（上海交通大學(xué)船舶海洋與建筑工程學(xué)院 上海 200240）

0 引 言

在中低頻段，有限元法和邊界元法廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)－聲輻射問(wèn)題．結(jié)構(gòu)－聲輻射靈敏度是結(jié)構(gòu)聲學(xué)指標(biāo)如聲壓、聲強(qiáng)及聲輻射功率等參數(shù)隨結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)的變化率．靈敏度信息可為結(jié)構(gòu)－聲輻射優(yōu)化提供參考、有效改善結(jié)構(gòu)聲學(xué)特性．Kim等［1］用有限元法分析了轎車內(nèi)聲壓靈敏性問(wèn)題．Wang等［2］根據(jù)聲壓靈敏度信息進(jìn)行箱形結(jié)構(gòu)外部聲壓的優(yōu)化．Cheng等［3］對(duì)聲輻射功率的頻率靈敏度開(kāi)展了研究．Marburg等［4－5］通過(guò)改變結(jié)構(gòu)模態(tài)來(lái)優(yōu)化殼體聲輻射功率，并用于汽車底板的聲設(shè)計(jì)．Li等［6］用遺傳算法進(jìn)行結(jié)構(gòu)的質(zhì)量分布優(yōu)化，以減少圓柱殼結(jié)構(gòu)聲輻射．陳美霞等［7］采用有限元和邊界元方法分析平板在空氣和水中的振動(dòng)和聲輻射，對(duì)比流體特性對(duì)聲輻射特性的影響．丁少春等［8］運(yùn)用功率流法對(duì)艦艇進(jìn)行聲輻射分析，通過(guò)數(shù)值對(duì)比隔振裝置性能參數(shù)對(duì)艦艇聲輻射功率的影響，提出控制艦艇噪聲的基本原則．孫淦云等［9］開(kāi)展了具有耦合系統(tǒng)的密閉空腔的動(dòng)力響應(yīng)分析和靈敏度計(jì)算，計(jì)算固有頻率和聲壓級(jí)響應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)尺寸的靈敏度．張軍等［10］結(jié)合有限元法和邊界元法計(jì)算聲學(xué)靈敏度，研究靈敏度參數(shù)隨外激勵(lì)頻率、設(shè)計(jì)變量的變化規(guī)律．本文在分析聲輻射功率對(duì)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度基礎(chǔ)上，結(jié)合泰勒展開(kāi)式，開(kāi)展結(jié)構(gòu)－聲輻射優(yōu)化研究．最后，運(yùn)用有限元法－邊界元法對(duì)雙層加肋圓柱殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行結(jié)構(gòu)－聲輻射優(yōu)化分析．

1 結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)

在結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)分析中，設(shè)流場(chǎng)中連續(xù)結(jié)構(gòu)體受到外力F（x，t）作用，流體對(duì)結(jié)構(gòu)的影響寫(xiě)成附連水質(zhì)量形式，在結(jié)構(gòu)域ΩS內(nèi)，結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)微分方程為

式中：U為節(jié)點(diǎn)位移向量；M 為質(zhì)量矩陣；K為結(jié)構(gòu)剛度矩陣；C為結(jié)構(gòu)黏性阻尼矩陣．質(zhì)量矩陣M可寫(xiě)成M＝Ms＋Mf，其中：Ms為結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣；Mf為附連水質(zhì)量矩陣．

設(shè)外激 勵(lì) 力 為：F（x，t）＝f（ω）eiωt．式 中：f（ω）為外力幅值；ω為圓頻率．節(jié)點(diǎn)位移向量寫(xiě)成：U（x，t）＝u（ω）eiωt．式中：u（ω）為節(jié)點(diǎn)位移列向量．代入式（1），可得算子方程：［A（ω）］［u（ω）］＝f（ω）．式中：［A（ω）＝－ω2M＋iωC＋K．結(jié)構(gòu)表面節(jié)點(diǎn)速度向量v（ω）∶vn（ω）＝iωNA－1（ω）f（ω）．式中：N為與結(jié)構(gòu)的表面形狀有關(guān)的法向矢量矩陣．法向速度矢量在聲邊界元法分析中作為邊界條件．

2 聲輻射功率靈敏度方程

2.1 結(jié)構(gòu)聲輻射功率方程

描述結(jié)構(gòu)聲輻射能量流在假定的積分面上的屬性可用輻射聲功率W 來(lái)表示．如不考慮聲能量在流體中傳播時(shí)的損失、忽略結(jié)構(gòu)對(duì)聲能量的吸收，在外聲場(chǎng)中聲能量與結(jié)構(gòu)表面聲輻射能量相等．對(duì)于連續(xù)振動(dòng)結(jié)構(gòu)體，在聲輻射表面處的聲輻射功率為

式中：S為是結(jié)構(gòu)－流體交界表面；pf結(jié)構(gòu)表面處聲壓值為結(jié)構(gòu)表面法向共軛速度；Re為取實(shí)部．將結(jié)構(gòu)－流體交界表面離散成M 個(gè)單元和N個(gè)節(jié)點(diǎn)，結(jié)構(gòu)輻射聲功率為M個(gè)單元的聲輻射之和，即：．式中：Sj為第j個(gè)單元積分面；vnj為第j單元的法向速度，其值由該單元上的節(jié)點(diǎn)法向速度決定．

2.2 聲輻射功率靈敏度性分析

靈敏度反映目標(biāo)函數(shù)與設(shè)計(jì)參數(shù)之間的關(guān)系，靈敏度的大小決定了設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化方向．根據(jù)設(shè)計(jì)參數(shù)的聲輻射靈敏度，可定量地獲得結(jié)構(gòu)參數(shù)的擾動(dòng)對(duì)聲輻射水平改變的程度．

聲輻射靈敏度為輻射聲功率的局部微分，微分變量可以是節(jié)點(diǎn)法向速度、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變量、頻率等參數(shù)．其靈敏度最終取決于結(jié)構(gòu)的阻抗矩陣、激勵(lì)頻率的大小、振動(dòng)速度、結(jié)構(gòu)形函數(shù)等因素．聲輻射功率是一個(gè)標(biāo)量，可直接進(jìn)行微分，將式（2）中對(duì)聲功率某個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行微分，即可求出聲功率對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)的靈敏度

式中：節(jié)點(diǎn)對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)靈敏度可通過(guò)對(duì)方程vn（ω）＝iωNA－1（ω）f（ω）微分得到，振動(dòng)速度的靈敏度取決于振動(dòng)速度、激勵(lì)頻率以及結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、剛度、阻尼矩陣．

2.3 聲輻射功率優(yōu)化方程

結(jié)構(gòu)－聲輻射優(yōu)化是在設(shè)計(jì)空間內(nèi)搜索一組設(shè)計(jì)變量，使結(jié)構(gòu)的聲輻射最小．將聲輻射功率替代聲壓定義為優(yōu)化目標(biāo)有一定的特點(diǎn)：將矢量參數(shù)的求解變成標(biāo)量參數(shù)的求解；不需要求指定場(chǎng)點(diǎn)處的聲壓等．結(jié)構(gòu)－聲輻射優(yōu)化問(wèn)題可寫(xiě)成

3 結(jié)構(gòu)－聲輻射功率函數(shù)泰勒展開(kāi)式

設(shè)連續(xù)結(jié)構(gòu)體在流場(chǎng)中的聲輻射功率f（xi）是某個(gè)定義設(shè)計(jì)變量參數(shù)xi的函數(shù)，它們之間的關(guān)系可用泰勒展開(kāi)式來(lái)表達(dá)

式中：f′（xi0）為聲輻射功率函數(shù)對(duì)第i個(gè)設(shè)計(jì)變量在初始設(shè)計(jì)點(diǎn)xi0處的一階導(dǎo)數(shù)，其實(shí)質(zhì)是聲輻射功率函數(shù)對(duì)該設(shè)計(jì)變量在設(shè)計(jì)點(diǎn)xi0處的靈敏度值．由式（5）可知，在求得函數(shù)在初值處各階導(dǎo)數(shù)后，結(jié)合設(shè)計(jì)變量的變化量可計(jì)算出結(jié)聲輻射功率函數(shù)f（xi）的近似值．

在數(shù)值計(jì)算中，采用差分法來(lái)計(jì)算函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)．差分法的基本原理是使設(shè)計(jì)變量在初始設(shè)計(jì)域附近有一個(gè)微小的攝動(dòng)量Δxi，通過(guò)分析其相應(yīng)的輸出響應(yīng)值，由差分格式計(jì)算目標(biāo)函數(shù)f（xi）關(guān)于設(shè)計(jì)變量xi的近似導(dǎo)數(shù)．中心差分法具有二階精度，用中心差分法求得聲功率靈敏度后，將其代入式（5），可得到具有二階精度的聲輻射功率的近似公式

式中：在初值函數(shù)值f（xj0）和其導(dǎo)數(shù)f′（xj0）為已知條件下，改變參數(shù)（xi－xi0）大小即可求得到在初始設(shè)計(jì)點(diǎn)領(lǐng)域內(nèi)的結(jié)構(gòu)－聲輻射功率值，實(shí)現(xiàn)減少結(jié)構(gòu)－聲輻射功率之目的．同樣，式（7）也適用于場(chǎng)點(diǎn)聲壓的優(yōu)化分析．

式（6）中，需假設(shè)設(shè)計(jì)變量的變化量（xixi0）較小，設(shè)計(jì)變量的變化對(duì)結(jié)構(gòu)總體剛度影響較小、對(duì)聲輻射模態(tài)的影響也較?。谠O(shè)計(jì)變量的初始值領(lǐng)域內(nèi)，聲輻射功率與設(shè)計(jì)變量的變化量近似滿足線性關(guān)系．當(dāng)（xi－xi0）值較大時(shí)，式（6）中的線性關(guān)系將不再滿足，對(duì)此需通過(guò)逐步迭代，在每次迭代后求取該函數(shù)靈敏度，并將其代替xj0）進(jìn)行計(jì)算．

4 數(shù)值算例

以一個(gè)處于水中雙層加肋圓柱殼結(jié)構(gòu)受到諧外力作用下的聲輻射計(jì)算為例，來(lái)驗(yàn)證運(yùn)用靈敏度信息進(jìn)行結(jié)構(gòu)－聲輻射優(yōu)化的可行性和有效性．

4.1 模型描述

加肋圓柱殼結(jié)構(gòu)見(jiàn)圖1．

圖1 雙層加肋圓柱殼

加肋圓柱殼結(jié)構(gòu)參數(shù)：外殼半徑：1．6m；外殼板厚：0．008m；內(nèi)殼半徑：1．2m；內(nèi)殼板厚：0．012m；實(shí) 肋 板 間 距：1．8m；實(shí) 肋 板 厚：0．008m；肋骨間距：0．6m；艙壁厚：0．008m；肋骨：角鋼．

結(jié)構(gòu)材料為鋼，其力學(xué)特性為：密度ρ＝7 800 kg／m3；彈性模量E＝210GPa；泊松比μ＝0．3．設(shè)只有外殼的外表面與水接觸，水密度ρ＝1 000 kg／m3，水中聲速c＝1 490m／s．聲功率參考值：W0＝1×10－12W，聲壓參考值：p0＝1×10－6Pa．

外激勵(lì)力中心頻率為56Hz，作用于內(nèi)殼上．一個(gè)力作用于P1點(diǎn)，大小為 ＜0，0，200．0＞ N．另一個(gè)力作用于P2點(diǎn)，大小為 ＜0，0，－200．0＞N．

4.2 結(jié)構(gòu)－聲功率靈敏度分析

圓柱殼結(jié)構(gòu)被離散成1 538個(gè)節(jié)點(diǎn)和1 624個(gè)單元．用有限元法進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)分析，將節(jié)點(diǎn)法向速度作為邊界條件，用邊界元法計(jì)算結(jié)構(gòu)在流場(chǎng)中的聲輻射功率，并得到聲功率靈敏度．

將圓柱殼結(jié)構(gòu)的外殼與內(nèi)殼各分成12個(gè)部分，并按X方向編號(hào)，將結(jié)構(gòu)板厚定義為設(shè)計(jì)變量．在結(jié)構(gòu)－聲功率及其靈敏度數(shù)值計(jì)算中，頻率從0～200Hz，計(jì)算步長(zhǎng)為1Hz．圖2所示為聲輻射功率分別對(duì)設(shè)計(jì)變量inner01和outer06的靈敏度．其中，inner01是內(nèi)殼結(jié)構(gòu)，outer06為外殼結(jié)構(gòu)．在56Hz處，聲輻射功率靈敏度對(duì)設(shè)計(jì)變量inner01有最大值，對(duì)設(shè)計(jì)變量outer06有最小值．

由結(jié)構(gòu)－聲功率靈敏度值，結(jié)合泰勒展開(kāi)式，通過(guò)減少設(shè)計(jì)變量inner01值可降低所定義的頻率處的結(jié)構(gòu)最大聲輻射功率；同樣，通過(guò)增加設(shè)計(jì)變量outer06也能減少最大聲輻射功率．

圖2 聲輻射功率靈敏度

4.3 聲功率靈敏度的應(yīng)用

結(jié)合式（6），應(yīng)用靈敏度信息進(jìn)行結(jié)構(gòu)－聲輻射優(yōu)化，是在滿足約束條件下減少最大的聲輻射值，其中一個(gè)約束條件是優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)質(zhì)量不超過(guò)初始設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)質(zhì)量．如圖2所示，將設(shè)計(jì)變量inner01的厚度減少0．001 5m，同時(shí)對(duì)設(shè)計(jì)變量outer06的厚度增加0．001m（該值的確定是考慮到與inner01值相協(xié)調(diào)以保證結(jié)構(gòu)總重量不增加）．通過(guò)這樣的設(shè)計(jì)更改后，計(jì)算出修改后的結(jié)構(gòu)的聲輻射功率和指定場(chǎng)點(diǎn)處的聲壓．

圖3為結(jié)構(gòu)修改前后的結(jié)構(gòu)－聲輻射功率級(jí)，其最大聲功率級(jí)減低了約4dB．圖4為結(jié)構(gòu)修改前后在場(chǎng)點(diǎn)處（0，0，20）的聲壓級(jí)，最大聲壓級(jí)減低了約2dB．

圖3 聲功率優(yōu)化

圖4 聲壓優(yōu)化

由圖3～圖4可知，通過(guò)應(yīng)用靈敏度信息進(jìn)行結(jié)構(gòu)尺寸修改，結(jié)構(gòu)的聲學(xué)特性有了一定的改善，故有效地運(yùn)用靈敏度信息可在一定程度上實(shí)現(xiàn)優(yōu)化的目的．

4.4 聲輻射功率優(yōu)化

運(yùn)用聲輻射功率靈敏度信息，將設(shè)計(jì)變量進(jìn)行修改可一定程度上實(shí)現(xiàn)減低結(jié)構(gòu)聲輻射功率目的．同樣，運(yùn)用靈敏度信息，對(duì)多個(gè)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行參數(shù)修改，以實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)－聲輻射的優(yōu)化．在優(yōu)化過(guò)程中，優(yōu)化約束滿足式（5）要求．

表1所列為結(jié)構(gòu)的部分設(shè)計(jì)變量在優(yōu)化前后的變化．圖5所示為在優(yōu)化前后的結(jié)構(gòu)聲輻射功率級(jí)，其最大輻射功率級(jí)減少了約9dB．圖6所示為在場(chǎng)點(diǎn)（0，0，20）處優(yōu)化前后的聲壓級(jí)，其最大聲壓級(jí)減少了約4dB．

表1 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變量 m

圖5 聲功率優(yōu)化

圖6 聲壓優(yōu)化

由圖5～6可知，通過(guò)應(yīng)用多個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)的修改進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，其聲學(xué)性能有了很大的改善，有效地運(yùn)用靈敏度信息可在一定程度上實(shí)現(xiàn)優(yōu)化的目的．對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，要實(shí)現(xiàn)多個(gè)變量、多目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化，需綜合運(yùn)用靈敏度信息與合適的優(yōu)化平臺(tái)及和搜索策略才能實(shí)現(xiàn)．

5 結(jié)束語(yǔ)

文章分析了圓柱殼結(jié)構(gòu)的聲輻射功率靈敏度，并將其應(yīng)用于聲輻射優(yōu)化，其聲輻射功率最大峰值有了明顯減低，同樣在聲場(chǎng)點(diǎn)的聲壓明顯減少．結(jié)果表明，用功率靈敏度結(jié)合泰勒公式進(jìn)行聲輻射優(yōu)化具有一定可行性，是結(jié)構(gòu)－聲輻射優(yōu)化設(shè)計(jì)的一個(gè)重要發(fā)展方向．

［1］KIM N H，DONG J，CHOI K K，et al．Design sensitivity analysis for sequential structural－acoustic problems［J］．Journal of Sound and Vibration，2003，263（3）：569－591．

［2］WANG S Y，LEE J．Acoustic design sensitivity analysis and optimization for reduced exterior noise［J］．AIAA Journal，2001，39（4）：574－581．

［3］CHENG H，CHEN J，ZHANG Y B，et al．A multidomain boundary element formulation for acoustic frequency sensitivity analysis［J］．Engineering Analysis with Boundary Elements，2009，33（6）：815－821．

［4］MARBURG S．A general concept for design modification of shell meshes in structural－acoustic optimization－Part I：Formulation of the concept［J］．Finite Elements in Analysis and Design，2002，38（8）：725－735．

［5］MARBURG S，HARDTKE H J．A general concept for design modification of shell meshes in structuralacoustic optimization－Part II：Application to a floor panel in sedan interior noise problems［J］．Finite Elements in Analysis and Design，2002，38（8）：737－754．

［6］LI D S，CHENG L，GOSSELIN C M．Optimal design of PZT actuators in active structural acoustic control of a cylindrical shell with a floor partition［J］．Journal of Sound and Vibration，2004，269 （3－5）：569－588．

［7］陳美霞，杜 磊，陳樂(lè)佳，等．基于邊界元法的平板結(jié)構(gòu)聲振性能數(shù)值計(jì)算［J］．武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào)：交通科學(xué)與工程版，2009，33（6）：1048－1051．

［8］丁少春，朱石堅(jiān)，俞 翔，等．運(yùn)用功率流方法對(duì)艦艇水下聲輻射特性的研究［J］．武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào)：交通科學(xué)與工程版，2008，32（2）：263－266．

［9］孫淦云，王躍方．密閉腔體聲－結(jié)構(gòu)耦合系統(tǒng)的動(dòng)力靈敏度分析［J］．計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2005，22（5）：550－554．

［10］張 軍，兆文忠，張維英．結(jié)構(gòu)聲輻射有限元／邊界元法聲學(xué)－結(jié)構(gòu)靈敏度研究［J］．振動(dòng)工程學(xué)報(bào)．2005，18（3）：366－370．