沈祖榮

(蘇州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 江蘇 蘇州 215006;江蘇省木瀆高級(jí)中學(xué) 江蘇 蘇州 215101)

陳鋼

(蘇州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 江蘇 蘇州 215006)

數(shù)和形是數(shù)學(xué)的兩個(gè)最基本的元素，也是數(shù)學(xué)的兩種基本表達(dá)方式.自笛卡兒創(chuàng)立解析幾何將代數(shù)與幾何學(xué)聯(lián)系到一起，數(shù)形結(jié)合就成為解決物理問(wèn)題的一種重要方法，從而使物理學(xué)進(jìn)入了定量科學(xué)階段.牛頓和萊布尼茲發(fā)明的微分和積分法，解決了“非均勻問(wèn)題”，賦予圖像以微分和積分的新意義.因而，數(shù)和形相結(jié)合表示物理規(guī)律，并運(yùn)用微分和積分思想解決物理問(wèn)題，不但是物理學(xué)的有力工具，也是物理學(xué)的重要認(rèn)識(shí).中學(xué)物理廣泛運(yùn)用圖像表示各種物理問(wèn)題，并用圖像法解決各種物理問(wèn)題，就是上述物理思想的反映.

1 “數(shù)形結(jié)合”既是一種方法更是一種重要的意識(shí)

1.1 物理圖像表示的意義

用公式表示物理規(guī)律，給出物理量之間的函數(shù)關(guān)系，便于進(jìn)行邏輯推導(dǎo)；而用圖像表示物理規(guī)律，則充分展現(xiàn)物理量之間的逐點(diǎn)變化關(guān)系，構(gòu)成物理量之間直觀的形的關(guān)系.

新課程人教版教材(2011年版)《必修1》第38頁(yè)中，在探究勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間的關(guān)系時(shí)，由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度與時(shí)間的關(guān)系公式v=v0+at，作出如圖1所示的v-t圖像，展示了用數(shù)形結(jié)合表示物理規(guī)律的基本方法.而圖2所示圖像表示了對(duì)運(yùn)動(dòng)的微分分割，即用圖像可以直接表示微分.再用圖3所示的“面積”說(shuō)明對(duì)于運(yùn)動(dòng)的積分結(jié)果，即用圖像可以直接表示積分.筆者對(duì)教材中引入v-t圖像的三個(gè)圖像進(jìn)行了深入思考，認(rèn)為編者的用意是以探究勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間關(guān)系的過(guò)程為案例，力求突出高中物理中“數(shù)形結(jié)合”既是一種方法，更是一種重要的意識(shí)；同時(shí)強(qiáng)調(diào)了利用微分、極限和積分思想是研究物理問(wèn)題的重要方法.

圖1 圖2 圖3

物理規(guī)律往往可表達(dá)為簡(jiǎn)單的物理公式，而物理公式是具有物理意義的函數(shù)表達(dá)式，每一種函數(shù)也可以用對(duì)應(yīng)的圖像表示.在許多情況下，物理問(wèn)題雖然不同，但它們的圖像是類同的，因此可以用類比的方法處理.有些物理問(wèn)題的圖像是不同的，應(yīng)該明確物理規(guī)律、函數(shù)和圖像的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

1.2 物理圖像和物理模型的對(duì)應(yīng)關(guān)系

圖像是對(duì)物理問(wèn)題的一種表示，而物理問(wèn)題往往與物理模型相對(duì)應(yīng).因此,可以通過(guò)識(shí)讀圖像構(gòu)建所對(duì)應(yīng)的物理模型，這也是教學(xué)的一個(gè)重要方面.

【例1】(2009年高考江蘇卷物理第8題)空間某一靜電場(chǎng)的電勢(shì)φ在x軸上分布如圖4所示.x軸上B,C兩點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度在x方向上的分量分別是EBx,ECx.下列說(shuō)法中正確的有

A．EBx的大小大于ECx的大小

B．EBx的方向沿x軸正方向

C．電荷在O點(diǎn)受到的電場(chǎng)力在x方向上的分量最大

D．負(fù)電荷沿x軸從B移到C的過(guò)程中，電場(chǎng)力先做正功，后做負(fù)功

圖4

分析：題中給出φ-x圖像的目的是要考生判斷本題的電勢(shì)空間分布為兩等量正電荷連線中點(diǎn)為x軸的原點(diǎn)，以其中垂線的一側(cè)為x軸指向的電勢(shì)分布.

【例2】(2010年高考江蘇卷物理第5題)空間有一沿x軸對(duì)稱分布的電場(chǎng)，其電場(chǎng)強(qiáng)度E隨x變化的圖像如圖5所示．下列說(shuō)法正確的是

A．O點(diǎn)的電勢(shì)最低

B．x2點(diǎn)的電勢(shì)最高

C．x1和-x1兩點(diǎn)的電勢(shì)相等

D．x1和x3兩點(diǎn)的電勢(shì)相等

圖5

分析：題中給出的E-x圖像，是要考生判斷出本題的電場(chǎng)強(qiáng)度空間分布為兩等量電荷連線的中點(diǎn)為x軸的原點(diǎn)，以其中垂線的一側(cè)為x軸指向的電場(chǎng)強(qiáng)度的分布.

命題者命制以上兩題時(shí)，必定首先了解等量同種電荷電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度的空間分布，然后才設(shè)計(jì)如圖的φ-x，E-x圖像.

總之，“數(shù)形結(jié)合”無(wú)論在物理探究過(guò)程中還是各類物理考試中都是非常重要的方法.只有將數(shù)和形相結(jié)合，而且掌握數(shù)和形與物理模型對(duì)應(yīng)的關(guān)系，解決物理問(wèn)題才能得心應(yīng)手.

2 利用微元與極限和累加求圖像圍成的面積是重要的物理方法

從數(shù)學(xué)的一般意義來(lái)說(shuō)，用圖像表示微分，就是對(duì)圖像中自變量進(jìn)行無(wú)限小分割；用圖像表示積分，就是圖線下的面積.但是各種物理問(wèn)題的自變量各有不同，圖線下的面積所表示的物理量也各不相同，所以微分和積分作為一般數(shù)學(xué)方法應(yīng)用于物理問(wèn)題時(shí)，必須明確其表示的具體物理意義.

如，由微分式Δxi=viΔt可知，v-t圖像的面積是一段時(shí)間內(nèi)的位移；由微分式Δvi=aiΔt可知，a-t圖像的面積是一段時(shí)間內(nèi)的速度變化.

【例3】螞蟻離巢沿直線爬行，它的速度與到蟻巢中心的距離成反比.當(dāng)螞蟻爬到距巢中心的距離L1=1 m的A點(diǎn)處時(shí)，速度是v1=2 cm/s. 試問(wèn)螞蟻從A點(diǎn)爬到距巢中心的距離L2=2 m的B點(diǎn)所需的時(shí)間為多少？

代入數(shù)據(jù)，得

t=75 s

圖6

3 利用圖像巧解物理問(wèn)題

圖像提供的信息很多，而且圖像中的各種物理量以直觀方式呈現(xiàn)，所以解決一些只需定性比較運(yùn)動(dòng)過(guò)程的問(wèn)題的最佳方法就是圖像法.

【例4】如圖7所示，一個(gè)固定在水平面上的光滑物塊.其左側(cè)面是斜面AB，右側(cè)面是曲面AC.已知AB和AC的長(zhǎng)度相同.兩個(gè)小球p,q同時(shí)從A點(diǎn)分別沿AB和AC由靜止開始下滑.比較它們到達(dá)水平面所用的時(shí)間

A.p小球先到 B.q小球先到

C.兩小球同時(shí)到 D.無(wú)法確定

圖7 圖8

本題的正確答案為選項(xiàng)B.

分析：可以利用v-t圖像(這里的v是速率，曲線下的面積表示路程s)定性地進(jìn)行比較.如圖8，在同一個(gè)v-t圖像中做出小球p，q的速率圖線，顯然開始時(shí)q的加速度較大，斜率較大；由于機(jī)械能守恒，末速率相同，即曲線末端在同一水平圖線上.為使路程相同(曲線和橫軸所圍的面積相同)，顯然小球q用的時(shí)間較少.

總之，教材以探究勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移和時(shí)間關(guān)系為例，通過(guò)物理表達(dá)式v=v0+at，畫出v-t圖像.再利用微元、極限和累加的方法求出面積，即為一段時(shí)間內(nèi)的位移，得出位移和時(shí)間的關(guān)系的物理規(guī)律.正是這條明線隱含著更為普遍適用的方法和技能.我們需要研究教材，讀懂教材編寫者的意圖，才能用好教材，真正高效實(shí)施新課程背景下的素質(zhì)教育.