張代勝， 張 旭， 李彥保， 賈 坤， 李友真

（1.合肥工業(yè)大學(xué) 機(jī) 械與汽車工程學(xué)院，安徽 合 肥 230009；2.合肥工業(yè)大學(xué) 交 通運(yùn)輸工程學(xué)院，安徽 合 肥 230009）

引發(fā)汽車振動和噪聲的一個最主要振源就是發(fā)動機(jī)不平衡慣性力和轉(zhuǎn)矩波動。發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)除支撐發(fā)動機(jī)和變速器等部件外，還隔離發(fā)動機(jī)振動向車架的傳遞，并減輕路面與輪胎對車身激振所引發(fā)的動力總成振動［1］。因此，懸置系統(tǒng)設(shè)計(jì)的優(yōu)劣直接關(guān)系到發(fā)動機(jī)振動向車體的傳遞，影響整車的NVH性能。發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)旨在合理選擇懸置參數(shù)，保證由于各種可控和不可控因素的影響發(fā)生微小變差時，都能保證懸置系統(tǒng)的穩(wěn)健性［2－3］。

本文將穩(wěn)健設(shè)計(jì)思想應(yīng)用于發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)的解耦優(yōu)化設(shè)計(jì)中，基于懸置系統(tǒng)振動解耦的能量分布建立優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，綜合運(yùn)用遺傳算法、免疫進(jìn)化算法、Pareto算法和聚類算法對懸置系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化，同時利用Monte Carlo方法進(jìn)行穩(wěn)健分析。

1 發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

發(fā)動機(jī)和變速器的固有頻率遠(yuǎn)大于懸置系統(tǒng)頻率，因此可把發(fā)動機(jī)看作是空間彈性支撐的剛體。將懸置橡膠簡化成三向剛度和阻尼系統(tǒng)，假定橡膠件的彈性是線性的，并可忽略不計(jì)其阻尼，則懸置系統(tǒng)可簡化成質(zhì)量剛度和阻尼模型，建立6自由度動力總成4點(diǎn)懸置模型［4］。

O－xyz為發(fā)動機(jī)動力總成質(zhì)心坐標(biāo)系，O為動力總成質(zhì)心，x軸平行于發(fā)動機(jī)曲軸軸線指向發(fā)動機(jī)前端，z軸通過發(fā)動機(jī)總成質(zhì)心豎直向上，由右手定則得出y軸。懸置點(diǎn)1、2、3、4平置于發(fā)動機(jī)的兩側(cè)，1、2為前懸置，3、4為后懸置。各懸置的剛度方向u、v、s與動力總成質(zhì)心坐標(biāo)x、y、z方向在同一條直線上。

取沿x、y、z軸的位移和繞x、y、z軸的轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)，由拉格朗日方程可以得到懸置系統(tǒng)的振動方程為：

其中，M為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣；C為系統(tǒng)的阻尼矩陣；K為系統(tǒng)的剛度矩陣；q為廣義坐標(biāo)。簡化系統(tǒng)微分方程，即

質(zhì)量矩陣為：

其中，me為動力總成質(zhì)量；Ixx、Iyy、Izz和Ixy、Ixz、Iyz分別為轉(zhuǎn)動慣量和慣性積。

剛度矩陣為：

其中，n為懸置點(diǎn)數(shù)目；Di為懸置墊三向主剛度矩陣，即

其中，kui、kvi、ksi分別為第i懸置點(diǎn)處懸置橡膠沿u、v、s主軸的剛度值。

Fi為物理坐標(biāo)與廣義坐標(biāo)的變換矩陣，即

其中，xi、yi、zi分別為第i個懸置點(diǎn)的坐標(biāo)。

Ci為方向余弦矩陣，即

其中，αui、βui、γui為第i個懸置點(diǎn)處彈性主軸u正方向與x、y、z軸正向的夾角；αvi、βvi、γvi為第i個懸置點(diǎn)處彈性主軸v正方向與x、y、z軸正向的夾角；αsi、βsi、γsi為第i個懸置點(diǎn)處彈性主軸s正方向與x、y、z軸正向的夾角。

由（2）式可得動力總成懸置系統(tǒng)的固有頻率ωj（j＝1，2，3，4，5，6）和固有振型φ。

2 能量解耦法

能量解耦法是從能量角度實(shí)現(xiàn)各自由度的解耦［5］，當(dāng)系統(tǒng)以第j階模態(tài)振動時，定義能量分布矩陣的第k行l(wèi)列元素為：

其中，k，l，j＝1，2，3，4，5，6；φ（k，j）、φ（l，j）分 別為第j階振型的第k個和第l個元素；M（k，l）為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣的第k行、第l列元素；ωj為第j階固有頻率。

當(dāng)系統(tǒng)以第j階模態(tài)振動時，第k個廣義坐標(biāo)分配能量占系統(tǒng)總能量為：

若Qa（j，k）＝100%，則系統(tǒng)做第j階振動時，能量全部集中在k對應(yīng)的廣義坐標(biāo)上，此時該模態(tài)振動完全解耦。

3 優(yōu)化模型

3.1 基于Pareto聚類的免疫進(jìn)化算法

考慮到在實(shí)際生產(chǎn)與使用過程中懸置墊參數(shù)都有很大的可變性，在懸置參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)中需要結(jié)合穩(wěn)健設(shè)計(jì)的思想，既要保證最優(yōu)解的高解耦率，又要保證最優(yōu)解的可行穩(wěn)健性。基于此，采用了Pareto聚類算法［6］。

對于極小化問題，Pareto解的定義為：對于可行解X＊，當(dāng)且僅當(dāng)不存在可行解X，使

并且至少存在1個j∈ ｛1，2，…，n｝，使

2個條件都滿足時，可行解X＊為一個Pareto解［7］。Pareto聚類算法是綜合Pareto算法與聚類算法［8］提出的一種復(fù)合算法。

定義1 對于一組數(shù)X＝ ｛x1，x2，…，xn｝，首先應(yīng)用聚類算法把X分成m類（m≤n），得到m個子 種 群X1，X2，…，Xm，其 中Xi＝ ｛xi1，xi2，…｝；然后分別在每組中尋找個體∈Xi（i＝1，2，…，m），對任意xik∈Xi（i＝1，2，…，m）需滿足f（）≤f（xik）或者f（）≥f（xik），則由組成的一組數(shù)｝稱為X的Pareto聚類解。

根據(jù)IGA得出一組優(yōu)化解，然后應(yīng)用Pareto聚類算法求出全局最優(yōu)解，完成一次迭代，算法流程如圖1所示。遺傳算法的編碼方式采用所有變量的二進(jìn)制編碼串起來，組成20×n的二進(jìn)制串，變異操作時分為3類，變異概率分別為0.03、0.1、0.5，記憶種群中解的個數(shù)為10，進(jìn)化代數(shù)為50，采用基于歐幾里得距離的方法聚類分析。

圖1 發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)穩(wěn)健優(yōu)化算法流程圖

3.2 設(shè)計(jì)變量

影響發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)特性的參數(shù)很多，例如懸置的安裝位置、安裝角度以及懸置橡膠的主剛度值等［4］。綜合車架和動力總成設(shè)計(jì)限制，本文以懸置點(diǎn)處懸置橡膠的各向主剛度值K＝（k1，k2，…，kn）（n為懸置剛度個數(shù)）為設(shè)計(jì)變量，本文4個懸置點(diǎn)懸置剛度左右一致，共6個變量。

3.3 約束條件

（1）剛度約束。一方面為了限制發(fā)動機(jī)位置移動，要求懸置系統(tǒng)剛度不能太小；另一方面為了使系統(tǒng)具有較好的隔振性能，要求懸置系統(tǒng)剛度不能太大，即Kimin≤K≤Kimax（i＝1，2，…，n）。

（2）頻率約束。懸置系統(tǒng)的最大固有頻率必須小于發(fā)動機(jī)自身激勵頻率f的1／，才能起到隔振效果；為了避開路面激勵頻率，懸置系統(tǒng)最小頻率應(yīng)大于5Hz，即5≤ωj≤f／（j＝1，2，…，6）。另外，各階頻率之間間隔應(yīng)大于0.5Hz。

3.4 目標(biāo)函數(shù)

以實(shí)現(xiàn)懸置系統(tǒng)6自由度能量解耦最大為目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，把多目標(biāo)優(yōu)化轉(zhuǎn)化成單目標(biāo)優(yōu)化。優(yōu)化函數(shù)為：

其中，Qi為各自由度上能量百分比；αi為加權(quán)因子。

3.5 優(yōu)化實(shí)例

針對某款客車，發(fā)動機(jī)為6缸4沖程，4點(diǎn)懸置、平置式、對稱分布。客車動力總成參數(shù)見表1所列，各懸置點(diǎn)主剛度值見表2所列。

表1 動力總成系統(tǒng)參數(shù) kg·m2

表2 各懸置點(diǎn)主剛度值 kg／m

由以上數(shù)據(jù)可計(jì)算出該懸置系統(tǒng)的6個固有頻率和各頻率下的能量矩陣，見表3所列。

表3 優(yōu)化前懸置系統(tǒng)固有頻率和能量分布

根據(jù)表3數(shù)據(jù)，可以看到懸置系統(tǒng)固有頻率滿足頻率約束條件為5≤ωj≤f／（j＝1，2，…，6），但是一階與二階固有頻率間隔小于0.5。從能量分布上看，除橫向y自由度外，其余各自由度方向能量分布小于80%，各自由度之間存在嚴(yán)重的振動耦合。

采用基于Pareto聚類的免疫進(jìn)化算法，對以上懸置系統(tǒng)在Matlab環(huán)境下進(jìn)行穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)，從最終的記憶種群中提取3個最優(yōu)解，結(jié)果見表4所列。

計(jì)算各優(yōu)化解的固有頻率和振動能量分布，見表5所列。

表4 優(yōu)化后各懸置點(diǎn)主剛度值 kg／m

表5 優(yōu)化后懸置系統(tǒng)固有頻率和解耦率

由表5可知，3個優(yōu)化解的頻率都在合理的頻率約束的范圍內(nèi)，且間隔都大于0.5。各自由度上的能量分布，除了z垂向與俯仰角θy方向分布較低外，其余自由度能量分布均大于95%。與原系統(tǒng)相比，在6個自由度上的振動能量分布均有顯著提高，且平均提高18.3%。對于z垂向與俯仰角自由度，還可以通過改變懸置系統(tǒng)各懸置點(diǎn)的位置以及懸置安裝角大小進(jìn)一步優(yōu)化。

4 基于Monte Carlo的穩(wěn)健分析

在一系列生產(chǎn)與使用一段時間后的懸置墊樣品中隨機(jī)抽樣檢測發(fā)現(xiàn)，各向懸置主剛度基本上在±12%范圍內(nèi)波動，且分布曲線成正態(tài)分布。

Monte Carlo實(shí)質(zhì)是通過隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)、隨機(jī)模擬，求解數(shù)學(xué)、物理、工程技術(shù)問題近似解的數(shù)值方法［9］。建立優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的響應(yīng)面模型，以各向主剛度為服從正態(tài)分布相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。優(yōu)化前的懸置剛度變量分布為：U1～N（453，54.362），U2～N（804，96.482），V1～N（558，99.962），V2～N（875，105.002），S1～N（622，74.642），S2～N（1036，124.322）。

對原系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)健性分析，經(jīng)過2 000次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)分析，通過計(jì)算可以得出響應(yīng)面模型的概率分布為P1～N（2.485 9，0.806 12），目標(biāo)函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為32.43%。優(yōu)化前懸置系統(tǒng)目標(biāo)函數(shù)的響應(yīng)面模型概率分布和響應(yīng)面擬合正態(tài)曲線，如圖3所示。

圖2 優(yōu)化前懸置系統(tǒng)響應(yīng)面擬合正態(tài)曲線

根據(jù)設(shè)計(jì)要求，設(shè)計(jì)變量出現(xiàn)隨機(jī)變化時，其產(chǎn)品性能變化最好不超過5%，此響應(yīng)面的變化明顯超出了允許值，穩(wěn)健性較差。

對3個優(yōu)化方案應(yīng)用Monte Carlo算法進(jìn)行穩(wěn)健性分析，經(jīng)過2 000次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)分析，計(jì)算得出3個方案的響應(yīng)面模型的概率分布為：Q1～N（0.856 1，0.023 82），Q2～N（0.905 9，0.031 12），Q3～N（0.971 5，0.044 32）。

響應(yīng)面模型概率分布和響應(yīng)面擬合正態(tài)曲線，分別如圖3～圖5所示。

綜上可知，3個方案的響應(yīng)面目標(biāo)函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為2.78%、3.43%、4.56%，均小于允許值。對比發(fā)現(xiàn)，優(yōu)化后3個方案的穩(wěn)健性均提高了幾倍到十幾倍。

采用Monte Carlo方法，分別對方案1的6個自由度上的解耦率建立響應(yīng)面模型進(jìn)行分析，其目標(biāo)函數(shù)是基于單自由度解耦率建立的，消除彼此的影響，其響應(yīng)面模型概率分布如圖6所示，其中橫坐標(biāo)為解耦率，縱坐標(biāo)為仿真次數(shù)。計(jì)算可得各自由度解耦率所構(gòu)成響應(yīng)面模型標(biāo)準(zhǔn)差分別為 0.94%、0.60%、0.36%、3.13%、0.60%、3.17%，各自由度都有很高的穩(wěn)健性。由此可以判定，方案1無論是從總體上還是從局部自由度上，都具有較高的穩(wěn)健性。同樣方法求得，方案2與方案3同樣具有較高穩(wěn)健性。

圖3 方案1目標(biāo)函數(shù)響應(yīng)面擬合正態(tài)曲線

圖4 方案2目標(biāo)函數(shù)響應(yīng)面擬合正態(tài)曲線

圖5 方案3目標(biāo)函數(shù)響應(yīng)面擬合正態(tài)曲線

5 結(jié)束語

通過把Pareto算法、聚類算法、遺傳算法、免疫算法相結(jié)合，對汽車動力總成懸置系統(tǒng)的解耦優(yōu)化設(shè)計(jì)表明，基于Pareto聚類的遺傳進(jìn)化算法可以使發(fā)動機(jī)在怠速下達(dá)到比較滿意的解耦程度。通過Monte Carlo驗(yàn)證優(yōu)化解，還能保證懸置系統(tǒng)具有較高的穩(wěn)健性，大大提高產(chǎn)品質(zhì)量，在實(shí)際生產(chǎn)中有著較大的實(shí)際意義。

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