張 輝，胡陽漣

（1．咸陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 咸陽 712000；2．西安理工大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710054）

在圖像處理和計算機視覺領(lǐng)域，圖像分割是其中的一個難點，也是重點。它的目的是將我們感興趣的目標(biāo)從圖像復(fù)雜的背景中提取出來，以便進行更深入的分析和處理。圖像分割方法多種多樣，如基于閾值的分割方法，基于邊緣的分割方法，基于內(nèi)容的分割方法，基于統(tǒng)計的分割方法等?；隈R爾可夫隨機場（MRF）模型的圖像分割方法[1]，是一種基于統(tǒng)計的分割方法，以其模型參數(shù)少，空間約束能力強，易于和其他方法相結(jié)合等優(yōu)點，在圖像分割以及其他圖像分析領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用。

基于MRF模型的圖像分割是基于貝葉斯后驗概率理論的。一般采用雙MRF，一個隨機場對應(yīng)于觀測圖像，另一個隨機場對應(yīng)于未知的分類標(biāo)號，通過迭代算法將圖像的局部信息逐步傳遞到整個圖像，以求得分割標(biāo)號的最大后驗概率（MAP）。傳統(tǒng)的基于 MRF模型的圖像分割都是基于均勻MRF隨機場的，即假定MRF中的耦合系數(shù)是一個常數(shù)。然而，在許多圖像中，不同的紋理特征有不同的耦合系數(shù)，假定一個耦合系數(shù)會帶來分割效果的明顯變差，且不具有自適應(yīng)性。近年來，許多學(xué)者提出了基于非均勻MRF的圖像分割[2]，將圖像建模為一個非均勻的MRF，改善了分割效果。非均勻MRF與均勻MRF的不同之處在于非均勻MRF采用的是可變的耦合系數(shù)，而均勻MRF的耦合系數(shù)是一個常數(shù)。一般將圖像分為大小相等的子塊，再用期望最大化（EM）算法[3]估計每個子塊中心象素點的耦合系數(shù)，利用線性插值，得到每個象素點的耦合系數(shù)。由于子塊的劃分沒有利用任何統(tǒng)計信息和邊緣信息以及相鄰像素之間的相互影響，因此這種估計方法并不準(zhǔn)確。本文提出在圖像預(yù)分割的基礎(chǔ)上，結(jié)合圖像的統(tǒng)計性質(zhì)和邊緣信息對圖像進行四叉樹分解，把圖像分成不同大小的子塊。再根據(jù)每個子塊的大小以及子塊內(nèi)邊緣信息的豐富程度，估計出非均勻MRF的耦合系數(shù)。實驗表明，本文的估計方法較為準(zhǔn)確，將它應(yīng)用到圖像分割中，能增強圖像分割的自適應(yīng)性，改善分割效果。

1 基于非均勻MRF的圖像分割

圖像分割問題實際上可以看作是圖像的標(biāo)記問題。平面上的象素點集為 S，滿足 S={s1，s2，ΛΛ，sM×N}，圖像象素點的總數(shù)為M×N。假定得到觀測的圖像數(shù)據(jù)為F，ω為圖像的標(biāo)記場，ω=（ωs1，ωs2ΛΛ，ωsM×N），ωs∈Λ={1，2，ΛΛ，L-1}，L 是類別的總數(shù)。圖像分割問題轉(zhuǎn)化為求解標(biāo)記場ω，使得Bayes后驗概率達到最大。

其中P（ω）是標(biāo)記場ω的先驗概率，是關(guān)于圖像結(jié)構(gòu)一般性知識的概率描述；P（F|ω）是觀察值F的條件概率分布（也稱為似然函數(shù)）。P（F）是觀測場的概率。因為觀測數(shù)據(jù)F是給定的，所以P（F）是一個常量。因此有：

因此只要定義出先驗概率P（ω）和似然函數(shù)P（F|ω）就可以把圖像分割問題轉(zhuǎn)化為如下的最優(yōu)化問題：

根據(jù)大數(shù)定理，假設(shè)概率P（F|ω）服從高斯分布，且類別λ用它的均值μλ和方差σλ來表示，則似然能量函數(shù)可以表示如下：

對于先驗?zāi)Ｐ?，假設(shè)它符合MRF模型。由Hammersley-Clifford定理[4]可知，一個馬爾可夫隨機場與一個 Gibbs隨機場等價。因此只要定義了Gibbs隨機場的能量函數(shù)[5]，那么這個MRF也就確定了。Gibbs隨機場的概率密度函數(shù)可以表示為：

圖1 8-鄰域系統(tǒng)Fig．1 Eight-Neighborhood

因此勢團勢能計算公式可以表示為

相應(yīng)的先驗?zāi)芰亢瘮?shù)為

其中 βs即為像素點 S的耦合系數(shù)， 通常在區(qū)間[0．1，2．4]上取值，它控制區(qū)域的同構(gòu)性，在均勻MRF中，βs是一個常數(shù)。在非均勻MRF中，βs是需要根據(jù)圖像特征去估計的一個變數(shù)，這也是均勻MRF和非均勻MRF的不同之處。下面將介紹一種估計耦合系數(shù)βs的新算法。

2 基于四叉樹分解的耦合系數(shù)估計方法

2．1 同構(gòu)性的度量

在非均勻MRF中，耦合系數(shù)不是一個常數(shù)，是隨著圖像中局部的紋理特征而變化的。耦合系數(shù)表征了圖像的同構(gòu)性。在圖像中灰度值分布散亂的區(qū)域，其同構(gòu)性比較弱，耦合系數(shù)也就較小；而在圖像的“塊”較大的區(qū)域，同構(gòu)性比較強，耦合系數(shù)比較大。圖2顯示了耦合系數(shù)和圖像特征之間的關(guān)系。

圖2 耦合系數(shù)與圖像特征的關(guān)系Fig．2 Relation of isomorphic coefficient and image feature

在同一幅圖像中，耦合系數(shù)往往β不是均勻分布的。如圖3中的耦合系數(shù)隨著圖像的散亂程度從左到右逐漸變大。圖4為圖3的耦合系數(shù)的圖像表示。

圖3 散亂程度漸變的圖像Fig．3 Scattered degree gruadually changed image

圖4 耦合系數(shù)的圖像表示Fig．4 Isomorphic coefficient image

通過觀察發(fā)現(xiàn)在同構(gòu)性小的區(qū)域，在進行初始分割后，其邊緣信息比較豐富。因此用邊緣信息的豐富程度，來度量圖像在局部的同構(gòu)性。具體做法如下：假如Mi為圖像的一個子m×m的子塊，di為該子塊內(nèi)邊緣點的個數(shù)，定義耦合度為：

其中τ1為調(diào)節(jié)因子，它可以調(diào)節(jié)邊緣信息在計算耦合度時的權(quán)重。

2．2 基于四叉樹分解的耦合系數(shù)估計方法

四叉樹分解的基本思想是首先將圖像分為4個大小相等子塊，在每個子塊里面計算其圖像特征（如均方差），如果此特征小于某個給定的域值，則再將該子塊劃分為4個相同大小的子塊，如此循環(huán)，直到子塊的大小達到預(yù)先給定的最小值為止。

這里以耦合度來作為圖像特征，進行四叉樹分解，這樣就可以將耦合度比較大的區(qū)域分成比較大的子塊，耦合度比較小的區(qū)域被分解成比較小的子塊。在分解之前先進行一次基于均勻MRF的預(yù)分割，迭代少數(shù)幾次即可。采用遞歸的算法，進行分解。以下是算法的步驟：

Step1：用基于均勻MRF的圖像分割方法，迭代10～20次，對圖像進行預(yù)分割；

Step2：對預(yù)分割后的圖像I進行初始劃分，把圖像分為4個相同大小的子塊I1，I2，I3，I4， 如果Ii的尺寸大于給定的最小尺寸，則轉(zhuǎn)到step3，否則退出程序；

Step3：依次計算 I1，I2，I3，I4內(nèi)的耦合度，如果子塊 Ii的耦合度 βi小于給定域值 βT，則令 Ii等于 I，轉(zhuǎn)到 step2。

圖5 Lena圖的四叉樹分解Fig．5 Quad-tree decomposing of image Lena

圖5顯示了Lena圖的四叉樹分解。由圖5可以看出，對圖像進行四叉樹分解之后，同構(gòu)性小的區(qū)域被分成比較小的子塊，同構(gòu)性比較大的區(qū)域被分成了比較大的區(qū)域。因此可以用子塊的大小來描述耦合系數(shù)的大小。由于耦合系數(shù)的取值一般是在區(qū)間[0．1，2．4]上取值，將區(qū)間進行均勻劃分，對應(yīng)不同的子塊尺寸。表1給出了耦合系數(shù)和子塊尺寸之間的對應(yīng)關(guān)系。

表1 子塊尺度與耦合系數(shù)的關(guān)系Tab.1 The relation of the subblocks’sizes and isomorphic coefficient

3 實驗與分析

為了驗證本文算法的有效性，我們對兩幅256×256灰度圖像分別用傳統(tǒng)的基于MRF的分割方法和本文提出的方法進行了分割。程序的運行平臺為賽揚2．66 CPU，512 MB內(nèi)存，VC++6．0環(huán)境。本文的馬爾可夫隨機場求解方法為模擬退火算法，邊緣檢測算子為Sobel算子，預(yù)分割時的耦合系數(shù)取常數(shù)1．2?；隈R爾可夫隨機場的圖像分割要用到兩組重要的參數(shù)，及每個類別λ的均值μλ和方差σλ來。為了精確起見，本文采用樣本訓(xùn)練的方法得到。如圖6所示，選取方框中的特征塊作為樣本，得到每種紋理的均值和方差。分割模型中參數(shù)的取值都取經(jīng)驗值，其中初始溫度T=6，溫度調(diào)節(jié)因子α=0．95，加權(quán)系數(shù) τ1=0．08。 從圖 6（c），（d），（e），（f）可以看出，在圖像預(yù)分割以后再進行四叉樹分解，可以將圖像的邊緣較豐富的區(qū)域分成比較小的方塊，而邊緣少的區(qū)域被分解成比較大的方塊。而小的方塊對應(yīng)小的耦合系數(shù)，這樣在反復(fù)迭代中就能很好的保護邊緣。

圖6 待分割圖像及其四叉樹分解Fig．6 Original images and their quad-tree decomposed Images

文中的分割結(jié)果以及傳統(tǒng)的分割結(jié)果如圖7所示。

圖7 分割結(jié)果Fig．7 Result of segmentation

從實驗結(jié)果可以看出，傳統(tǒng)的基于均勻MRF的分割方法中耦合系數(shù)過小容易產(chǎn)生較多孤立點（如圖7（b）以及圖7（e）中圓圈內(nèi)所示），而耦合系數(shù)過大又不能很好的保持邊緣（如圖 7（c）以及圖 7（f）中圓圈內(nèi)所示）。而本文的分割方法采用了自適應(yīng)的耦合系數(shù)估計方法，從而能夠達到更為細膩的分割效果（如圖 7（a）以及圖 7（d）所示），這充分證明了文中方法具有較強的自適應(yīng)性和魯棒性。

4 結(jié) 論

首先簡要闡述了基于非均勻馬爾可夫隨機場的圖像分割原理及基本方法，然后從對耦合度的研究出發(fā)，提出了一種基于四叉樹分解的耦合系數(shù)估計方法，并將此估計方法與基于馬爾可夫隨機場的圖像分割算法相結(jié)合進行了數(shù)值實驗。實驗表明，本文方法與傳統(tǒng)的基于馬爾可夫隨機場的圖像分割算法相比效果更好，具有更好的自適應(yīng)性。

[1]ZHANGYong-yue，Smith S，Brady M．Hidden Markov random field model and segmentation of brain MR images[M]．FMRIB Technical Report TR00YZ1 Oxford University，2000．

[2]Gu D B，Sun JX．Emimage segmentation algorithm based on an inhomogeneous hidden MRF model[C]//IEE Proc．-Vis．Image Signal Process．，2005．

[3]ZHANG Yong-yue，Brady M，Smith S．Segmentation of brain MR image trough a hidden markov random field modle and the expection-maximination algorithm[J]．IEEE Transactions on Medical Imaging，2006，20（1）：45-57．

[4]Geman S，Geman D．Stochastic relaxation， Gibbs distributions and the Bayesian restoration of images[J]．IEEE Trans．Pattern Anal，1984，26（9）：721-741．

[5]Derin H，Elliott H．Modeling and segmentation of noisy and textured images using Gibbs Random Fields[J]．IEEE Trans，Pattern Anal．Machine Intell，1987，9（1）：39-55．

[6]胡陽漣．基于馬爾可夫隨機場的圖像分割研究[D]．西安：西安理工大學(xué)，2008．