和 亮，魏西媛

（西安外事學(xué)院 陜西 西安 710077）

2009年1月，教育部高教司設(shè)立了“利用信息技術(shù)工具改造課程”項目，“用MATLAB和建模實(shí)踐改造工科線性代數(shù)課程”是其中一個子項目。 而“需求牽引”和“技術(shù)推動”正是此項目改革的動力[1-2]。是的，后續(xù)課程的需求是什么？采用MATLAB軟件如何增強(qiáng)教學(xué)？這是當(dāng)前線性代數(shù)課程教育者必須思考的。

我校作為參與此項目院校之一，教改也取得了顯著成果，得到了專家、教師和學(xué)生的支持，給予很高的評價，但是如何將線性代數(shù)在工科教育中的重要作用進(jìn)一步發(fā)揮出來呢？工科線性代數(shù)改革的主要目的不是在于課程自身，而是對后續(xù)課程產(chǎn)生輻射，推動各種有關(guān)的后續(xù)課乃至整個教學(xué)計劃的改革和現(xiàn)代化。

基于此，本文針對通信原理課程內(nèi)容雜而多，難教難學(xué)的特點(diǎn)，以此課程中調(diào)制內(nèi)容為例，探討了現(xiàn)有教學(xué)中存在的問題，提出了將線性代數(shù)中向量空間及標(biāo)準(zhǔn)正交基的知識與調(diào)制內(nèi)容進(jìn)行深度結(jié)合，并將MATLAB運(yùn)用于教學(xué)的解決方案。

1 通信原理課程教學(xué)現(xiàn)狀

通信原理課程是通信工程、電子信息工程等本科專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課。在實(shí)際教學(xué)中，本科院校一般都是選用國內(nèi)一些優(yōu)秀教材，這些教材內(nèi)容選取大同小異。一般由隨機(jī)過程、信道與噪聲、模擬調(diào)制系統(tǒng)、數(shù)字基帶傳輸系統(tǒng)、數(shù)字頻帶傳輸系統(tǒng)、模擬信號的數(shù)字傳輸系統(tǒng)、數(shù)字信號的最佳接收、同步原理、差錯控制編碼這些內(nèi)容組成。由于其具有很強(qiáng)的理論性、系統(tǒng)性和物理性，內(nèi)容雜而多，很多學(xué)生反映“亂”，而就每一章來說，能聽懂，會做題，但沒有課程的整體思路?，F(xiàn)以調(diào)制部分的教學(xué)為例，討論難教難學(xué)的原因。原因一，調(diào)制方式多、數(shù)學(xué)表達(dá)式多。在大多數(shù)通信原理教材中將調(diào)制分為兩部分，一部分是模擬調(diào)制，包括有AM、DSB、SSB、VSB等；另一部分是數(shù)字調(diào)制，包括有二進(jìn)制或多進(jìn)制的ASK、FSK、PSK以及QAM、MSK、GMSK等。不同的調(diào)制方式有著不同的數(shù)學(xué)表達(dá)式。盡管在教學(xué)中不斷強(qiáng)調(diào)，不論是模擬調(diào)制還是數(shù)字調(diào)制都是圍繞幅度調(diào)制、頻率調(diào)制、相位調(diào)制3類基本調(diào)制展開的，本質(zhì)是一樣的。但是在理論學(xué)習(xí)過程中，眾多的調(diào)制方式、數(shù)學(xué)表達(dá)式仍然讓學(xué)生感到混亂、難理解。原因二，知識抽象，有很強(qiáng)的物理性。調(diào)制在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用，但是學(xué)生學(xué)習(xí)這部分常常會感到，即使能將每個調(diào)制方式的表達(dá)式記住，卻不知如何用；題目中已知條件給了不少，卻弄不清楚是什么意思；面對實(shí)際問題，不知如何分析，如何實(shí)現(xiàn)。這些都是由于知識抽象，不理解公式和物理量的物理意義所造成的。如何解決或改善上述兩個問題呢？首先，如果能將紛雜的調(diào)制方式統(tǒng)一為一個數(shù)學(xué)模型，換句話說，就是可以用一個通用的數(shù)學(xué)模型分析所有模擬和數(shù)字調(diào)制方式，那么可以改善甚至解決第一個問題。其次，如果能將MATLAB用于教學(xué)，通過仿真將抽象知識直觀化、具體化，那么可以解決上述第二個問題。以下討論具體解決問題的方案。首先介紹調(diào)制方式的數(shù)學(xué)模型如何統(tǒng)一。

2 調(diào)制數(shù)學(xué)模型的統(tǒng)一

為解決調(diào)制方式多，數(shù)學(xué)表達(dá)式繁雜給教學(xué)帶來的困難，現(xiàn)將線性代數(shù)中向量空間和標(biāo)準(zhǔn)正交基概念引入，通過闡述向量空間和信號空間的關(guān)系，將標(biāo)準(zhǔn)正交基和通信原理課程中的調(diào)制內(nèi)容結(jié)合起來，實(shí)現(xiàn)調(diào)制方式數(shù)學(xué)模型的統(tǒng)一。

2.1 向量空間與信號空間的聯(lián)系

向量空間就是線性代數(shù)中一個核心概念。掌握有限維向量空間，將其擴(kuò)展到信號空間，這一點(diǎn)對于應(yīng)用數(shù)學(xué)研究者是非常重要的。

2.1.1 向量空間

根據(jù)向量空間定義[3]，可以獲知以下信息：1）向量空間是滿足某種運(yùn)算關(guān)系的向量的集合；2）在n維向量空間中線性無關(guān)的n個向量構(gòu)成的向量集合就是向量空間的一個基；3）基是生成向量空間的最基本的向量集合，空間中的任意一個向量都可以由基線性組合得到；4）在Euclid空間引入標(biāo)準(zhǔn)正交基對于揭示空間結(jié)構(gòu)、簡化表述非常有利。

此概念具有非常直觀的幾何意義。例如在二維向量空間中的體現(xiàn)如圖 1所示。 其中向量 e1=[1，0]T，e2=[0，1]T。 根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義可知，e1、e2是二維向量空間的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基。那么，二維向量空間中的任意一個向量都可以由e1、e2線性組合得到。如x=k1e1+k2e2，其中是實(shí)常數(shù)。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)正交基的幾何意義Fig.1 Geometric meaning of standard orthogonal basis

2.1.2 信號空間

根據(jù)信號空間定義[4]可知，信號空間是由信號構(gòu)成的Hilbert空間或線性空間。也就是說，信號空間也是滿足一定條件[4]的集合，其元素是信號。如前所述，向量空間是由向量構(gòu)成的線性空間。由此可以看出：信號空間與向量空間本質(zhì)相同，均是滿足一定條件的集合，只是集合中的元素不同。若將向量空間中的元素向量換成信號，便是信號空間。那么，向量空間中基的概念可以推廣到信號空間：1）兩兩正交且能量均為1的信號集合是信號空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基或歸一化正交基。2）由基組合而成的信號組成的集合便是信號空間[5]。換言之，信號空間中的任意一個信號都可以由基組合得到。當(dāng)信號空間中的基給定時，空間中信號的位置完全由組合系數(shù)構(gòu)成的向量決定。

根據(jù)函數(shù)正交和正交函數(shù)集[1]定義可知，sin（ωct）和cos（ωct）互為正交函數(shù)，由上述討論顯然可以看出，sin（ωct）和cos（ωct）可以看作二維信號空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么二維信號空間中的任意一個信號s（t）均可以由基線性組合得到。

2.2 正交調(diào)制原理

在通信中，基帶信號不能直接送入實(shí)際信道進(jìn)行傳輸，為了更好地適應(yīng)信號傳輸通道的頻率特性，必須用基帶信號對載波進(jìn)行調(diào)制來完成信號傳輸[6]。在通信發(fā)展的過程中，隨著技術(shù)的不斷進(jìn)步，衍生出很多種調(diào)制解調(diào)方式，它們之間的不同之處在于用待傳輸信號去控制載波的不同參數(shù)，例如載波的幅度、頻率、相位或者它們的組合。已知已調(diào)信號的一般數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

根據(jù)上面討論可知，sin（ωct）和 cos（ωct）是二維信號空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么（2）式顯然可以理解為：已調(diào)信號 s（t）是 sin（ωct）和 cos（ωct）線性組合。 另外，在（3）式中可以看到，I（t）、Q（t）包含了調(diào)制信號的幅度信息和相位信息。這就意味著，只要確定了 I（t）、Q（t），便可以實(shí)現(xiàn)各種調(diào)制方式。 因此，調(diào)制過程，等價于根據(jù)待傳輸?shù)幕鶐盘柅@得同相分量 I（t）和正交分量 Q（t）后，對基函數(shù) cos（ωct）、sin（ωct）進(jìn)行線性組合的過程。進(jìn)一步，解調(diào)的過程即為從已調(diào)信號中提取 I（t）、Q（t）并由其生成基帶信號的過程。

2.3 常見調(diào)制方式的同相分量和正交分量

表 1 給出常見調(diào)制方式的同相分量 I（t）和正交分量Q（t）[7]。其中 AM、DSB、SSB和 FM所對應(yīng)的 m（t）為模擬基帶信號，2ASK、2FSK、2PSK、MSK 和 QAM 所對應(yīng)的 m（t）為數(shù)字基帶信為碼元寬度。

通過表中討論可以看出，通過標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念將正交調(diào)制模型引入通信原理課程教學(xué)中，不僅將線性代數(shù)知識和專業(yè)課深度結(jié)合，而且可以將模擬調(diào)制和數(shù)字調(diào)制內(nèi)容進(jìn)行整合，降低了教與學(xué)的難度，使得通信原理課程知識結(jié)構(gòu)更加簡單明了，在深化線性代數(shù)教學(xué)改革的同時也推動了通信原理課程改革。

表1 幾種常見調(diào)制方式的同相分量和正交分量Tab.1 Several common modulation of the in-phase and quadrature components

3 MATLAB用于調(diào)制內(nèi)容教學(xué)

為了解決上述第二個問題給教學(xué)帶來的困難，可以利用MATLAB軟件的特點(diǎn)將其用于教與學(xué)，增強(qiáng)教學(xué)效果。

3.1 MATLAB用于“教”

通過上述討論可知，紛雜的調(diào)制方式可以統(tǒng)一成一個正交數(shù)學(xué)模型，不同的調(diào)制方式僅僅對應(yīng)著不同 I（t）、Q（t）。 那么，在課堂上教師可以用MATLAB為學(xué)生演示正交調(diào)制原理下各種調(diào)制方式所對應(yīng)參量。帶來的好處就是將抽象知識具體化、直觀化，使得學(xué)生更容易接受這部分內(nèi)容，同時激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。圖2就是用MATLAB軟件仿真實(shí)現(xiàn)QPSK調(diào)制方式時獲得的時域波形圖、頻譜圖及各參量波形示意圖。

3.2 MATLAB用于“學(xué)”

為了加強(qiáng)教的效果，教師可以以課程設(shè)計等形式要求學(xué)生通過正交調(diào)制數(shù)學(xué)模型編寫MATLAB程序，來實(shí)現(xiàn)多種調(diào)制方式。這樣做有什么好處呢？1）學(xué)生先經(jīng)過理論分析，然后再仿真實(shí)現(xiàn)，在這個過程中會遇到問題多種問題，那么分析問題、解決問題是學(xué)生必然要經(jīng)歷的過程。當(dāng)學(xué)生通過理論指導(dǎo)完成仿真實(shí)現(xiàn)時，不僅加深了他們對調(diào)制概念的理解，更好的掌握調(diào)制理論，了解調(diào)制解調(diào)的本質(zhì)，而且反過來又幫助學(xué)生驗(yàn)證了理論的正確性，在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率。2）結(jié)合實(shí)際問題，學(xué)生完成了調(diào)制理論向工程化的轉(zhuǎn)變。例如，在一個通用的硬件平臺上，用軟件實(shí)現(xiàn)不同調(diào)制，這正是調(diào)制解調(diào)在軟件無線電領(lǐng)域的一個工程應(yīng)用。培養(yǎng)了學(xué)生提出問題、分析問題、解決問題以及工程應(yīng)用的能力。3）為學(xué)生本科畢業(yè)設(shè)計積累了素材。

圖2 QPSK波形圖、頻譜圖及各參量示意圖Fig.2 QPSK waveform，spectrogram and the parameter diagram

4 結(jié)束語

本文在完成了“用信息工具改造線性代數(shù)課程”的教學(xué)改革基礎(chǔ)上，針對通信原理課程教學(xué)中存在的問題，以調(diào)制內(nèi)容為例提出了將線性代數(shù)中的標(biāo)準(zhǔn)正交基概念引入和將MATLAB用于教學(xué)的解決方案。需要說明的是，此方案通過在我校本科電子信息工程專業(yè)進(jìn)行了試行，根據(jù)教學(xué)效果及后續(xù)畢業(yè)設(shè)計結(jié)果來看，文中提到兩個問題均有顯著的改善，但是要取得更好的教學(xué)效果，我們還有大量的工作要做。技術(shù)推動、需求牽引是一切科學(xué)技術(shù)發(fā)展的動力。教育教學(xué)也只有如此，才能面向未來，通信原理課程也不例外。

[1]陳懷琛，高淑萍，楊威.工程線性代數(shù)（MATLAB版）[M].北京:電子工業(yè)出版社，2007.

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