郭瑩瑩

（華中科技大學(xué) 控制科學(xué)與工程系，湖北 武漢430074）

一、引言

在貨運(yùn)市場(chǎng)上，航空物流憑借其時(shí)效優(yōu)勢(shì)得到快速增長(zhǎng)。早期，航空運(yùn)輸企業(yè)普遍采用城市對(duì)式航線結(jié)構(gòu)；20世紀(jì)后葉，則出現(xiàn)了軸輻式航線網(wǎng)絡(luò)。設(shè)計(jì)出合理、高效的航線網(wǎng)絡(luò)是航空運(yùn)輸公司迫切需要解決的首要問(wèn)題。

目前對(duì)航線網(wǎng)絡(luò)的研究，主要集中在航線網(wǎng)絡(luò)理論研究和航線網(wǎng)絡(luò)求解算法兩方面。在航線網(wǎng)絡(luò)理論研究中，主要將航線網(wǎng)絡(luò)劃分為直達(dá)網(wǎng)絡(luò)、環(huán)行網(wǎng)絡(luò)、軸輻式網(wǎng)絡(luò)和子環(huán)行網(wǎng)絡(luò)四種，Lederer等探討了網(wǎng)絡(luò)參數(shù)對(duì)四種航線網(wǎng)絡(luò)的影響，提出網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的一些主要參考因素［1］；李革慶運(yùn)用經(jīng)濟(jì)方法和理論，從民航運(yùn)輸實(shí)際出發(fā)得出現(xiàn)階段中國(guó)應(yīng)致力于軸輻式航線網(wǎng)絡(luò)建設(shè)的結(jié)論［2］；Mikio等研究了航運(yùn)市場(chǎng)網(wǎng)絡(luò)競(jìng)爭(zhēng)，提出雙層方法，包括承運(yùn)商網(wǎng)絡(luò)競(jìng)爭(zhēng)和給定最優(yōu)服務(wù)質(zhì)量前提下顧客的最優(yōu)行為選擇［3］。上述研究大多基于航空客運(yùn)市場(chǎng)，而航空貨運(yùn)的不同在于客戶的行為只是選擇承運(yùn)商，亦即貨物運(yùn)輸路徑完全由承運(yùn)商決定，因此在物流時(shí)效競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境下，研究專門針對(duì)航空貨運(yùn)市場(chǎng)的航線網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建方法具有重要意義。在航線網(wǎng)絡(luò)求解算法研究中，學(xué)者們多從運(yùn)籌規(guī)劃角度進(jìn)行求解分析，柏明國(guó)對(duì)全連通航線網(wǎng)絡(luò)和樞紐航線網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了定量化比較研究，提出解決無(wú)容量限制的多重分派p－樞紐中位問(wèn)題的兩種算法，考慮航班計(jì)劃提出了一種航線網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)的三階段方法［4］；楊晗熠將幾何舍入算法應(yīng)用于中國(guó)民航網(wǎng)絡(luò)連接問(wèn)題的計(jì)算，確定如何以最少的成本組織航空貨運(yùn)，將軸輻式網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)應(yīng)用于中國(guó)主要城市民航運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中［5］。部分學(xué)者用博弈方法解決航空客運(yùn)網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃問(wèn)題，至于航空貨運(yùn)問(wèn)題基本是在傳統(tǒng)規(guī)劃方法上進(jìn)行擴(kuò)展和改進(jìn)。從市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)的角度看，航空貨運(yùn)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建實(shí)質(zhì)上也是博弈問(wèn)題，用博弈的方法分析解決該問(wèn)題更符合問(wèn)題本身。

本文基于航空貨運(yùn)市場(chǎng)，研究在市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)條件下承運(yùn)商的網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建決策，從博弈角度為航空貨運(yùn)軸輻式航線網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建提供一種定量分析方法，并從戰(zhàn)略、策略和運(yùn)作三個(gè)層面入手，給出網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建模型及求解算法，同時(shí)算例分析成本結(jié)構(gòu)變化對(duì)博弈結(jié)果的影響，以期對(duì)承運(yùn)商在激烈的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)中構(gòu)建貨運(yùn)樞紐網(wǎng)絡(luò)提供依據(jù)。

二、基于博弈的軸輻式網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建模型

航空貨運(yùn)市場(chǎng)上承運(yùn)商構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)的決策過(guò)程通常為：首先研究競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的樞紐網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)以及市場(chǎng)份額，然后根據(jù)研究結(jié)果確定自己的樞紐網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、所占市場(chǎng)份額以及航線運(yùn)作計(jì)劃，整個(gè)博弈過(guò)程包括三個(gè)層面的交互式?jīng)Q策，即戰(zhàn)略層的樞紐網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)（樞紐的個(gè)數(shù)和位置）、策略層的需求計(jì)劃（確定需求和運(yùn)價(jià)）以及運(yùn)作層的運(yùn)輸路線。每家承運(yùn)商都按收益最大化來(lái)構(gòu)建運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)，但所有承運(yùn)商的決策共同決定市場(chǎng)價(jià)格，任一承運(yùn)商任一層面決策的改變都會(huì)影響市場(chǎng)價(jià)格，從而促使其他承運(yùn)商的決策做出相應(yīng)改變。這樣的博弈過(guò)程不斷持續(xù)進(jìn)行，直至達(dá)到一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的均衡。

（一）模型參數(shù)說(shuō)明

1.模型中的符號(hào)及其說(shuō)明

F：承運(yùn)商集合；f，g：承運(yùn)商（f，g∈F）；N：運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)集合；A：運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)間連線的集合；H：樞紐集合；M：l個(gè)OD需求對(duì)（市場(chǎng)）集合；O：需求源節(jié)點(diǎn)集合；D：需求目的點(diǎn)集合；ci：貨物在節(jié)點(diǎn)i的單位處理成本；cij：貨物在節(jié)點(diǎn)i和j連接上的單位運(yùn)輸成本；ch：樞紐h的固定設(shè)備成本；Vh：h的處理容量；ti：貨物在節(jié)點(diǎn)i的處理時(shí)間；tij：貨物在節(jié)點(diǎn)i和j連接上的運(yùn)輸時(shí)間；Tk：OD 需求對(duì)間服務(wù)水平（k∈M）；pk：第k個(gè)OD需求對(duì)間的運(yùn)價(jià)，由自己的市場(chǎng)份額和對(duì)手的市場(chǎng)份額決定，即pk＝p（qfk，qgk），g∈F＼f，k∈M，稱為逆需求函數(shù)。

2.模型中決策變量

qk：第k個(gè)OD需求對(duì)的需求，k∈M；

?ij∈A，k∈M

（二）承運(yùn)商的網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建模型

承運(yùn)商從最大化收益角度出發(fā)，在滿足節(jié)點(diǎn)流量、樞紐處理容量、服務(wù)水平以及決策變量值的約束條件下，構(gòu)建樞紐網(wǎng)絡(luò)模型。

模型1：

MaxΨf（qf，xf，yf｜q－f）

（三）模型求解

模型1中決策變量yfh是離散可列的，針對(duì)每個(gè)可列舉的變量yfh，模型1可等價(jià)轉(zhuǎn)化為模型2。

模型2：

Max Ψf（qf，xf，y∧f｜q－f）

模型2屬于非線性整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題，為得到所求問(wèn)題的穩(wěn)定均衡解，采用Jacobi迭代算法，即對(duì)角化算法［6］。當(dāng)一個(gè)承運(yùn)商f要決定其需求計(jì)劃［qkf］和運(yùn)作計(jì)劃［］時(shí)，假設(shè)f 是市場(chǎng)上唯一的決策者，承運(yùn)商g（g∈F＼f）仍然保持與其前一時(shí)期相同的需求水平［（］。f將g 的需求計(jì)劃［?］看作常量來(lái)決定自己的需求計(jì)劃［（qk）t在競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的需求［（qk）t］確定后，承運(yùn)商自己的價(jià)格優(yōu)化問(wèn)題就是確定［（qk）t］和［］使得在滿足約束的情況下收益ψ最大。這個(gè)過(guò)程不斷持續(xù)直到所有承運(yùn)商都不會(huì)改變［（qk）t］和［xij，k］來(lái)提高收益。算法過(guò)程如下：

（3）收斂性檢驗(yàn)。當(dāng)?shù)趖－1次和第t次連續(xù)兩次迭代間需求的最大變化率不超過(guò)事先設(shè)定的范圍ε時(shí)迭代結(jié)束，即

s.t.（2）、（4）和（5′）

該最小成本路徑問(wèn)題，可以采用Floyd最短路徑算法［7］求得，從而得到承運(yùn)商的運(yùn)輸路線｛，?ij∈A，k∈M，f∈F｝。

在成本路徑確定后，收益最大化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：

為簡(jiǎn)化求解模型，考慮雙頭壟斷市場(chǎng)的情況，即航空貨運(yùn)市場(chǎng)上只有兩家承運(yùn)商f和g參與市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)，市場(chǎng)價(jià)格函數(shù)pk＝p（，），假設(shè)壟斷市場(chǎng)的逆需求函數(shù)為P＝a－Q，其中Q為市場(chǎng)的總需求量，Q＝＋。將其帶入式（1′），可以得到：

其為二次規(guī)劃問(wèn)題，可將其轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)型：

該二次規(guī)劃問(wèn)題可通過(guò)軟件進(jìn)行求解［8］。

通過(guò)以上算法描述可以得到每個(gè)承運(yùn)商在不同樞紐網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下的支付，從而得到相應(yīng)的支付表，進(jìn)而得到兩個(gè)承運(yùn)商競(jìng)爭(zhēng)的Nash均衡解。

三、算例分析

假設(shè)雙頭壟斷市場(chǎng)上有承運(yùn)商A和B，他們均要在中國(guó)8個(gè)城市中構(gòu)建快遞航運(yùn)網(wǎng)絡(luò)，8個(gè)城市間的直線距離為其初始運(yùn)輸成本矩陣（如表1所示），其中候選樞紐城市編號(hào)為1、2、3。求解過(guò)程中整個(gè)市場(chǎng)的逆成本需求函數(shù)為P＝5000－Q，Jacobi算法最大迭代次數(shù)為100，樞紐間運(yùn)輸（主干線）成本折扣因子為0.8。

表1 8城市間直達(dá)距離（初始運(yùn)輸成本矩陣） 單位：km

當(dāng)承運(yùn)商A和B具有相同的成本結(jié)構(gòu)時(shí)，假設(shè)單個(gè)樞紐日中轉(zhuǎn)容量為10噸，樞紐建設(shè)成本為10元／千克，即10萬(wàn)元，節(jié)點(diǎn)單位處理成本為1元／千克。求解工具使用Matlab 2009a，可得支付矩陣（見(jiàn)表2），表中帶下劃線的數(shù)值為Nash均衡解。

當(dāng)承運(yùn)商的成本結(jié)構(gòu)發(fā)生變化時(shí)，均衡結(jié)果也會(huì)有所變化，如表3所示。

在承運(yùn)商A和B成本結(jié)構(gòu)相同時(shí)，支付矩陣為對(duì)稱矩陣，Nash均衡解也對(duì)稱。樞紐容量為10噸時(shí)的結(jié)果與容量為30噸和50噸時(shí)不同，是由于10噸時(shí)容量過(guò)小導(dǎo)致樞紐滿負(fù)荷運(yùn)行，某些需求對(duì)的運(yùn)輸由于最優(yōu)中轉(zhuǎn)樞紐的容量限制而不得不轉(zhuǎn)走其他次優(yōu)線路，使得成本提高而失去部分市場(chǎng)份額，因此兩個(gè)承運(yùn)商的最后均衡結(jié)果呈互補(bǔ)狀態(tài)，分別在不同的市場(chǎng)占有大部分份額。當(dāng)樞紐建設(shè)容量提高到足以滿足各個(gè)OD對(duì)的需求時(shí)，兩個(gè)承運(yùn)商博弈的最終結(jié)果均為選擇（1，2，3）三個(gè)樞紐，當(dāng)樞紐建設(shè)容量繼續(xù)增大時(shí)，最優(yōu)選擇不變，因?yàn)樾枨笤缫逊€(wěn)定飽和，所以最終結(jié)果是多浪費(fèi)超出額度的樞紐建設(shè)成本，導(dǎo)致收益減少。

表2 成本結(jié)構(gòu)相同時(shí)支付矩陣（樞紐容量為10 t） 單位：千萬(wàn)元

表3 不同成本結(jié)構(gòu)組合下的Nash均衡解及收益表

當(dāng)兩承運(yùn)商的成本結(jié)構(gòu)不同時(shí)，支付矩陣為非對(duì)稱矩陣。分三種情形：情形4是樞紐容量的不同導(dǎo)致建設(shè)成本不同，結(jié)果為（（1，2，3），（2）），均衡收益為（11.387，6.739 5），該結(jié)果的出現(xiàn)是因?yàn)锽的樞紐容量過(guò)小導(dǎo)致失去部分市場(chǎng)份額，使得只選2城市作為樞紐成為其Nash均衡選擇，且具有較少的均衡收益；情形5是A和B具有相同的樞紐容量和建設(shè)成本，但節(jié)點(diǎn)單位處理成本不同，A比B更具成本優(yōu)勢(shì)，均衡結(jié)果為（（1，2，3），（1，2，3）），均衡收益 為（9.274 6，9.271 0），A和B的樞紐容量均能滿足市場(chǎng)需求，A憑借低處理成本優(yōu)勢(shì)可以占有較大市場(chǎng)份額，獲得較高收益；相比情形5，情形6更符合實(shí)際，6可以理解為A為減少日后節(jié)點(diǎn)單位處理成本而加大建設(shè)投入，因此在相同的樞紐建設(shè)容量下，A具有較高的樞紐建設(shè)成本和較低的節(jié)點(diǎn)單位處理成本，此時(shí)均衡結(jié)果為（（1，2，3），（1，2，3）），收益為（9.265 6，9.271 0）。A加大建設(shè)投入而降低的處理成本并沒(méi)有獲得最后收益的增加，原因有二：一是樞紐設(shè)計(jì)容量過(guò)大，使得部分容量處于空閑狀態(tài)，超出的設(shè)計(jì)容量只有投入沒(méi)有產(chǎn)出；二是A的低成本使其獲得較大的市場(chǎng)份額，而增加的市場(chǎng)份額獲得的收益卻低于高份額產(chǎn)生的處理成本，即A的低單位處理成本在市場(chǎng)自動(dòng)調(diào)節(jié)的情形下并未產(chǎn)生成本優(yōu)勢(shì)，因此A獲得的收益略低于B的收益。

將情形5和6與成本結(jié)構(gòu)相同的情形2進(jìn)行比較可發(fā)現(xiàn)，情形5下A成本結(jié)構(gòu)的改變使得自己的收益增加，對(duì)手的收益減少，因此在實(shí)例假設(shè)條件下，若能在不增加樞紐建設(shè)成本的前提下降低單位處理成本，則可以提高收益。情形6下A成本結(jié)構(gòu)的改變使得自己和競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的收益都減少。作為與實(shí)際情形更相符的情形6并沒(méi)有使博弈雙方取得比成本結(jié)構(gòu)相同時(shí)更高的收益，因此在實(shí)例假設(shè)條件下，情形6中成本結(jié)構(gòu)的改變并不是明智之舉。

四、結(jié)語(yǔ)

在假設(shè)條件下，博弈雙方若想獲得高收益，樞紐設(shè)計(jì)容量必須能滿足未來(lái)可能達(dá)到的穩(wěn)定需求，此時(shí)，三個(gè)候選樞紐城市均作為樞紐是雙方最優(yōu)選擇，但隨著樞紐設(shè)計(jì)容量的增加，收益并未隨之增加，說(shuō)明博弈雙方要得到高收益一定要準(zhǔn)確估計(jì)未來(lái)需求。當(dāng)博弈雙方成本結(jié)構(gòu)出現(xiàn)差異時(shí)，若雙方樞紐設(shè)計(jì)容量仍能滿足未來(lái)可能達(dá)到的穩(wěn)定需求，則雙方最優(yōu)選擇仍是三個(gè)候選樞紐城市均作為樞紐，但并非成本改變一定會(huì)帶來(lái)對(duì)自己或?qū)﹄p方均有益的結(jié)果。

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