采用式（6）生成混沌序列{Xk，k=0,1,2,…M×N-1},采用線(xiàn)性分段函數(shù)將生成的Chebyshev映射混沌序列{xk，k=0,1,2,… M×N-1}}映射至3.5699456…≤μ≤4的值域范圍內(nèi)，形成序列{μk，k=0,1,2,…MN-1 }，將|Xk|，μk代入（1）式中形成實(shí)數(shù)序列。取初始值x0＝0.123，k＝6，同時(shí)為了增加算法的隨機(jī)性，不使用該序列的初始段部分，由Logistic映射產(chǎn)生一個(gè)長(zhǎng)度為MN的實(shí)數(shù)混沌序列L{L1，L2，…LM×N}。

（2）將生成的實(shí)數(shù)混沌序列轉(zhuǎn)化為二維矩陣LM×N,并與原始圖像AM×N中的元素一一對(duì)應(yīng)。對(duì)二維矩陣LM×N從第1行至第M行，同行N個(gè)元素進(jìn)行排序，形成每行都是有序的二維矩陣L′M×N，由于原始圖像AM×N的每個(gè)元素位置與二維矩陣LM×N每個(gè)元素一一對(duì)應(yīng)，原始圖像AM×N轉(zhuǎn)化為A′M×N。同理，再對(duì)二維矩陣L′M×N從第1列至第N列，同列M個(gè)元素進(jìn)行排序，形成每列都是有序的二維矩陣L＂M×N，AM×N轉(zhuǎn)化成A＂M×N，即完成彩色圖像的位置置亂，形成像素位置置亂的密圖BM×N。

（3） 重復(fù)步驟（1） 中，取初始值x1＝0.156，k′＝6，同時(shí)為了增加算法的隨機(jī)性，不使用該序列的初始段部分，由Logistic映射最終產(chǎn)生一個(gè)長(zhǎng)度為4×M×N的實(shí)數(shù)混沌序列L{L1，L2，…L4×M×N}，將生成的實(shí)數(shù)混沌序列按公式（12）轉(zhuǎn)化成比特混沌序列P{P1，P2…P4×M×N}其中i=1，2… 4×M×N

（4） 生成的比特混沌序列P{P1，P2…P2×M×N}，每四個(gè)元素構(gòu)成一維數(shù)組，比特混沌序列P轉(zhuǎn)化為二維矩陣P′M×N，其中元素是由比特混沌序列數(shù)組P′{P1′，P2′… PM×N′}組成。P1′={P4i+1，P4i+2，P4i+3，P4i+4}，i=0，1，2… M×N-1。

（5） 將BM×N的元素bi,j的R、G、B、Alpha分量分別進(jìn)行像素值加密，具體的方法是將bi,j的R、G、B、Alpha分量分別與Pi′數(shù)組中的4個(gè)分量，Pi′{P4i+1，P4i+2，P4i+3，P4i+4}進(jìn)行按位異或。由此得到數(shù)字圖像加密矩陣CM×N，即是經(jīng)過(guò)像素位置置亂與像素值加密后的密圖。

解密過(guò)程與加密過(guò)程互逆，先將密圖CM×N經(jīng)過(guò)像素值比特混沌序列解密得到密圖BM×N，最后將BM×N經(jīng)過(guò)像素位置置亂的混沌解密，先按列解密再按行解密，得到數(shù)字圖像Am×n，完成解密。解密算法的步驟順序與加密算法順序依次顛倒，各階段生成的混沌序列的初始值都不變。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

筆者在vc#.net實(shí)現(xiàn)上述算法，并采用本文算法針對(duì)多幅圖像進(jìn)行加密，實(shí)驗(yàn)中所用的原始圖片為如圖3（a）所示的256×256彩色印章印文圖片，取初始值（密鑰）x0＝0.124，階數(shù)k＝6.0，圖3（b）為采用本文復(fù)合混沌序列算法所得到的加密圖像。圖3（c）為密鑰正確的解密后的圖像，圖3（d）為密鑰錯(cuò)誤的解密后的圖像。從仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)看，本算法能有效的加密和解密圖像，如初始值（密鑰） x0＝0.125，階數(shù)k＝6.0，就無(wú)法對(duì)圖像進(jìn)行正確解密。

圖3 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

3.2 灰度直方圖分析

由于圖像的連續(xù)性，其像素分布是不均衡，因此可以針對(duì)這一特殊情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)攻擊。圖4（a）和圖4（b）相比較，可見(jiàn)使用本算法的加密密圖的直方圖分布很均勻，完全掩蓋了變換前的分布規(guī)律。

圖4 印章印文圖像加密前后的灰度直方圖

3.3 密鑰敏感性分析

密鑰敏感度主要分析在加密一幅圖像后，采用不同的密鑰進(jìn)行解密實(shí)驗(yàn)中，檢測(cè)其是否可以還原出正確的加密圖像。錯(cuò)誤密碼解密如圖3（d）可以看到加密密鑰和解密密鑰相差千分之一，也不能正確解

3.4 密鑰空間分析

基于復(fù)合混沌序列的圖像加密算法的密鑰參數(shù)為Chebyshev映射的初態(tài)取值空間為（-1,1），在計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)中，其初態(tài)是由64位數(shù)表示，窮解法破解空間巨大，該算法明顯可以抵抗窮解法的攻擊。

3.5 兩相鄰像素點(diǎn)的相關(guān)性分析

首先從圖像中隨機(jī)選取3000對(duì)相鄰像素點(diǎn)，然后利用以下公式計(jì)算：

式中，x和y分別表示圖像中2個(gè)相鄰像素的灰度值，rxy即為2個(gè)像素點(diǎn)的相關(guān)系數(shù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明印章印文圖像的原相鄰像素高度相關(guān)，其相關(guān)系數(shù)接近1，經(jīng)過(guò)文本加密算法加密后的密圖，其相鄰像素的相關(guān)系數(shù)接近0，這說(shuō)明密圖的相鄰像素已經(jīng)基本不相關(guān)，表明本算法具有較強(qiáng)的抗統(tǒng)計(jì)分析能力。

4 結(jié)論

提出了一種基于復(fù)合混沌序列的彩色圖像加密算法，該算法基于Logistic映射和Chebyshev映射，采用線(xiàn)性函數(shù)將由Chebyshev映射生成的混沌序列轉(zhuǎn)化至logistic映射的μ的值域范圍內(nèi)，并將由此生成的 Logistic映射的分枝參數(shù) μ 的實(shí)數(shù)序列和由Chebyshev映射生成的混沌序列生成的初始值對(duì)彩色圖像進(jìn)行像素位置置亂，再利用生成的比特混沌序列對(duì)像素位置置亂后的密圖中的像素RGB和Alpha值進(jìn)行加密。仿真實(shí)驗(yàn)表明由于利用復(fù)合混沌序列對(duì)像素位置和像素值的雙重加密，算法的密鑰空間大，對(duì)初始密鑰極端敏感，直方圖分布均勻，加密效果良好，加密速度快，具有極高的安全性，該算法現(xiàn)已應(yīng)用于公安業(yè)務(wù)領(lǐng)域中網(wǎng)絡(luò)會(huì)檢系統(tǒng)中，有力地保證網(wǎng)上會(huì)檢工作中有關(guān)案件的彩色圖片文件傳輸?shù)陌踩?/p>

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