李凌軒，姚紅良，劉子良，聞邦椿

(東北大學(xué)機械工程與自動化學(xué)院，遼寧 沈陽 110819)

在旋轉(zhuǎn)機械中，若系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼、剛度或激勵等參數(shù)在一個時間的自然單位(振動周期)內(nèi)僅發(fā)生微小變化，則該系統(tǒng)為慢變參數(shù)轉(zhuǎn)子系統(tǒng).慢變參數(shù)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)具有廣泛的工程背景，當(dāng)轉(zhuǎn)軸表面產(chǎn)生裂紋時，隨著裂紋的逐步擴展和加深，轉(zhuǎn)子剛度會發(fā)生變化，碰摩也逐漸加劇［1］.

在工程實際中，旋轉(zhuǎn)機械的不對中故障是非常普遍的，占到了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)故障的60%以上.轉(zhuǎn)子不對中將導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生軸向、徑向交變力，進(jìn)而引起軸向振動和徑向振動.當(dāng)不對中量超差過大時，會對設(shè)備造成一系列的有害影響.不對中狀態(tài)下的轉(zhuǎn)子運動會引起過度振動、軸承磨損、軸的大撓曲變形、轉(zhuǎn)子與定子間碰摩等再生故障，對系統(tǒng)的穩(wěn)定運行構(gòu)成威脅，嚴(yán)重時將造成災(zāi)難性事故［2］.

XU等［3－4］在1994年采用有限元法系統(tǒng)的對轉(zhuǎn)子不對中故障進(jìn)行了研究，并進(jìn)行了實驗分析.該模型中聯(lián)軸器為萬向節(jié)聯(lián)軸器.在實際工程中，柔性聯(lián)軸器不但起傳遞轉(zhuǎn)矩的作用，而且也還有減小扭轉(zhuǎn)沖擊的作用.在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，電機和轉(zhuǎn)子之間通過柔性聯(lián)軸器實現(xiàn)力矩的傳遞.由于柔性聯(lián)軸器的剛度和阻尼對旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的固有特性和減振效果影響非常大，所以在常見工程中將其處理為線性阻尼和線性剛度，結(jié)果偏差較大，尤其是對于高速旋轉(zhuǎn)機械.AL-HUSSAIN，SHENOY等人利用轉(zhuǎn)動剛度假設(shè)建立了柔性聯(lián)軸器彎扭耦合模型，進(jìn)而分析了角度不對中量和聯(lián)軸器剛度不同時的兩跨轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性［5－6］.

當(dāng)轉(zhuǎn)子發(fā)生不對中故障，故障機械從靜止?fàn)顟B(tài)開始啟動時，隨著轉(zhuǎn)速的增加，容易出現(xiàn)不對中角度隨之增大的現(xiàn)象，比如洗衣機脫水桶的啟動工況.這類對不對中角度隨轉(zhuǎn)速發(fā)生慢變和突變的故障研究具有重要的理論意義和實踐意義.本文將分析螺紋聯(lián)軸器－轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不對中角度發(fā)生慢變和突變時系統(tǒng)的非線性動力學(xué)行為.

1 模型與方法

1.1 有限元模型

在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，電機的轉(zhuǎn)子部分和轉(zhuǎn)軸二者之間通過柔性聯(lián)軸器相連，在研究時可以把電機部分從轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中分離出去而不加以考慮.該系統(tǒng)不對中模型簡圖如圖1如所示.

圖1中，c為支撐阻尼，k為支撐剛度，α為不對中角度.根據(jù)有限元法，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)由彈性軸段單元組成，軸段單元的廣義坐標(biāo)為兩端節(jié)點的位移，其有限元模型如圖2所示.

通常情況下，僅考慮彎曲變形和扭轉(zhuǎn)變形，而忽略軸向變形，則軸段單位廣義坐標(biāo)ub為

式中:yA和zA分別為A端y方向和z方向的位移;yB和zB分別為B端y方向和z方向的位移;θyA和θzA為A端y方向和z方向的角位移;θyB和θzB分別為B端y方向和z方向的角位移.文獻(xiàn)［7］中已經(jīng)指出螺紋聯(lián)軸器具有3次非線性特性.在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)模型中，不對中故障可以用激勵力和力矩來表示，考慮不對中激勵力的存在，軸及聯(lián)軸器結(jié)合處將對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)產(chǎn)生激振力，同時考慮不平衡力作用，得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)具有不對中故障時的力學(xué)模型為

式中:M為結(jié)構(gòu)的整體質(zhì)量矩陣;a為常數(shù)，由螺紋聯(lián)軸器的材料特性決定;C1為結(jié)構(gòu)的整體阻尼矩陣;C2為陀螺力矩陣;K為軸系的整體剛度矩陣，由各個單元剛度矩陣集合而成;Kn為螺紋聯(lián)軸器的非線性項;F為廣義不對中力;當(dāng)轉(zhuǎn)子存在偏心時，Q為偏心力.限于篇幅，各個矩陣的算法公式太大，請參考文獻(xiàn)［2，8］.

將柔性聯(lián)軸器看成一個軸段，根據(jù)柔性聯(lián)軸器的具有3次非線性剛度的特性，采用有限單元法處理，Kn可寫為下式:

通常情況下，在對轉(zhuǎn)子動力學(xué)進(jìn)行研究時，多采用集中質(zhì)量法，在MATLAB中常使用變步長四階五級Runge-Kutta-Fehhberg算法時，即常用ode45()函數(shù)實現(xiàn).為了使計算更精確、更接近實際情況，本文使用有限元法時，涉及到的自由度明顯偏多，此時采用ode45()函數(shù)難以對多自由度系統(tǒng)進(jìn)行求解.同時單純的Wilson-θ也常只能對多自由度線性方程求解，因此必須在Wilson-θ的基礎(chǔ)上加入Newton-Raphson迭代法，此時算法具有較快的收斂速度和較好的收斂性.

當(dāng)以位移為未知量使用Wilson-θ［9］和Newton-Raphson迭代法時，式(3)中Kn項可作為每一增量時間的有效載荷項的一部分處理.在計算每一增量時間的有效增量載荷時，將式(3)變?yōu)橛行偠染仃嚱M成的一部分，如下式所示:

式中:K'為聯(lián)軸器非線性項的有效剛度矩陣;E為彈性模量;I為轉(zhuǎn)動慣量;L為聯(lián)軸器的長度;b=3(yA－yB)2;c=3(θyA－θyB)2;m=3(zA－zB)2;n=3(θzA－ θzB)2.

1.2 不對中模型

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在高速旋轉(zhuǎn)時，電機經(jīng)過彈性聯(lián)軸器將運動傳輸?shù)睫D(zhuǎn)軸上，當(dāng)它們中心線之間夾角為α?xí)r，兩軸之間的角速度滿足如下關(guān)系式:

式中:ωR為轉(zhuǎn)子的角速度;ωM為電機的角速度;C=4cos α/(3+cos 2α);D=(1 －cos 2α)/(3+cos 2α);θM為電機軸的轉(zhuǎn)角，即θM=ωMt.

式(5)可以展開為

由于聯(lián)軸器不對中，造成轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的中心線與電機轉(zhuǎn)軸所在的水平面的夾角為α，電機的轉(zhuǎn)矩T和2個轉(zhuǎn)子的不平衡力的切向分量Qt1和Qt2都將直接作用于轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)運動.

根據(jù)歐拉運動方程，得

式中:ei，εR，IRi分別為第i個轉(zhuǎn)子的偏心量、角加速度和極轉(zhuǎn)動慣量.

從而可知，由于轉(zhuǎn)子的偏心以及螺紋聯(lián)軸器的不對中而造成的彎距在y和z方向的分量Ty，Tz，將作用在軸與聯(lián)軸器連接處的節(jié)點上，其可以寫為

式中:Re為取實部;j為復(fù)數(shù)的虛部符號;t為時間.

式中:β為轉(zhuǎn)子的初始偏心相位.

2 仿真分析

在工程中，當(dāng)轉(zhuǎn)子出現(xiàn)不對中時，隨著轉(zhuǎn)速的增加，容易出現(xiàn)不對中角度隨之增大的現(xiàn)象.現(xiàn)假定轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在50 r·s－1時開始出現(xiàn)不對中故障，不對中角度的慢變和突變規(guī)律如圖3所示.柔性聯(lián)軸器-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型的軸段參數(shù)見表1.

圖3 突變與慢變規(guī)律Fig.3 Sudden-variable and slowly-variable rule

表1 軸段單元的參數(shù)Tab.1 Lengths and diameters of the segments

模型中軸段的密度為7850 kg·m－3，聯(lián)軸器和軸的彈性模量分別為2.05 GPa，210 GPa.因有16個軸段，故計算模型有17個節(jié)點.其中支撐節(jié)點在3號和11號節(jié)點，支撐剛度為6 MN·m－1，支撐阻尼為60 kN·s·m－1.偏心質(zhì)量位于節(jié)點7和14號節(jié)點，偏心量分別為e4=20 μm和e14=10 μm，初始偏心相位均為0°.式(3)和式(4)中的系數(shù)a取值應(yīng)為a=4×105.

為了反映機器在起動過程中，隨著轉(zhuǎn)速的增加，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中心的軸線越來越偏離電機軸線，不對中角度增加這一過程，以轉(zhuǎn)子在40 s內(nèi)轉(zhuǎn)速vt從50 r·s－1增加到450 r·s－1為例，即:

經(jīng)過計算，得出4種情況下的時域曲線，其中1號轉(zhuǎn)子中心，即7號節(jié)點的運動規(guī)律如圖4—7所示.

圖4 不對中角度從0°～2°慢變時，1號轉(zhuǎn)子中心位移曲線Fig.4 Displace of rotor 1，slowly-variable angle from 0°to 2°

本實驗臺的模型參數(shù)取自于Bently RK-4實驗臺，運轉(zhuǎn)精度較高.該有限元模型的仿真結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)能夠很好地吻合.分析圖4—7，得出以下結(jié)論:

(1)從系統(tǒng)的振動幅度來看，4種情況下縱向振動(y向)都明顯強于橫向振動(z向)，系統(tǒng)發(fā)生較大角度的慢變或者突變時，軸心軌跡由圓形變?yōu)榱藱E圓形，同時不對中量的突變故障危害大于慢變故障.

(2)系統(tǒng)的不對中角度無論發(fā)生突變還是慢變，轉(zhuǎn)速較高時都極其不穩(wěn)定，4種情況下穩(wěn)定運行的區(qū)間分別為:0～30s，0～25 s，0～20 s，0～20 s.綜合分析該轉(zhuǎn)子系統(tǒng)出現(xiàn)角度不對中故障時能夠穩(wěn)定運轉(zhuǎn)工況為:不對中角度小于1°，轉(zhuǎn)速低于300 r·s－1(約為2860 r·min－1)，該數(shù)據(jù)也與筆者實驗數(shù)據(jù)極為吻合.

(3)給合圖3和式(8)可知，第20 s為不對中角度突變發(fā)生點.現(xiàn)從4個圖中的小圖所截取從19.9～20.1 s的時域曲線可以看出，系統(tǒng)發(fā)生慢變時，位移曲線并沒有明顯出現(xiàn)波動;而系統(tǒng)出現(xiàn)突變時，位移曲線都發(fā)生了明顯突增或突減現(xiàn)象.這意味著慢變參數(shù)在經(jīng)歷多個振動周期的時間積累后出現(xiàn)明顯變化.

(4)系統(tǒng)的位移隨著轉(zhuǎn)速的增加，并非一直增大，主要原因歸結(jié)于兩點:一是該系統(tǒng)的聯(lián)軸器為柔性聯(lián)軸器，具有較好的緩沖減振作用;二是如表1所示，該轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為懸臂轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，1號轉(zhuǎn)子的運動軌跡受懸臂轉(zhuǎn)子(2號轉(zhuǎn)子)的影響所致.

圖5 不對中角度從0°～4°慢變時，1號轉(zhuǎn)子中心位移曲線Fig.5 Displace of rotor 1，slowly-variable angle from 0°to 4°

圖6 不對中角度從0°～2°突變時，1號轉(zhuǎn)子中心位移曲線Fig.6 Displace of rotor 1，the sudden-variable angle from 0°to 2°

圖7 不對中角度從0°～4°突變時，1號轉(zhuǎn)子中心位移曲線Fig.7 Displace of rotor 1，the sudden-variable angle from 0°to 4°

為了進(jìn)一步分析，在系統(tǒng)較為穩(wěn)定的時刻，即非突變發(fā)生時間點采集1號轉(zhuǎn)子的軸心位移數(shù)據(jù)，然后進(jìn)行傅立葉變換，得到系統(tǒng)的幅頻特性隨轉(zhuǎn)速變化的關(guān)系圖，如圖8所示.

圖8 幅頻特性Fig.8 Amplitude-frequency characteristic

圖8a和8b分別為不對中角度從0～4°慢變時，y向和z向的頻率特性圖.圖8c和8d分別為不對中角度從0～4°突變時，y向和z向的頻率特性圖.

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速隨著時間不斷增加，仿真中步長為0.001 s，每步長的轉(zhuǎn)速增加為0.01 r·s－1，在采樣時刻，采集數(shù)據(jù)僅為100，所以可近似認(rèn)為采樣時轉(zhuǎn)速未發(fā)生變化，即系統(tǒng)基頻不變.幅頻特性能夠反應(yīng)采樣時刻的系統(tǒng)特性.從圖8可以看出:在低轉(zhuǎn)速和低不對中量下，系統(tǒng)較為穩(wěn)定，系統(tǒng)出現(xiàn)了倍頻分量，但其值較小;隨著轉(zhuǎn)速的增加，不對中角度的增大，分頻振動尤為明顯(主要是1/3分頻和1/2分頻)，且系統(tǒng)發(fā)生角度不對中的突變故障所引發(fā)的分頻振動的頻率較為單一.

3 結(jié)論

(1)本文建立含有剛度非線性3次項的柔性聯(lián)軸器-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不對中模型的非線性振動方程，基于有限單元法得出系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、陀螺力矩陣、剛度矩陣等.結(jié)合Wilson-θ與Newton-Raphson迭代法對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨著轉(zhuǎn)速增加時聯(lián)軸器不對中量發(fā)生慢變和突變故障進(jìn)行了仿真.

(2)研究表明:在低轉(zhuǎn)速和低不對中量下，系統(tǒng)出現(xiàn)了倍頻分量，但其值較小.當(dāng)不對中角度小于1°、轉(zhuǎn)速低于300 r·s－1(約為2860 r·min－1)時，系統(tǒng)較為穩(wěn)定.

(3)系統(tǒng)發(fā)生不對中故障時，縱向振動明顯強于橫向振動，不對中量的突變故障危害大于慢變故障.隨著轉(zhuǎn)速的增加，不對中角度的增大，分頻振動現(xiàn)象較為明顯;角度不對中的突變故障所引發(fā)的分頻振動的頻率較為單一.

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