王文虎，李新國

(西北工業(yè)大學航天學院，陜西西安 710072)

引言

對于可重復(fù)使用的亞軌道飛行器(Suborbital Launch Vehicle，SLV)返回段而言，首要任務(wù)就是能夠安全返回地面。因而，從安全性角度出發(fā)，進行返回軌跡優(yōu)化是非常必要的。文獻［1-2］提出的方法都對動力學模型進行了降階處理，雖然簡化了返回問題的復(fù)雜性、加快了軌跡生成的速度，但文獻［3］指出模型降階處理會降低任務(wù)的安全性。

本文針對亞軌道飛行器，采用高斯偽譜法進行了基于任務(wù)安全性的返回軌跡優(yōu)化研究，并驗證了可行性與最優(yōu)性。為了增加任務(wù)的安全性，動力學模型考慮地球旋轉(zhuǎn)影響;為了滿足實際控制能力約束，利用偽控制量作為控制變量;在考慮終端約束及性能指標時引入“末端進場走廊”(Final Approach Corridor，F(xiàn)AC)，摒棄了傳統(tǒng)再入分段、末端區(qū)域能量管理(TAEM)段、航向校正圓錐(HAC)等概念，實現(xiàn)了從初始狀態(tài)到自動著陸界面全程軌跡優(yōu)化。

1 高斯偽譜法

近年來，隨著計算機技術(shù)的快速發(fā)展、求解大規(guī)模稀疏非線性規(guī)劃問題(NLP)算法的逐步成熟和偽譜法的出現(xiàn)，為快速、準確地進行飛行器軌跡優(yōu)化提供了有效途徑。

偽譜法是一種正交配點法，因其求解精度高、收斂速度快、具有很好的魯棒性而備受關(guān)注［4］。常見的偽譜法包括:勒讓德偽譜法(LPM)、拉道偽譜法(RPM)和高斯偽譜法(GPM)。Huntington［4］對三種偽譜法在精度和計算效率等方面進行了比較，結(jié)果表明高斯偽譜法具有更高的求解精度和收斂速度，并且在處理含初始和終端約束的問題上具有優(yōu)勢。高斯偽譜法基本原理如圖1所示。

圖1 高斯偽譜法基本原理示意圖

在時域(－1，1)內(nèi)選 Legendre-Gauss(LG)點作為配點。LG點與初始、末端時刻點構(gòu)成最優(yōu)控制問題的離散點，將狀態(tài)變量和控制變量在這些點上離散。以初始時刻點與LG點為節(jié)點構(gòu)造Lagrange插值多項式來逼近狀態(tài)變量;以LG點為節(jié)點構(gòu)造Lagrange插值多項式(或其他多項式)來逼近控制變量。在配點處狀態(tài)變量的導數(shù)可由全局插值多項式求導來近似，從而將微分方程約束轉(zhuǎn)換為一組代數(shù)約束。而性能指標中的積分項以及終端狀態(tài)可由高斯求積公式計算得到。經(jīng)上述離散化方法，原始最優(yōu)控制問題就轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題，而后通過有效的大規(guī)模稀疏NLP求解器即可求解。具體高斯偽譜法的連續(xù)最優(yōu)控制問題離散化方法可參見文獻［5］，在此不再贅述。

2 返回軌跡優(yōu)化

2.1 動力學模型

考慮地球旋轉(zhuǎn)影響，假定飛行器側(cè)滑角為零，SLV無動力返回動力學方程［6］為:

為加快優(yōu)化速度和有效地利用自動微分技術(shù)，密度ρ(r)、當?shù)芈曀賑(r)以及升阻力系數(shù)(CL，CD)均采用擬合模型。

2.2 狀態(tài)及控制變量的選取

對于再入軌跡優(yōu)化問題，最為常見的是將X=［r，θ，φ，V，γ，ψ］T∈R6作為狀態(tài)變量，而 U=［α，σ］T∈R2為待優(yōu)化的控制變量。這屬于無慣性控制，是一種假定不存在命令延遲的理想情況。從實際系統(tǒng)考慮，控制舵面偏轉(zhuǎn)限制必然使得攻角α、傾側(cè)角σ存在帶寬和速率限制，這在發(fā)生控制舵面故障的情況下更為明顯。出于任務(wù)安全性的考慮，在模型中考慮α和σ的角速率限制。令

式中，uα，uσ稱為“偽控制量”，作為優(yōu)化時的最優(yōu)控制變量，可以對其加以限制來滿足實際控制能力約束。將式(1)與式(3)聯(lián)立，可得新的方程及狀態(tài)變量 X=［r，θ，φ，V，γ，ψ，α，σ］T∈R8，而新的控制量為U=［uα，uσ］T∈R2。

2.3 優(yōu)化性能指標與各類約束

2.3.1 末端進場走廊(FAC)

目前亞軌道飛行器返回主要沿用航天飛機再入的分段策略，即再入段、末端區(qū)域能量管理段和自動著陸段，這有利于降低各段軌跡設(shè)計與制導的難度，但各段需采用不同的制導方法。對于基于最優(yōu)控制理論的制導方法，只是給定期望的終端條件，尋求一條滿足各種約束的最優(yōu)軌跡，而能量管理、航向調(diào)整實質(zhì)上是通過軌跡優(yōu)化自動實現(xiàn)的?？紤]到亞軌道飛行器返回初始高度較低，因而可以嘗試合并再入段與TAEM段，從返回初始狀態(tài)到自動著陸界面采用統(tǒng)一的軌跡優(yōu)化與最優(yōu)制導方法。

為了描述性能指標與終端約束，引入“末端進場走廊”(FAC)的概念［6］，如圖 2所示。FAC 是在返回段終端速度、速度傾角與速度方位角、著陸場位置及方向給定情況下，能夠保證飛行器安全返回的終端位置(經(jīng)度、緯度、高度)的范圍。FAC生成方法與具體飛行器特性、著陸場信息(如位置、跑道長度)等有關(guān)。

圖2 末端進場走廊

2.3.2性能指標與終端約束

終端約束要求在滿足其他各類約束條件下飛行器能夠準確捕獲FAC，即:

式中，rFAC，θFAC，φFAC分別為 FAC 中心的地心距、經(jīng)度、緯度;FACL，F(xiàn)ACW，F(xiàn)ACH分別為三維 FAC的長、寬、高。

選擇如下性能指標:

式中，w1，w2，w3為權(quán)重系數(shù)，這里選 w1=w2=w3=1，使得終端位置與末端進場走廊中心位置距離最小。

2.3.3其他約束

返回過程還需滿足狀態(tài)、控制量約束和過載nz、動壓q、熱流密度等路徑約束。

3 優(yōu)化算例與結(jié)果分析

3.1 優(yōu)化算例

本文采用X-33總體參數(shù)及氣動模型進行仿真計算［6］。

返回初始狀態(tài)與終端條件約束如下:

3.2 優(yōu)化結(jié)果

為便于比較，分別對不采用偽控制量和采用偽控制量兩種方法進行了優(yōu)化，優(yōu)化結(jié)果如表1所示。

表1 優(yōu)化結(jié)果比較

從表1可以看出，選用30個LG點，兩種方法優(yōu)化時間分別為7.240 s和9.543 s，而同樣算例的文獻［6］則需要25 s。本文算法在Matlab平臺下實現(xiàn)，雅克比矩陣通過自動微分方法計算，如采用C代碼、解析雅克比矩陣等手段，優(yōu)化速度可進一步提高。性能指標為10－17量級，表明終端時刻飛行器非常接近FAC中心。

圖3 狀態(tài)量變化曲線

圖4 控制量變化曲線

圖5 偽控制量變化曲線

圖6 路徑約束變化曲線

圖3～圖6分別為狀態(tài)量、控制量、偽控制量和路徑約束變化曲線。圖3中的h=r－Re表示飛行高度。從圖3中可以看出，GPM優(yōu)化與數(shù)值積分結(jié)果非常吻合，表明所得結(jié)果是可行的。從圖4可以看出，采用偽控制量方法，攻角、傾側(cè)角曲線更為平滑。從圖5可以看出，偽控制量(即控制量攻角和側(cè)滑角的變化率)均在要求的±5(°)/s范圍內(nèi)。圖6表明，返回過程滿足法向過載、熱流密度及動壓路徑約束。

3.3 可行性與最優(yōu)性驗證

對于采用離散化方法求解連續(xù)最優(yōu)控制問題而言，驗證解的可行性與最優(yōu)性是非常必要的?？尚行酝ㄟ^數(shù)值積分結(jié)果與優(yōu)化結(jié)果相比較來驗證，積分時的控制量由最優(yōu)離散控制量插值得到。GPM可以根據(jù)協(xié)態(tài)映射原理估算LG點處的協(xié)態(tài)信息，從而求得哈米爾頓函數(shù)值以檢驗解的最優(yōu)性。本文研究對象屬于存在路徑約束、終端時刻自由的最優(yōu)控制問題，且為自治系統(tǒng)，因此對應(yīng)的哈密爾頓函數(shù)應(yīng)恒為零，這是最優(yōu)軌跡應(yīng)滿足的一階最優(yōu)性必要條件。

圖7為Hamiltonian函數(shù)變化曲線?？梢钥闯鯤amiltonian函數(shù)接近于零，實際數(shù)據(jù)在10－11量級，可以認為所得結(jié)果接近最優(yōu)解。

圖7 Hamiltonian函數(shù)變化曲線

3.4 SLV返回三維飛行軌跡

圖8為仿真得到的亞軌道飛行器三維飛行軌跡與地軌跡。

圖8 三維飛行軌跡與地軌跡

盡管本文沒有采用末端區(qū)域能量管理段、HAC等概念，但從圖8中三維飛行軌跡可以看出，實際上全程返回段都存在能量管理機制。在返回段開始，由于能量管理能力有限，只有小的S機動;返回中段，大約從20～30 km高度開始，進行大的S轉(zhuǎn)彎來消耗能量;返回末段，在小范圍能量管理的同時進行航向調(diào)整。這與傳統(tǒng)的再入分段策略大致相同，從另一個角度驗證了所得結(jié)果的可行性。

4 結(jié)束語

本文利用高斯偽譜法進行了亞軌道飛行器返回軌跡優(yōu)化。為增加任務(wù)安全性，在模型中考慮地球自轉(zhuǎn)影響以及偽控制量約束。在描述性能指標與終端約束時，引入“末端進場走廊”概念。仿真結(jié)果表明，在滿足控制能力約束、路徑約束等條件下，GPM能夠快速準確地生成捕獲FAC中心的SLV返回軌跡。后續(xù)研究工作可考慮采用更為有效的初值猜想機制、解析雅克比矩陣等手段提高計算效率。

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