邱安洪（清華大學微納電子系，北京100084）

一種改進的基于當前統(tǒng)計的α-jerk目標機動模型?

邱安洪
（清華大學微納電子系，北京100084）

提出了一種改進的基于當前統(tǒng)計的α-jerk目標機動模型，它假設當目標在某一時刻發(fā)生機動時，其下一時刻發(fā)生機動的取值是有限的。因此它在建立目標機動的運動模型時，就沒有必要考慮機動的所有值。為提高對機動目標的位置跟蹤精度，采取了在傳統(tǒng)α-jerk目標機動模型的基礎上增加一項目標機動的均值，即對目標急動進行非零均值建模，并和α-jerk目標模型仿真對比，仿真結果表明，新算法不僅能夠實時估計參數(shù)α的值，而且與α-jerk目標機動模型相比，其收斂速度更快，對目標位置的狀態(tài)估計更精確

機動目標跟蹤；當前統(tǒng)計α-jerk模型；α-jerk模型；收斂速度；狀態(tài)估計

1 引言

1960年，Kalman對線性系統(tǒng)的估值問題提出了經典的濾波算法，即Kalman濾波，隨后，Kalman濾波在雷達目標跟蹤、導航和測繪中得到了廣泛的應用。建立目標的運動數(shù)學模型是實現(xiàn)Kalman濾波的一個重要環(huán)節(jié)，也是實現(xiàn)目標精確跟蹤的基礎。自20世紀70年代后，國內外學者就機動目標建模上提出很多富有效果的模型。如1970年Singer［1］提出的一階加速度時間相關的Singer模型，1982年Bar-shalom和Birmiwal提出的的含機動檢測的機動目標跟蹤模型［2］，以及1984年我國學者周宏仁在Singer模型基礎上提出的目標機動的當前統(tǒng)計模型［3］。上述文獻是在目標的加速度級進行建模。1997年，Mehrotra提出了機動目標跟蹤的jerk模型［4］，首次對目標加速度的導數(shù)進行建模，擴大了目標建模的階數(shù)，并具有良好的跟蹤效果。在這些模型中，對機動時間常數(shù)α的取值是預先人為設定的，在缺乏對目標的了解下，會造成誤差，而且α可能是時變的。所以文獻［5］在jerk模型的基礎上對α進行建模，實現(xiàn)α的自適應。

傳統(tǒng)的α-jerk目標機動模型對目標jerk的建模是基于零均值模型，該模型假設當前時刻目標jerk的值和上一時刻目標jerk的值不相關，這也就考慮了當前時刻目標jerk取值的所有可能性，而在實際中，常?？紤]目標jerk的當前可能性，即當目標現(xiàn)時以某一jerk機動時，其在下一瞬時jerk的取值是有限的，而且只能在“當前”jerk的鄰域內，因此，在描述目標jerk的概率密度時，完全沒有必要考慮目標jerk的所有可能性。基于上述考慮，本文結合jerk模型對距離的三階導數(shù)進行建模，同時考慮到αjerk目標機動模型［5］采用零均值的缺陷，對目標機動采用非零均值時間相關模型，在α-jerk目標機動模型的基礎上增加目標jerk的均值，對改進的目標機動模型和傳統(tǒng)α-jerk目標模型進行仿真對比，并結合仿真結果，重點分析兩種模型對運動目標位置的跟蹤性能。

2 目標機動的非零均值時間相關模型

在文獻［4］中，Mehrotra對距離的三階導數(shù)·x·定義為目標的急動（即jerk），并根據(jù)Singer的加速度時間相關模型［1］，假設目標的jerk變化是相關的，并且定義目標jerk的相關函數(shù)為

根據(jù)Wiener-Kolmogorov白化過程，對式（1）中的機動時間相關函數(shù)rj（τ）進行Laplace變換，可得

根據(jù)成形濾波器理論可知，H（s）是目標機動j（t）的傳遞函數(shù)，W（s）是白噪聲W（t）的傳遞函數(shù)。由式（3）和式（4）可得如下方程：

式中，w（t）是零均值白噪聲，其相關函數(shù)為

由式（5）可知，j（t）表示的是零均值時間相關模型，即為傳統(tǒng)α-jerk目標機動模型，然而在實際中，當目標正以某一jerk進行狀態(tài)變化時，它在下一瞬時的jerk取值范圍是有限的，它只能在“當前”jerk的鄰域內，因此在描述目標jerk的概率密度時，完全沒有必要考慮目標jerk的所有可能性，可以采用修正的機動瑞利密度函數(shù)，其均值是“當前”jerk，即jerk的非零均值時間相關模型。其修正的瑞利密度分布函數(shù)為

式中，jmax為目標jerk的最大值，j為目標的jerk，u＞0為一常數(shù)。在瑞利分布概率密度下，目標jerk的均值為

一般來說，可以預知目標機動的最大值jmax。因此當測得目標jerk的均值時，可以求出

而目標jerk的方差為

可以看出，只要求出目標jerk的均值，就可以相應的獲得目標jerk的方差，將此方差代入卡爾曼濾波方程中，即可獲得方差自適應濾波算法。

根據(jù)估值理論，在所關心的每一目標當前模型情況下，目標jerk的均值ˉj就是在觀察量y（t）下的條件均值，即狀態(tài)變量j（t）的最佳線性估計值，所以

由上述可知，機動目標的“當前”統(tǒng)計模型的采用使我們只需要考慮當前具體的目標jerk的概率分布，因此模型會比較準確。而采用修正的瑞利分布則在目標jerk和其均值之間建立了適當?shù)穆?lián)系，使得自適應濾波算法易于實現(xiàn)。

同時，為了實現(xiàn)參數(shù)α的自適應，α可以表示為非零均值白噪聲。又有白噪聲的導數(shù)仍為白噪聲，于是˙α可以表示為一零均值白噪聲。對α進行建模為˙α=ε（t），其中ε（t）為零均值白噪聲。同時ε（t）和w（t）互不相關。則根據(jù)式（14）可以得出目標的連續(xù)時間狀態(tài)方程為

K時刻的量測方程為

其中，中，H = [ 10000]；V（K）為零均值白噪聲，并且與狀態(tài)噪聲W（t）互不相關。

3 當前統(tǒng)計的α-jerk目標機動模型

對式（16）的連續(xù)時間方程進行離散化處理后可得X（k+1）=F（k+1，k）X（k）+U（k）ˉj+W（k）（19）

其中：

F（k+1，k）是從tk到tk+1時刻的狀態(tài)轉移矩陣。U（k）是輸入矩陣，W（k）是離散后的白噪聲向量。ˉj為目標狀態(tài)的預測，其值為ˉj=｜k）。

其中：

狀態(tài)噪聲W（K）的協(xié)方差為

對于式（21）的狀態(tài)轉移矩陣，當α→0時，說明目標作高速機動，則有

4 仿真分析

為簡單起見，在仿真中，我們考慮一維直角坐標的情況。同時，考慮到改進的算法涉及到非線性處理，為提高非線性處理精度，采用UKF（無跡卡爾曼濾波）算法［6］進行濾波。其參數(shù)為，采樣周期T= 1 s，采樣點數(shù)為200，量測噪聲方差R=10 000m2，輸入白噪聲ε（t）的標準差為1，目標機動的標準差為σj=0.4，目標的真實運動軌跡如圖1所示。

圖2和圖3中，點劃線表示采用傳統(tǒng)α-jerk模型的位置估計誤差，實線表示本文提出的基于當前統(tǒng)計α-jerk模型的位置估計誤差。圖2和圖3分別為取α=0.1和α=100兩種情況，分別對應目標強機動和弱機動情況，從圖中可以看出由于兩種算法都實現(xiàn)了α的自適應，能夠比較精確地跟蹤目標的位置。相比于α-jerk目標模型，采用當前統(tǒng)計α-jerk模型的跟蹤算法對目標的位置跟蹤更加精確，相比于α-jerk目標模型的誤差要小，也更加小，收斂速度要快。這是因為改進的目標機動模型。采用了對目標機動的均值估計，使其對目標機動的取值在有限范圍內進行預測，濾波誤差比α-jerk模型的濾波誤差小。仿真結果表明基于當前統(tǒng)計的α-jerk目標模型對目標跟蹤更穩(wěn)定。

5 結論

由于目標在發(fā)生機動時，其急動值j（t）的取值范圍是一定的，本文采用目標jerk的非零均值時間相關模型，將目標的jerk表示為修正的瑞利-馬爾科夫過程，并以此為基礎對機動目標進行建模，仿真結果表明，基于當前統(tǒng)計的α-jerk目標機動模型在強機動（α=0.1）和弱機動（α=100）情況下的自適應跟蹤性能比α-jerk目標機動模型好，濾波誤差小，跟蹤精確度高。實際目標的運動形態(tài)是在二維或者是三維場景中，往往各維之間相互關聯(lián)，在進行濾波處理時，需對各維進行解耦合操作，然后在各維分別運用改進的算法進行濾波處理。對高維的目標解耦合是需要進一步研究的內容。

［1］Singer R A.Estimating Optimal Tracking Filter Performance for Manned Maneuvering Targets［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，1970，6（7）：473-483.

［2］Bar-ShaloMY，Birmiwal K.Variable Dimension Filter for Maneuvering Target Tracking［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，1982，18（9）：621-630.

［3］Zhou H，Kumar K SP.A“Current”Statistical Model and Adaptive AlgorithMfor Estimating maneuvering Targets［J］. AIAA Journal of Guidance，1984，7（5）：596-602.

［4］Mehrotra K，Mahapatra PR.A Jerk Model for Tracking Highly Maneuvering Targets［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，1997，33（4）：1094-1105.

［5］Luo X B，Wang H Q，LiX.Anα-jerk Model for Tracking Maneuvering Targets［J］.Signal Processing，2007，23（4）：481-484.

［6］朱安福，景占榮，羊彥，等.UKF及其在目標跟蹤中的應用［J］.火力與指揮控制，2008，33（8）：27-29. ZHU An-fu，JING Zhan-rong，YANG Yan，et al.UKF and Its Application to Target Tracking［J］.Fire Control＆Command Control，2008，33（8）：27-29.（in Chinese）

An Improved Target Maneuver Model Based on Current-Staticalα-jerk

QIU An-hong
（Institute of Micro-Electronics，Tsinghua University，Beijing 100084，China）

An improved current-staticalα-jerkmaneuvering targetmodel is proposed.It assumes thatwhen a target ismaneuveringwith a certain jerk atpresent，the region of jerk which can be taken in the next instant is limited.Therefore，it is unnecessary to take all of the jerk values of targets into account during the establishment of statisticalmodel ofmaneuvering.To improve the position accurancy in trackingmaneuvering targets，amean value of jerk is added compared withα-jerk model，that is，modeling the jerk based on the none zero-mean value. The simulation result shows that the proposed algorithMcan adaptively estimate the value of parameterαand convergesmore quickly and has lower estimation error in position compared withα-jerkmaneuvermodel.

maneuvering target tracking；current-staticalα-jerk model；α-jerk model；convergency speed；state estimation

the B.S.degree in 2009.He isnoWa graduate student.His research concerns radar signal processing and embedded system.

1001-893X（2012）11-1832-05

2012-04-26；

2012-06-04

TN953

A

10.3969／j.issn.1001-893x.2012.11.025

邱安洪（1986—），男，江西贛州人，2009年獲學士學位，現(xiàn)為碩士研究生，主要研究方向為雷達信號處理及嵌入式系統(tǒng)。

Email：myqiu1986＠163.com

QIU An-hong was born in Ganzhou，Jiangxi Province，in 1986.He