周健斌，章俊杰，孟 光

(1.中國商用飛機有限責任公司 上海飛機設計研究院，上海 200232;2.上海交通大學 機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海 200240)

現(xiàn)代大型客機設計廣泛采用機翼下吊發(fā)動機的布局形式。隨著飛機設計技術的發(fā)展，現(xiàn)代大型客機朝著加大機翼展弦比、采用輕質材料、減小結構剛度、采用高涵道比大推力發(fā)動機的方向發(fā)展，因此翼下吊發(fā)動機不僅影響飛機的氣動力布局，發(fā)動機轉子產生的陀螺效應對飛機結構動力學特性以及氣動彈性特性的影響也日益突出。王彬文［1］等用有限元方法研究了轉子陀螺效應對帶有翼吊發(fā)動機系統(tǒng)振動特性的影響，結果表明陀螺效應對其固有特性的影響是不可忽略的。

具有陀螺效應的彈性體問題可歸結為陀螺彈性系統(tǒng)問題。Eleuterio［2-6］和 Hughes［7］首次提出了陀螺彈性系統(tǒng)問題并針對自旋航天器研究了一類具有分布陀螺力矩的彈性系統(tǒng)的動力學特性。Peck等［8，9］在此基礎上提出了運用嵌入在結構中的角動量來實現(xiàn)結構自適應調諧，如頻移、模態(tài)耦合和解耦、相位調整等。針對一類帶有旋轉部件的機械臂，Yamanaka［10-11］分析了端部帶有轉子的均質梁的動力學和穩(wěn)定性問題，其轉子轉軸沿梁的軸向。Li等［12］研究了端部帶有任意方向旋轉軸的轉子的柔性連接的穩(wěn)定性問題。

本文從陀螺彈性系統(tǒng)理論出發(fā)，以帶有橫向轉子的Bernoulli-Euler懸臂梁為研究對象，運用Hamilton變分原理建立了計及發(fā)動機陀螺效應的機翼彎扭耦合動力學模型，分析了系統(tǒng)的動力學特性，研究了發(fā)動機陀螺效應對系統(tǒng)固有特性的影響。

1 陀螺效應的耦合作用

如圖1所示，轉子垂直于梁展向安裝，設轉子自轉角速度為Ω，極慣性矩為Jp，則轉子對其質心的動量矩為:

當梁發(fā)生y方向(面內)的彎曲振動以及扭轉振動時，轉子轉動方向將隨梁振動而發(fā)生改變，此時轉子做繞y方向的橢圓進動。根據(jù)轉子動力學理論，該橢圓進動由正進動和反進動合成。設轉子繞y方向的進動角速度為ω，則轉子產生陀螺力矩:

其方向垂直于Ω與ω組成的平面。設Ω與ω夾角為φ(φ?1)，則陀螺力矩大小可表示為:

該力矩與φ成正比，相當于彈性力矩。在正進動情況下(如圖1)，陀螺力矩作用使得梁的剛度提高;反之，在反進動情況下，梁的剛度減小。由此，陀螺力矩使得梁的面內彎曲模態(tài)和扭轉模態(tài)發(fā)生耦合，并影響系統(tǒng)的剛度。

圖1 陀螺力矩耦合作用示意圖(正進動)Fig.1 Illustration of the mechanism of the gyroscopic coupling effect

2 動力學模型

為研究發(fā)動機陀螺效應對機翼動力學特性的影響，將機翼-發(fā)動機系統(tǒng)簡化為一端固支的彎扭耦合Bernoulli-Euler懸臂梁結構，忽略發(fā)動機與機翼間的連接剛度，如圖2(a)所示。機翼翼展為l，半弦長為b，右手坐標系o-xyz原點o位于機翼根部，ox軸與機翼剛軸重合，oy軸沿飛機航向。發(fā)動機重心位置為(xs，ys，zs)，機翼重心軸在-y方向的距離為e。圖2(b)所示為變形后x=xs處機翼弦向截面示意圖。o'為機翼剛軸與截面交點，截面位移為v、w，截面繞o'轉角為 θ。Cw為截面重心，發(fā)動機重心位置Cs，發(fā)動機重量為ms，轉子轉速為Ω，轉動矢量方向與剛軸垂直。

圖2 機翼-發(fā)動機系統(tǒng)示意圖Fig.2 Illustration of the wing-engine system

由Hamilton變分原理

可推導得系統(tǒng)動力學方程，其中 δU、δTw、δTs和 δW分別為機翼勢能、機翼動能、發(fā)動機動能和非保守外力做功的變分。由彎扭耦合懸臂梁動力學分析，機翼勢能的變分為:

其中，EI2為梁的面外彎曲剛度，EI3為梁的面內彎曲剛度，GJ為梁的扭轉剛度。

機翼動能的變分可表示為:

其中，mw為機翼單位長度質量，e為機翼截面重心與剛軸的距離(重心在剛軸前為正)，σ為機翼單位長度截面繞剛軸的慣性半徑。

對發(fā)動機動能分析可知，發(fā)動機的動能的變分由兩部分組成，δTs=δTm+δTr，其中 δTm為發(fā)動機集總質量的動能的變分，δTr為發(fā)動機轉子的轉動動能的變分。

由轉子動力學理論，當機翼變形時，向量Ω的偏轉角在oxy和oyz平面的投影分別為v'和θ，由此，發(fā)動機轉子的轉動的動能可表示為:

其中，Jp為轉子繞其轉軸的極轉動慣量，Jd為轉子的赤道轉動慣量。對Tr求變分可得:

將式(5)～(7)和(9)代入式(4)可得如下計及發(fā)動機陀螺效應的系統(tǒng)動力學方程:

式中，δD()為 Dirac函數(shù)。“'”表示對X求導，“·”表示對τ求導。

3 動力學特性分析

采用extended Galerkin［13］方法對系統(tǒng)動力學方程進行離散化，令:

選取如下滿足邊界條件的函數(shù)作為基函數(shù):

代入方程(13)～方程(15)，積分可得離散后的系統(tǒng)方程:

為驗證系統(tǒng)模型，選取 Goland［14］機翼模型參數(shù)EI2=9.76 ×106N·m2，EI3=9.76 ×106N·m2，GJ=9.88 ×105N·m2，mw=35.75 kg/m，σ =0.49 m，e=0.18 m，l=6.10 m，計算發(fā)動機位于機翼根部且 Ω=0 rad/s時系統(tǒng)前五階固有頻率，結果如表1所示。根據(jù)梁的動力學特點，取N1=5、N2=5、N3=3。通過對比可知，本文計算結果與文獻相吻合，數(shù)學模型及計算方法具有較高的精度。

表1 Goland梁前五階固有頻率Tab.1 Modal frequency of the first 5 modes for the Goland wing

3.1 轉速對系統(tǒng)固有特性的影響

表2 轉子結構參數(shù)Tab.2 Structural parameters of the engine rotor

圖3 Goland機翼固有頻率和阻尼比隨發(fā)動機無量綱慣性矩變化曲線Fig.3 Modal frequency and damping ratio vs.nondimensional rotor moment of inertia of the Goland wing

由圖3可知，隨著發(fā)動機轉子慣性矩的增大，在發(fā)動機陀螺力矩作用下，當系統(tǒng)二階扭轉模態(tài)與面內二階彎曲模態(tài)相鄰時，該兩階模態(tài)相互耦合，系統(tǒng)二階扭轉模態(tài)頻率增大、面內二階彎曲模態(tài)頻率減小，即在陀螺力矩作用下，系統(tǒng)二階扭轉模態(tài)剛度增大，而二階彎曲剛度減小;此時系統(tǒng)特征值為純虛數(shù)，各階振型有固定節(jié)線，即發(fā)動機陀螺力矩影響系統(tǒng)的剛度。當轉子慣性矩增大至=1.56時，上述耦合模態(tài)對應的特征值為共軛復數(shù)重根，模態(tài)頻率重合，模態(tài)阻尼分岔并出現(xiàn)負阻尼，系統(tǒng)處于動態(tài)失穩(wěn)狀態(tài);如圖4所示為=2.52時系統(tǒng)前六階振型，此時系統(tǒng)第四階模態(tài)與第五階模態(tài)相互耦合，具有相同的振型曲線，且振型無固定的節(jié)線。重合后該模態(tài)頻率隨著發(fā)動機轉速的增大而加速降低=5.55時，該耦合模態(tài)出現(xiàn)過阻尼，模態(tài)頻率為零，相應模態(tài)阻尼進一步分岔。

圖4 H=2.52時系統(tǒng)前六階振型圖Fig.4 Mode shapes of the first 6 modes with=2.52

3.2 臨界轉速

以上如圖5所示為臨界無量綱慣性矩及=0時系統(tǒng)模態(tài)頻率ω/ω0隨機翼剛軸與重心軸距離e/l的變化曲線。由圖可知=0時系統(tǒng)面外彎曲模態(tài)及扭轉模態(tài)的頻率隨著e/l的增大而變化，當其中某一階頻率曲線接近并與面內彎曲模態(tài)頻率曲線相交時，將相交點臨近區(qū)域稱為頻率相交影響區(qū)域，如圖5中陰影區(qū)域Ⅰ和Ⅱ所示。在頻率相交影響區(qū)域內，隨著發(fā)動機轉子轉速的提高，發(fā)動機陀螺效應使得頻率相交模態(tài)參與耦合，系統(tǒng)動態(tài)失穩(wěn)，此時系統(tǒng)臨界轉速快速降低，且在頻率相交點臨界頻率達到最小值，如圖6所示為e/l=0.01時，系統(tǒng)模態(tài)頻率隨發(fā)動機轉子轉速變化Campbell圖，從圖中可以看出，由于系統(tǒng)結構參數(shù)使得系統(tǒng)面內一階彎曲頻率和面外一階頻率耦合，在陀螺效應的作用下，系統(tǒng)第一、二階頻率在=0.02 時即出現(xiàn)共軛特征值，導致動態(tài)失穩(wěn)。在非頻率相交影響區(qū)域內，系統(tǒng)臨界阻尼不隨e/l變化。

如圖7所示為臨界無量綱慣性矩及=0時系統(tǒng)模態(tài)頻率ω/ω0隨機翼慣性半徑σ/l的變化曲線。與前述情況類似，由于慣性半徑的變化系統(tǒng)在0≤≤0.15范圍內出現(xiàn)頻率相交影響區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ，在這些區(qū)域內系統(tǒng)臨界轉速快速下降，而在頻率相交影響區(qū)域內，系統(tǒng)臨界轉速隨慣性半徑的增大而增大。

圖7 Goland機翼臨界無量綱慣性矩隨變化曲線Fig.7 Critical nondimensional rotor moment of inertia vs. σ of the Goland wing

4 結論

本文運用Hamilton原理建立了計及發(fā)動機陀螺效應的機翼動力學數(shù)學模型，通過系統(tǒng)特性分析、研究得到如下結論:

(1)受發(fā)動機陀螺力矩的耦合作用，隨著發(fā)動機陀螺慣性矩的增大，機翼面內彎曲模態(tài)頻率增大，扭轉模態(tài)頻率降低，且模態(tài)振型相耦合。

(2)當面內彎曲模態(tài)與扭轉模態(tài)相鄰時，且發(fā)動機陀螺無量綱慣性矩大于臨界穩(wěn)定值時，系統(tǒng)特征值出現(xiàn)共軛復重根，參與耦合的模態(tài)頻率重合，系統(tǒng)動態(tài)失穩(wěn)。

(3)在非頻率相交影響區(qū)域內，系統(tǒng)動態(tài)臨界穩(wěn)定無量綱慣性矩隨機翼慣性半徑σ的增大而增大，而剛軸與重心軸的距離e對無影響。

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