劉文光，陳國平

(1.南京航空航天大學(xué) 飛行器結(jié)構(gòu)力學(xué)與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016;2.南昌航空大學(xué) 航空制造工程學(xué)院，南昌 330036)

工程實(shí)踐中，裂紋梁的振動(dòng)問題一直受到廣泛的重視。結(jié)構(gòu)裂紋根據(jù)其運(yùn)動(dòng)特征可分為張開式裂紋和呼吸式裂紋。長期以來，人們?cè)诜治隽鸭y結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性時(shí)，通常假定裂紋始終處于張開狀態(tài)。譬如Papadopoulos等［1］、Chondros等［2］在研究裂紋擴(kuò)展對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)的影響時(shí)，都假定裂紋為張開狀態(tài)。實(shí)際上裂紋受到壓力時(shí)，裂紋將處于閉合狀態(tài)。所以，裂紋結(jié)構(gòu)受到振動(dòng)激勵(lì)作用，仍然采用張開式裂紋不符合實(shí)際情況。后來，Chondros等［3］、Abraham 和 Brandon［4］、Cheng等［5］、杜彥衛(wèi)等［6］、楊海燕等［7］提出多種不同的呼吸式裂紋模型。與張開式裂紋模型相比，呼吸式裂紋可以更加客觀地描述裂紋結(jié)構(gòu)的振動(dòng)行為和疲勞裂紋擴(kuò)展現(xiàn)象。

長期處于振動(dòng)激勵(lì)下，結(jié)構(gòu)裂紋可能擴(kuò)展并導(dǎo)致結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性發(fā)生改變;尤其在共振激勵(lì)下，即使很小的激勵(lì)也會(huì)產(chǎn)生較大振幅的動(dòng)響應(yīng)，并導(dǎo)致結(jié)構(gòu)振動(dòng)疲勞問題。對(duì)此，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)裂紋結(jié)構(gòu)的振動(dòng)疲勞相關(guān)問題開展了一系列研究。諸如，Dentsoras和Dimarogonas［8］研究了共振時(shí)激勵(lì)頻率和結(jié)構(gòu)阻尼對(duì)裂紋梁疲勞裂紋擴(kuò)展壽命的影響。劉文光［9］研究了軸向共振控制的結(jié)構(gòu)疲勞裂紋擴(kuò)展壽命。然而，上述文獻(xiàn)在分析結(jié)構(gòu)共振疲勞壽命時(shí)，沒有考慮結(jié)構(gòu)裂紋表面摩擦引起的能量耗散。實(shí)際上，能量耗散容易產(chǎn)生摩擦阻尼，該特性對(duì)裂紋梁的振動(dòng)疲勞裂紋擴(kuò)展具有重要作用，尤其是共振疲勞時(shí)阻尼效應(yīng)非常明顯。然迄今為止，該方面的研究報(bào)導(dǎo)極少。

為了考慮摩擦阻尼對(duì)疲勞裂紋擴(kuò)展的影響，本文基于Coulomb模型和能量耗散理論推導(dǎo)裂紋表面摩擦阻尼損耗因子，利用廣義Forman方程模擬疲勞裂紋擴(kuò)展，討論摩擦阻尼變化對(duì)疲勞裂紋擴(kuò)展的影響，進(jìn)一步提高振動(dòng)疲勞裂紋擴(kuò)展分析精度。

1 呼吸裂紋梁的振動(dòng)模型

考慮圖1所示的含表面裂紋懸臂梁，其幾何尺寸為:長L、寬b、高h(yuǎn)、裂紋深度為a;裂紋位置與固支端的距離為xc。定義ζ=a/h為相對(duì)裂紋深度。

圖1 裂紋梁振動(dòng)模型(均質(zhì)、各向同性)Fig.1 Cracked cantilever beam(homogeneous，isotropic)

為了利用連續(xù)體動(dòng)力學(xué)理論分析裂紋結(jié)構(gòu)，需要對(duì)結(jié)構(gòu)裂紋進(jìn)行簡化?？紤]裂紋的閉合效應(yīng)，采用一種新的呼吸式裂紋模型。與文獻(xiàn)［3-7］中使用的呼吸裂紋模型不同，它采用雙線性彈簧模型模擬結(jié)構(gòu)裂紋的呼吸行為，圖2為呼吸裂紋梁的簡化模型。

圖2 呼吸裂紋梁簡化振動(dòng)模型Fig.2 Simplified model of breathing cracked beam

呼吸裂紋梁的剛度是由張開裂紋剛度和閉合裂紋剛度組合而成，剛度表達(dá)式為:

式中:kbr為呼吸式裂紋剛度;ko為張開式裂紋剛度;kc為閉合式裂紋剛度。當(dāng) ωt=2nπ，(n=1，2，3…)時(shí)，裂紋完全閉合，等效為無裂紋，則kbr=kc，即閉合裂紋剛度可用無裂紋結(jié)構(gòu)剛度計(jì)算，即用后面的廣義剛度k*代替。ωt=(2n-1)π，(n=1，2，3…)時(shí)，裂紋完全張開，則kbr=ko。因此，為計(jì)算呼吸裂紋剛度，需先計(jì)算出張開式裂紋剛度與閉合式裂紋剛度。

忽略橫向載荷引起的剪切效應(yīng)，張開式裂紋的剛度可用以下方程近似表示［10］:

式中:kT為裂紋截面因局部柔度而產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)剛度，kc為裂紋完全閉合時(shí)的剛度，ko為裂紋完全張開時(shí)的剛度。

2 振動(dòng)分析

橫向力激勵(lì)下，連續(xù)梁的強(qiáng)迫彎曲振動(dòng)方程為:

式中:E表示彈性模量;I為截面慣性距;c為阻尼系數(shù);ρ為材料密度;A為橫截面面積;F為橫向激勵(lì)力幅值;δ為Dirac函數(shù);w為橫向振動(dòng)位移;x為坐標(biāo);t為時(shí)間;ω為外激勵(lì)頻率。

假設(shè)裂紋梁的橫向固有振動(dòng)形式表示如下:

式中:W(x)是梁橫截面中性軸在x處的橫向振動(dòng)幅值函數(shù)，T(t)是描述運(yùn)動(dòng)規(guī)律的函數(shù)。

根據(jù)懸臂梁的邊界條件，可得到振動(dòng)幅值函數(shù)

式中:η =(cosλL+coshλL)/(sinλL+sinhλL)，其中 λL是方程1+coshλLcosλL=0的解。為簡化分析，只考慮第一階模態(tài)對(duì)疲勞破壞的影響。對(duì)應(yīng)第1階模態(tài)的λL=1.875 1。

將方程(5)代入方程(4)，運(yùn)用Galerkin方法得到:

式中:k*為無裂紋時(shí)廣義剛度，與kc相等;c*為廣義阻尼;m*為廣義質(zhì)量;F*為廣義力。其中:

將公式(6)中的k*用kbr代替，則得呼吸式裂紋梁的振動(dòng)方程。

3 裂紋表面摩擦阻尼分析

振動(dòng)過程中，結(jié)構(gòu)裂紋由于不斷地受到拉壓作用使裂紋表面接觸并產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)，接觸面之間會(huì)產(chǎn)生干摩擦力，引起摩擦阻尼。

3.1 表面滑動(dòng)摩擦模型

振動(dòng)作用時(shí)，裂紋尖端因應(yīng)力集中效應(yīng)很快進(jìn)入屈服階段，使結(jié)構(gòu)裂紋尖端材料斷裂實(shí)現(xiàn)裂紋向前擴(kuò)展，屈服現(xiàn)象的出現(xiàn)與最大切應(yīng)力有關(guān)。對(duì)大多數(shù)低碳鋼材料而言，拉伸時(shí)在與梁軸線成45°傾角的斜面上切應(yīng)力為最大，所以表面磨光的試樣屈服時(shí)表面將出現(xiàn)與軸線大致成45°傾角的條紋，如圖3所示。

假定裂紋在擴(kuò)展過程中沿直線往前擴(kuò)展。按照裂紋尖端材料斷裂時(shí)的屈服滑移情況，振動(dòng)疲勞裂紋擴(kuò)展時(shí)，在裂紋尖端表面會(huì)出現(xiàn)與軸線成45°傾角的滑移線，見圖4。

圖3 屈服滑移線Fig.3 Slip line resulted from yield

建立呼吸裂紋表面滑動(dòng)摩擦模型之前，還需要引入一些假設(shè)使問題得以簡化:

① 假設(shè)梁的振動(dòng)幅值和振動(dòng)響應(yīng)是穩(wěn)態(tài)的。

② 假定振動(dòng)過程中，呼吸裂紋引起的能量損失僅由裂紋表面摩擦所造成。

③ 摩擦能量的消耗依據(jù)裂紋深度一半處接觸點(diǎn)的摩擦力計(jì)算，且摩擦力符合Coulomb模型。

④ 假定摩擦能量的耗散產(chǎn)生于裂紋張開和閉合的振動(dòng)一周內(nèi)。

⑤ 假定變形狀態(tài)時(shí)含裂紋和不含裂紋梁的整個(gè)位能儲(chǔ)能是相等的。

⑥ 假定與振動(dòng)頻率無關(guān)的無應(yīng)力自由表面，距離裂紋張開位置長度為3倍裂紋深度。

基于上述假設(shè)，可建立呼吸裂紋表面滑動(dòng)摩擦模型，見圖5。

3.2 摩擦阻尼損耗因子

根據(jù)胡克定律，振動(dòng)激勵(lì)時(shí)疲勞裂紋深度一半處接觸點(diǎn)的正應(yīng)力可表示為:

式中:w(x，t)是橫向振動(dòng)位移，在裂紋表面振動(dòng)產(chǎn)生的正交作用力表示為:

式中:a為裂紋深度，b為梁截面寬度，h為梁高度，E為材料彈性模量。

正交作用力F0處在中性軸時(shí)的值為0，而且當(dāng)它位于1/4循環(huán)時(shí)的絕對(duì)值最大，因此正交作用力的平均值為:

如圖5所示，假定裂紋表面的摩擦系數(shù)為μ，則此摩擦力為:

綜上公式，得到:

每一周內(nèi)，裂紋表面接觸摩擦包括張開過程和閉合過程兩個(gè)階段，所以由呼吸裂紋表面摩擦產(chǎn)生的能量耗散為:

式中:d為滑動(dòng)摩擦力作用距離。

假設(shè)確定裂紋表面滑動(dòng)距離的是無應(yīng)力自由表面，裂紋張開位移在裂紋深度一半處，根據(jù)建立裂紋表面滑動(dòng)摩擦模型時(shí)的假設(shè)和梁彎曲時(shí)的幾何圖6可求出:

圖6 彎矩產(chǎn)生的張開裂紋Fig.6 Opening crack caused by moment

接近梁中性軸裂紋位置的曲率為:

由圖5得到:

將上述方程綜合可得到每周的摩擦能量耗散為:

為了計(jì)算等效阻尼損耗因子，還需要計(jì)算存儲(chǔ)在裂紋梁之內(nèi)的應(yīng)變能，根據(jù)能量原理可推導(dǎo)得到矩形橫截面梁變形期間所有應(yīng)變能如下［11］:

式中:第1項(xiàng)為彎曲變形能，第2項(xiàng)為剪切變形能;M為彎矩、Q為剪切力、κ為剪力因子、G為剪切彈性模量、E為楊氏彈性模量、A為橫截面積、I為截面慣性距。其中:

根據(jù)系統(tǒng)的損耗因子定義［12］

式中:Wf為一周內(nèi)裂紋表面摩擦損耗能量，Vmax為振動(dòng)一周內(nèi)存儲(chǔ)的最大位能。所以由呼吸裂紋表面摩擦產(chǎn)生的阻尼損耗因子為:

4 振動(dòng)疲勞裂紋擴(kuò)展分析

由于振動(dòng)激勵(lì)考慮了疲勞裂紋擴(kuò)展引起的動(dòng)態(tài)響應(yīng)變化，使動(dòng)應(yīng)力幅值不斷變化，所以不能直接采用常規(guī)的疲勞裂紋擴(kuò)展方程，而需要采用振動(dòng)分析與裂紋擴(kuò)展計(jì)算交替進(jìn)行的方法，考慮振動(dòng)與疲勞的耦合作用?？紤]裂紋閉合效應(yīng)，采用廣義的Forman方程模擬疲勞裂紋擴(kuò)展。

4.1 廣義Forman方程

使用Forman方程，對(duì)于任一恒定幅值激勵(lì)，結(jié)構(gòu)裂紋擴(kuò)展增量為:

式中:Ni為裂紋擴(kuò)展起始時(shí)對(duì)應(yīng)的循環(huán)次數(shù)，Nf為裂紋擴(kuò)展結(jié)束時(shí)對(duì)應(yīng)的循環(huán)次數(shù);ΔK為應(yīng)力強(qiáng)度因子振幅，ΔK=Kmax-Kmin;Kmax為最大應(yīng)力強(qiáng)度因子，Kmin為最小應(yīng)力強(qiáng)度因子;ΔKth是應(yīng)力強(qiáng)度因子門檻值;Kc是材料的斷裂韌性;r是應(yīng)力比;C、n、p、q是試驗(yàn)常數(shù);Δa裂紋擴(kuò)展增量;N是振動(dòng)次數(shù);f是裂紋張開函數(shù)。

裂紋張開函數(shù)f考慮裂紋閉合效應(yīng)，表達(dá)式為:

式中:Kop是張開式裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子;其中:

β為平面應(yīng)變約束系數(shù);Smax/σ0為最大應(yīng)力與應(yīng)力流的比。

應(yīng)力強(qiáng)度因子門檻值表達(dá)式為:

式中:ΔK0是r=0時(shí)的應(yīng)力強(qiáng)度因子門檻值;ΔK0和a0被假定為常數(shù)。

工程實(shí)際表明，結(jié)構(gòu)振動(dòng)會(huì)引起裂紋擴(kuò)展，而裂紋擴(kuò)展反過來會(huì)改變結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性，進(jìn)而影響裂紋擴(kuò)展行為，兩者之間存在耦合關(guān)系。傳統(tǒng)的疲勞裂紋擴(kuò)展理論卻忽略了這種耦合作用。為此，本文采用振動(dòng)分析與裂紋擴(kuò)展計(jì)算同步進(jìn)行的方法考慮振動(dòng)與疲勞的耦合效應(yīng)，進(jìn)一步提高疲勞壽命估算精度。

結(jié)構(gòu)受到變振幅載荷的作用時(shí)，最終的裂紋深度可由疊加法計(jì)算，表示如下:

其中Δaj為第j階段激勵(lì)所產(chǎn)生的裂紋擴(kuò)展量。

振動(dòng)循環(huán)的增量為:

考慮到ΔNj很小，所以:

因此，第j階段內(nèi)振動(dòng)次數(shù)為ΔNj時(shí)，對(duì)應(yīng)的裂紋擴(kuò)展量為Δaj近似為:

4.2 疲勞裂紋擴(kuò)展失效判據(jù)

結(jié)構(gòu)疲勞裂紋擴(kuò)展達(dá)到一定條件后，結(jié)構(gòu)會(huì)發(fā)生各種失效。分析時(shí)采用以下失效判據(jù)。

(1)判據(jù)1:如果裂紋擴(kuò)展至粱的中面時(shí)，即裂紋深度達(dá)到梁高度的一半時(shí)，已不再適用應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行疲勞壽命估算，則認(rèn)為結(jié)構(gòu)發(fā)生幾何失效。

(2)判據(jù)2:如果結(jié)構(gòu)裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子達(dá)到材料的斷裂韌性時(shí)，即認(rèn)為梁即將發(fā)生失穩(wěn)斷裂。

(3)判據(jù)3:如果結(jié)構(gòu)裂紋位置的名義應(yīng)力超過了材料的強(qiáng)度極限，則認(rèn)為結(jié)構(gòu)發(fā)生斷裂失效。

4.3 算例

假設(shè)結(jié)構(gòu)的尺寸為:L=0.3 m、b=0.002 m、h=0.02 m;裂紋位置:xc=0.15 m;材料是 304 不銹鋼［13］，機(jī)械性能為:彈性模量E=204 GPa、泊松比 ν=0.33、密度 ρ=7 860 kg/m3、強(qiáng)度極限 σb=620 MPa、屈服強(qiáng)度σs=275.8 MPa;裂紋擴(kuò)展試驗(yàn)常數(shù)為:C=6E-10、n=3、p=0.25、q=0.25、β =2.5、Smax/σ0=0.3;其它參數(shù)為:①材料斷裂韌性KC=7 645 MPa·mm1/2、門檻值ΔKth=121.6 MPa·mm1/2;② 加載幅值為50 N，對(duì)稱加載r=-1;③ 初始相對(duì)裂紋深度取ζ=0.1，計(jì)算步長為ΔN=1;④ 裂紋表面摩擦系數(shù)取μ=0.15。

圖7表明，裂紋表面摩擦阻尼損耗因子隨裂紋擴(kuò)展單調(diào)遞增?？紤]摩擦阻尼的變化，結(jié)構(gòu)共振疲勞裂紋擴(kuò)展壽命明顯增加;若忽略摩擦阻尼隨裂紋擴(kuò)展的變化，振動(dòng)疲勞裂紋擴(kuò)展曲線不連續(xù)，出現(xiàn)間斷，這說明振動(dòng)一次裂紋擴(kuò)展增量較大，見圖8所示。比較后發(fā)現(xiàn)，摩擦阻尼對(duì)振動(dòng)疲勞裂紋擴(kuò)展行為的影響不容忽視。所以振動(dòng)疲勞分析時(shí)，使用呼吸裂紋摩擦模型相比呼吸裂紋模型理論更可行。

5 結(jié)論

以懸臂裂紋梁為對(duì)象，研究裂紋摩擦阻尼對(duì)疲勞裂紋擴(kuò)展的影響。分析時(shí)，用雙線性彈簧描述裂紋的呼吸行為，運(yùn)用Galerkin法把呼吸裂紋梁簡化為只考慮第一階模態(tài)的單自由度振動(dòng)系統(tǒng);基于Coulomb摩擦模型和能量耗散理論，推導(dǎo)摩擦阻尼損耗因子;利用廣義Forman方程模擬疲勞裂紋擴(kuò)展;采用振動(dòng)分析與疲勞裂紋擴(kuò)展計(jì)算同步進(jìn)行的方法考慮振動(dòng)與疲勞之間的耦合效應(yīng)。結(jié)果表明，摩擦阻尼隨疲勞裂紋擴(kuò)展單調(diào)遞增，共振頻帶激勵(lì)下摩擦阻尼對(duì)疲勞裂紋擴(kuò)展具有重要作用，阻尼效應(yīng)十分明顯。

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