張 淼， 于 瀾， 鞠 偉

（1.長(zhǎng)春工程學(xué)院 理 學(xué)院，吉林 長(zhǎng) 春 130012；2.中國(guó)第一汽車股份有限公司 技 術(shù)中心，吉林 長(zhǎng) 春 130011）

0 引 言

大型空間柔性結(jié)構(gòu)振動(dòng)的一個(gè)主要特點(diǎn)就是固有頻率低而且密集，其中一個(gè)難點(diǎn)就是如何控制輕阻尼的模態(tài)密集型結(jié)構(gòu)，常見(jiàn)的方法是將密集模態(tài)處理成為重頻模態(tài)來(lái)研究控制器的設(shè)計(jì)［1－4］。由于頻率密集時(shí)，對(duì)應(yīng)的單個(gè)模態(tài)往往呈現(xiàn)病態(tài)，極可能出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象，所以很難確定，因此單特征值的靈敏度分析方法已不適用［5－7］。而對(duì)于完備的重頻系統(tǒng)，特征子空間是良態(tài)的，容易確定，并可用于計(jì)算其相應(yīng)的靈敏度。當(dāng)把重頻系統(tǒng)得到的控制規(guī)律應(yīng)用到密頻系統(tǒng)時(shí)，必須考慮由此產(chǎn)生的誤差及重頻模態(tài)的敏感性問(wèn)題。

文獻(xiàn)［8］分析了模態(tài)不穩(wěn)定性對(duì)密頻系統(tǒng)控制性能的影響及溢出問(wèn)題，并給出了密頻系統(tǒng)的參數(shù)自調(diào)整模糊振動(dòng)控制方法。文獻(xiàn)［9］研究了重頻系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)器的方法。文獻(xiàn)［10］給出了密頻子空間可控度和可觀度的小參數(shù)方法。

目前用全模態(tài)方法分析密集模態(tài)敏感性問(wèn)題仍未妥善解決，本文通過(guò)引入松弛因子的技術(shù)建立重頻系統(tǒng)模態(tài)靈敏度算法，進(jìn)而分析了重頻、密頻模態(tài)對(duì)靈敏度矩陣的影響程度。

1 完備系統(tǒng)的靈敏度分析

對(duì)N自由度的線性振動(dòng)系統(tǒng)，即

其中，M、C和K∈RN×N分別為系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣，它們并沒(méi)有強(qiáng)加傳統(tǒng)的對(duì)稱正定條件的限制，但假定M－1存在。

對(duì)第i個(gè)特征對(duì)（λi，ui），λi是第i個(gè)復(fù)特征值，ui是相應(yīng)于λi的復(fù)特征向量，并滿足方程Mui＋λiCui＋Kui＝0（?i＝1，…，2N）。

假設(shè)系統(tǒng)（1）可以被一系列m個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)g＝（g1，g2，…，gm）T所描述，這里gi可以是梁截面、板厚度等參數(shù)，g稱為設(shè)計(jì)向量，則M、C和K可以都是關(guān)于設(shè)計(jì)向量g的函數(shù)。當(dāng)系統(tǒng)修改時(shí)，設(shè)計(jì)向量g發(fā)生擾動(dòng)，記

其中，Δgi（i＝1，…，m）是第i個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)的擾動(dòng)量。記ui擾動(dòng)后的形式為，取其線性部分，得

其中，［▽ui］＝［ui，1，ui，2，…，ui，m］為N×m階矩陣，稱為特征向量靈敏度矩陣，ui，j＝?ui／?gj表示ui對(duì)第j個(gè)參數(shù)gj的變化率。

為了確定靈敏度矩陣，需分別計(jì)算得到ui，j（j＝1，…，m）。

由于系統(tǒng)（1）的狀態(tài)矩陣為：

則相應(yīng)的特征問(wèn)題為：

定義：

利用完全的狀態(tài)空間系統(tǒng)展開(kāi)定理，有

其中，φk為矩陣A的特征空間的基底為展開(kāi)系數(shù)。文獻(xiàn)［11］給出了單特征值系統(tǒng)的靈敏度分析的展開(kāi)式系數(shù)的計(jì)算公式，但由于其公式的分母中含有λi－λk項(xiàng)，所以當(dāng)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)重頻或密頻狀態(tài)時(shí)，此類計(jì)算公式將會(huì)失效。

將（5）式兩邊關(guān)于第j個(gè)參數(shù)gj求導(dǎo)，得

整理得：

將（7）式代入（9）式，有

或?qū)懗桑?/p>

其中

這里λi，j、φi及A，j為已知，當(dāng)系統(tǒng)（1）完備時(shí)，模態(tài)矩陣Φ可逆，則（10）式可表示為：解耦（11）式，可分別計(jì)算求解得到系數(shù)，將其代回（7）式，并取其前N維就得到了模態(tài)靈敏度向量ui，j。

2 松弛因子的選取原則

由于（11）式中對(duì)角矩陣J奇異，若λk（k＝1，…，2N）為單特征值時(shí)，秩數(shù)rank（J）＝2N－1，因此，（11）式為亞定方程組或超定方程組，其解始終無(wú)法唯一確定，甚至可能無(wú)解。

為了解決這個(gè)問(wèn)題，對(duì)于固定的k引入松馳因子ω（ω＞0），令

代入（11）式，得

實(shí)驗(yàn)組總體健康、生理功能、社會(huì)功能、活力、生理職能、情感職能、軀體疼痛和精神健康方面和對(duì)照組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)間均存在著明顯的差異,且P<0.05,具備統(tǒng)計(jì)學(xué)分析意義。見(jiàn)表1。

若λk為m重特征值，而其他特征值均為單特征值時(shí)，秩數(shù)rank（J）＝2N－m，此時(shí)系數(shù)對(duì)角陣J中會(huì)出現(xiàn)m個(gè)零對(duì)角元，（11）式中就有m個(gè)組合系數(shù)（d＝1，…，m）不能確定。用類似前面的分析方法，引入松弛因子ω，顯然當(dāng)i≠k時(shí)的系數(shù)是精確的，而i＝k對(duì)應(yīng)的系數(shù)是要通過(guò)簡(jiǎn)單優(yōu)化近似得到的，這時(shí)最佳松弛因子ω＊收斂準(zhǔn)則可選擇為：

其中，ηtol為允許誤差界。由于對(duì)角陣的解耦性能，這種方法對(duì)其他系數(shù)（m≠k）的求解不會(huì)產(chǎn)生任何影響。

3 敏感模態(tài)的變化規(guī)律分析

由（12）式可知，當(dāng)ω較小時(shí)，特征子空間即為密頻子空間，ω→0的過(guò)程，正是由密頻至重頻的轉(zhuǎn)換過(guò)程，（7）式中的組合系統(tǒng)可以反映模態(tài)敏感狀態(tài)。從（13）式可以看出，當(dāng)ω越小時(shí)的值相對(duì)而言就會(huì)越大，與它對(duì)應(yīng)的模態(tài)在靈敏度中的貢獻(xiàn)就會(huì)越大。

由此分析可知，重頻模態(tài)具有高度的敏感性，它們相對(duì)于其他頻率模態(tài)而言對(duì)靈敏度的貢獻(xiàn)最大，這是因?yàn)樗鼈冊(cè)陟`敏度的線性組合式中的組合系統(tǒng)的權(quán)重最大。

而對(duì)于密頻系統(tǒng)，隨著頻率密集程度的增加，密集模態(tài)的敏感性程度提高。

4 數(shù)值算例

4.1 模態(tài)敏感性分析算例

在一個(gè)5－自由度的質(zhì)量彈性阻尼系統(tǒng)中，假設(shè)只在垂直方向上產(chǎn)生振動(dòng)，如圖1所示。

圖1 5－自由度非比例阻尼系統(tǒng)

系統(tǒng)質(zhì)量陣的元素為：

阻尼矩陣的元素與剛度矩陣的元素有類似的形式。例如，c11＝c1；c12＝ －c1；c13＝c14＝c15＝0；c22＝c1＋c2，等。

對(duì)應(yīng)初始系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣A，求得初始系統(tǒng)的特征值，見(jiàn)表1所列。

表1 初始系統(tǒng)的特征值

從表1中可以看出，第7、第9和第8、第10為2對(duì)復(fù)數(shù)的重特征值。為便于說(shuō)明，本文以重特征值第7和第9個(gè)為例，設(shè)計(jì)變量取k5，變化率為Δk5／k5＝0.01，求解其特征向量靈敏度。

根據(jù)（11）式，J是秩數(shù)為2N－2的對(duì)角陣，其主對(duì)角元見(jiàn)表2所列。

表2 矩陣J的主對(duì)角元

通過(guò)求解單個(gè)解耦方程，直接計(jì)算出J方程組中除第7個(gè)和第9個(gè)以外的所有展開(kāi)系數(shù)7，9）。而為計(jì)算a（ij）7、a（ij）9，根據(jù)本文提出的引入松弛變量ω技術(shù)，就可得到全部展開(kāi)式系數(shù)a（ij）k。表3所列給出了松弛因子ω＝0時(shí)的精確解和ω＝1，0.1，0.000 1所得到的解。

表3 靈敏度系數(shù)對(duì)比

從表3中可以看出，當(dāng)m≠7，9時(shí)，引入松弛變量后所得到的新解中與精確解中完全一致，而隨著ω的變化與的變化也呈現(xiàn)出明顯的規(guī)律，即ω越小與的數(shù)值越大，這說(shuō)明其對(duì)應(yīng)模態(tài)的敏感性越強(qiáng)，在系統(tǒng)攝動(dòng)量中的貢獻(xiàn)就越大。

4.2 模態(tài)靈敏度分析算例

考慮文獻(xiàn)［9］中給出的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，如圖2所示。

圖2 彈簧質(zhì)量系統(tǒng)

其中，k1＝0.95；k2＝k3＝…＝k10＝0.03；k11＝1.05；m1＝m2＝…＝m10＝1.0，每個(gè)頻率的自然阻尼系數(shù)都為0.05。

用有限元方法提取系統(tǒng)的性質(zhì)矩陣后，經(jīng)計(jì)算得到初始系統(tǒng)的前10個(gè)特征值和以k11為設(shè)計(jì)參數(shù)，用本文方法所得到的前10階模態(tài)靈敏度近似值，結(jié)果見(jiàn)表4所列，表4中，‖ui，k11‖為模態(tài)靈敏度值。

從表4中可以看出，系統(tǒng)的第9及第10特征值十分接近而構(gòu)成一個(gè)密集頻率子空間，并由本文所得到的靈敏度值可知，第9階與第10階模態(tài)關(guān)于參數(shù)k11的振動(dòng)穩(wěn)定性較差，這與文獻(xiàn)［9］中的結(jié)論一致。

表4 系統(tǒng)特征值及模態(tài)靈敏度值

5 結(jié)束語(yǔ)

由于重頻或密頻的影響，在模態(tài)靈敏度算法中需要求解一種可能為亞定或超定方程組，但由于其系統(tǒng)陣已化為對(duì)角陣，所以很容易分析其性態(tài)。本文通過(guò)引入松弛因子的技術(shù)，提出一種精確而簡(jiǎn)便的求解亞定或超定方程組的方法，并給出其收斂準(zhǔn)則及誤差估計(jì)方法。該方法不僅適用于單頻系統(tǒng)，還適用于重頻系統(tǒng)的靈敏度分析，為密頻系統(tǒng)的振動(dòng)控制等研究工作提供了良好的理論模型。

通過(guò)重頻系統(tǒng)的靈敏度分析，得到了重頻模態(tài)具有高度敏感性的結(jié)論，它們相對(duì)于其他頻率模態(tài)而言對(duì)靈敏度的貢獻(xiàn)最大。而對(duì)于密頻系統(tǒng)，隨著頻率密集程度的增加，其模態(tài)的敏感性程度也隨之提高。數(shù)值算例驗(yàn)證了該方法的有效性。

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